Matematika 3 - Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Učenici često postavljaju pitanja:

"Odakle nam trigonometrijske vrijednosti u tablicama ili džepnim računalima?"

"Tko ih je izračunao i zašto?"

Vremeplov bi nam dobro došao za ovo istraživanje, jer putovanje počinje davno.

Prikaz razvoja trigonometrije kroz povijest — Prikaz trigonometrije kroz povijest

Naše bi istraživanje započelo oko 141 g. pr. Krista na otoku Rodosu. Posjetili bismo astronoma Hiparha.

On je izradio prve tablice povezane s trigonometrijom.

Duljina tetive obilježena je kao $crd (α) .$ Hiparh i poslije Ptolomej dali su tablicu s popisom $α$ i $crd (α)$ za različite vrijednosti kuta $α,$ koji se temeljio na određenoj vrijednosti radijusa. Povežimo sinus kuta i $crd (α)$ pomoću crteža.

$\sin (\frac{α}{2}) = \frac{\frac{1}{2} crd (α)}{R},$ pa je $crd (α) = 2 R \sin (\frac{α}{2}) .$

Uz $2 R = 1$ slijedi $crd (α) = \sin (\frac{α}{2}) .$

Hiparhov rad nastavio je Ptolomej, koji je sastavio tablicu za određene kutove koje je izračunao pomoću Pitagorinog poučka, Hiparhove metode i Euklidove geometrije.

