Matematika 3 - 3.3 Prelazak iz eksponencijalnog zapisa u logaritamski i obrnuto

Na početku...

Da bismo riješili eksponencijalne ili logaritamske jednadžbe koristimo se svojstvom inverznosti eksponencijalnih i logaritamskih funkcija. Svaku eksponencijalnu jednadžbu možemo prikazati pomoću logaritma kao i logaritamsku pomoću eksponencijalne jednadžbe.

Zanimljivost

Logaritam je pojednostavio računanje složenih proračuna. Otkriće logaritama pridonijelo je razvoju znanosti, posebno astronomije (računanje s velikim brojevima). Na slici možete vidjeti jedno od prvih objašnjenja pojma logaritma iz 1797. u Encyclopædiji Britannici.

Prije džepnih računala, ključni alat za računanje s logaritmima bile su logaritamske tablice. Potražite kod kuće, možda ih još negdje imaju vaši roditelji.

Definicija logaritma iz 1797. godine

Briggsove logaritamske tablice

Naslovnica Logaritamskih tablica

Postavite oznake na odgovarajuće mjesto umjesto upitnika.

a

x

y

null

Pronađite svakoj eksponencijalnoj jednadžbi pripadajuću logaritamsku.

Povećaj interaktivni prikaz

Inverznost funkcija

U prethodnom spajanju parova mogli ste primijetiti da se nepoznanica nalazi na različitim mjestima. Katkad nam je nepoznata baza, katkad argument, a katkad jednostavno treba izračunati vrijednost logaritamskog ili eksponencijalnog izraza.

Kada upotrijebiti koji oblik za dobivanje rješenja?

Kutak za znatiželjne

Eksponencijalna $(f (x) = a^{x})$ i logaritamska $(g (x) = \log_{a} x)$ funkcija međusobno su inverzne, što znači da vrijedi:

$f (g (x)) = f (\log_{a} x) =$

=

g (f (x)) = g (a^{x}) =

=

\log_{a} a^{x}

a^{\log_{a} x}

x, x \in R

x, x \in R^{+}

null

Primjer 1.

Riješimo jednadžbu $\log_{3} 6 = y .$

Ovo je

izraz. Tu jednakost možemo napisati i u obliku potencije baze

3

(zašto smo uzeli bazu

3 ?

)

. Zbog inverznosti dobijemo

. Nova jednadžba je