Ptolemy's Table of Chords
$Arc (*)$	${Chord}_{60}$			${Chord}_{10}$	${Sixtieths}_{60}$				${Sixtieths}_{10}$	$Arc (*)$	${Chord}_{60}$			${Chord}_{10}$	${Sixtieths}_{60}$				${Sixtieths}_{10}$
$0.5$	$0$	$31$	$25$	$0.523611$	$0$	$1$	$2$	$50$	$0.017226$	$16.5$	$17$	$13$	$9$	$17.219167$	$0$	$1$	$2$	$10$	$0.017223$
$1.0$	$1$	$2$	$50$	$1.047222$	$0$	$1$	$2$	$50$	$0.017226$	$17.0$	$17$	$44$	$14$	$17.737222$	$0$	$1$	$2$	$7$	$0.017223$
$1.5$	$1$	$34$	$15$	$1.570833$	$0$	$1$	$2$	$50$	$0.017226$	$17.5$	$18$	$15$	$17$	$18.254722$	$0$	$1$	$2$	$5$	$0.017223$
$2.0$	$2$	$5$	$40$	$2.094444$	$0$	$1$	$2$	$50$	$0.017226$	$18.0$	$18$	$46$	$19$	$18.771944$	$0$	$1$	$2$	$2$	$0.017222$
$2.5$	$2$	$37$	$4$	$2.617778$	$0$	$1$	$2$	$48$	$0.017226$	$18.5$	$19$	$17$	$21$	$19.289167$	$0$	$1$	$2$	$0$	$0.017222$
$3.0$	$3$	$8$	$28$	$3.141111$	$0$	$1$	$2$	$48$	$0.017226$	$19.0$	$19$	$48$	$21$	$19.805833$	$0$	$1$	$1$	$57$	$0.016949$
$3.5$	$3$	$39$	$52$	$3.664444$	$0$	$1$	$2$	$48$	$0.017226$	$19.5$	$20$	$19$	$19$	$20.321944$	$0$	$1$	$1$	$54$	$0.016949$
$4.0$	$4$	$11$	$16$	$4.187778$	$0$	$1$	$2$	$47$	$0.017226$	$20.0$	$20$	$50$	$16$	$20.837778$	$0$	$1$	$1$	$51$	$0.016948$
$4.5$	$4$	$42$	$40$	$4.711111$	$0$	$1$	$2$	$47$	$0.017226$	$20.5$	$21$	$21$	$11$	$21.353056$	$0$	$1$	$1$	$48$	$0.016948$
$5.0$	$5$	$14$	$4$	$5.234444$	$0$	$1$	$2$	$46$	$0.017226$	$21.0$	$21$	$52$	$6$	$21.868333$	$0$	$1$	$1$	$45$	$0.016948$
$5.5$	$5$	$45$	$27$	$5.757500$	$0$	$1$	$2$	$45$	$0.017226$	$21.5$	$22$	$22$	$58$	$22.382778$	$0$	$1$	$1$	$42$	$0.016948$
$6.0$	$6$	$16$	$49$	$6.280278$	$0$	$1$	$2$	$44$	$0.017226$	$22.0$	$22$	$53$	$49$	$22.896944$	$0$	$1$	$1$	$39$	$0.016947$
$6.5$	$6$	$48$	$11$	$6.803056$	$0$	$1$	$2$	$43$	$0.017226$	$22.5$	$23$	$24$	$39$	$23.410833$	$0$	$1$	$1$	$36$	$0.016947$
$7.0$	$7$	$19$	$33$	$7.325833$	$0$	$1$	$2$	$42$	$0.017225$	$23.0$	$23$	$55$	$27$	$23.924167$	$0$	$1$	$1$	$33$	$0.016947$
$7.5$	$7$	$50$	$54$	$7.848333$	$0$	$1$	$2$	$41$	$0.017225$	$23.5$	$24$	$26$	$13$	$24.436944$	$0$	$1$	$1$	$30$	$0.016947$
$8.0$	$8$	$22$	$15$	$8.370833$	$0$	$1$	$2$	$40$	$0.017225$	$24.0$	$24$	$56$	$58$	$24.949444$	$0$	$1$	$1$	$26$	$0.016946$
$8.5$	$8$	$53$	$35$	$8.893056$	$0$	$1$	$2$	$39$	$0.017225$	$24.5$	$25$	$27$	$41$	$25.461389$	$0$	$1$	$1$	$22$	$0.016946$
$9.0$	$9$	$24$	$54$	$9.415000$	$0$	$1$	$2$	$38$	$0.017225$	$25.0$	$25$	$58$	$22$	$25.972778$	$0$	$1$	$1$	$19$	$0.016946$
$9.5$	$9$	$56$	$13$	$9.936944$	$0$	$1$	$2$	$37$	$0.017225$	$25.5$	$26$	$29$	$1$	$26.483611$	$0$	$1$	$1$	$15$	$0.016946$
$10.0$	$10$	$27$	$32$	$10.458889$	$0$	$1$	$2$	$35$	$0.017225$	$26.0$	$26$	$59$	$38$	$26.993889$	$0$	$1$	$1$	$11$	$0.016945$
$10.5$	$10$	$58$	$49$	$10.980278$	$0$	$1$	$2$	$33$	$0.017225$	$26.5$	$27$	$30$	$14$	$27.503889$	$0$	$1$	$1$	$8$	$0.016945$
$11.0$	$11$	$30$	$5$	$11.501389$	$0$	$1$	$2$	$32$	$0.017225$	$27.0$	$28$	$0$	$48$	$28.013333$	$0$	$1$	$1$	$4$	$0.016945$
$11.5$	$12$	$1$	$21$	$12.022500$	$0$	$1$	$2$	$30$	$0.017225$	$27.5$	$28$	$31$	$20$	$28.522222$	$0$	$1$	$1$	$0$	$0.016944$
$12.0$	$12$	$32$	$36$	$12.543333$	$0$	$1$	$2$	$28$	$0.017224$	$28.0$	$29$	$1$	$50$	$29.030556$	$0$	$1$	$0$	$56$	$0.016671$
$12.5$	$13$	$3$	$50$	$13.063889$	$0$	$1$	$2$	$27$	$0.017224$	$28.5$	$29$	$32$	$18$	$29.538333$	$0$	$1$	$0$	$52$	$0.016671$
$13.0$	$13$	$35$	$4$	$13.584444$	$0$	$1$	$2$	$25$	$0.017224$	$29.0$	$30$	$2$	$44$	$30.045556$	$0$	$1$	$0$	$48$	$0.016670$
$13.5$	$14$	$6$	$16$	$14.104444$	$0$	$1$	$2$	$23$	$0.017224$	$29.5$	$30$	$33$	$8$	$30.552222$	$0$	$1$	$0$	$44$	$0.016670$
$14.0$	$14$	$37$	$27$	$14.624167$	$0$	$1$	$2$	$21$	$0.017224$	$30.0$	$31$	$3$	$30$	$31.058333$	$0$	$1$	$0$	$40$	$0.016670$
$14.5$	$15$	$8$	$38$	$15.143889$	$0$	$1$	$2$	$19$	$0.017224$	$30.5$	$31$	$33$	$50$	$31.563889$	$0$	$1$	$0$	$35$	$0.016669$
$15.0$	$15$	$39$	$47$	$15.663056$	$0$	$1$	$2$	$17$	$0.017224$	$31.0$	$32$	$4$	$7$	$32.068611$	$0$	$1$	$0$	$31$	$0.016669$
$15.5$	$16$	$10$	$56$	$16.182222$	$0$	$1$	$2$	$15$	$0.017223$	$31.5$	$32$	$34$	$22$	$32.572778$	$0$	$1$	$0$	$27$	$0.016669$
$16.0$	$16$	$42$	$3$	$16.700833$	$0$	$1$	$2$	$13$	$0.017223$	$32.0$	$33$	$4$	$35$	$33.076389$	$0$	$1$	$0$	$22$	$0.016668$

Ptolomejeve tablice daju vrijednost corda za središnje kutove u koracima od po $0.5 ° .$ U tablici su vrijednosti središnjeg kuta (arc) u stupnjevima, „cord” (duljina tetive) i „sixtieths” - vrijednost koju treba dodati cordu za svaku dodatnu minutu kuta. Sixtieths je Ptolomej izračunao uzimajući razliku corda između susjednih lukova i dijeleći ih s $30$ - koristeći se metodom linearne aproksimacije.

Zanimljivost

PTOLOMEJEV TEOREM

Konveksni četverokut je tetivni ako i samo ako je zbroj umnožaka nasuprotnih stranica jednak umnošku dijagonala.

Geometrijski dokazi:

Dokazi Ptolomejeva teorema — Ptolomejev teorem

Ptolomej je iz svog poučka izveo tri zaključka, posljedice (Korolara) iz kojih je mogao izračunati cordove za više različitih kutova (ali nije dao formule):

cord razlike dvaju kutova

cord polovičnog kuta

cord zbroja dvaju kutova.

Zaključci su ekvivalentni trigonometrijskim identitetima za sinus razlike, sinus polovičnog kuta i sinus zbroja.

Trigonometrijski identiteti

Možemo li $\cos (a - b),$ gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, prikazati pomoću trigonometrijskih funkcija brojeva $a$ i $b ?$

Prikažimo na brojevnoj kružnici točke $E (a),$ $E (b)$ i $E (a - b),$ gdje su realni brojevi $a$ i $b$ iz intervala $[0, 2 π]$ i $a \geq b .$

Izvod adicijske formule

Duljina luka od točke $E (b)$ do točke $E (a)$

duljini luka od točke A do točke

E (a - b) .

To znači da su i pripadne duljine tetiva

duljine.

|E (b) E (a)|

|A E (a - b)| .

null

Zadatak 1.

Koordinate su naznačenih točaka sljedeće:

$E (b) = (\cos b, \sin b),$ $E (a) = (\cos a, \sin a),$ $E (a - b) = (\cos (a - b), \sin (a - b))$ i $A (1, 0) .$

Na jednakost iz prethodnog zadatka primijenite formulu za udaljenost točaka zadanih svojim koordinatama.

Upotrijebite identitet $\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1 .$

Što ste zaključili?

Postoji li veza između kosinusa razlike dvaju realnih brojeva i trigonometrijskih funkcija istih brojeva?

$\sqrt{{(\cos a - \cos b)}^{2} + {(\sin a - \sin b)}^{2}} = \sqrt{{(\cos (a - b) - 1)}^{2} + \sin^{2} (a - b)}$

$2 - 2 \cos a \cos b - 2 \sin a \sin b = 2 - 2 \cos (a - b)$

$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

Zadatak 2.

Izvedite formulu za kosinus zbroja. Umjesto $b$ upotrijebite $- b$ te iskoristite parnost kosinusa i neparnost sinusa.

$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

Pomoću formula za sinus i kosinus zbroja i razlike sinusa i kosinusa moguće je izvesti i formule za tangens i kotangens zbroja i razlike.

Adicijske formule za sinus i kosinus

Za svaka dva realna broja $a$ i $b$ vrijedi:

$\cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

$\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

$\sin (a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

Adicijske formule za tangens i kotangens

Za svaka dva realna broja $a, b$ i njihov zbroj i razliku koji su u domeni funkcija tangens i/ili kotanges vrijedi:

$tg (a \pm b) = \frac{tg a \pm tg b}{1 \mp tg a tg b}$

$ctg (a \pm b) = \frac{ctg a ctg b \mp 1}{ctg b \pm ctg a}$

Zadatak 3.

Bez kalkulatora, pomoću adicijskih formula izračunajte sljedeće vrijednosti.

$\cos \frac{13 π}{12}$

\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Pomoć:

Rastavite $\frac{13 π}{12}$ na $\frac{5 π}{4} - \frac{π}{6}$

null

$\cos 105 °$

\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

Pomoć:

Kut od $105 °$ rastavite na zbroj kuteva od $60 °$ i $45 ° .$

null

$tg \frac{5 π}{12}$

\frac{\sqrt{3} - 1}{- \sqrt{3} + 1}

\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}

\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}

Pomoć:

Kut od $\frac{5 π}{12}$ prikažite kao zbroj kuteva $\frac{π}{6}$ i $\frac{π}{4} .$

null

4.7 Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Zanimljivost

Trigonometrijski identiteti

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Formule redukcije za funkciju sinus i kosinus

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

...i na kraju

Kutak za znatiželjne

Istražimo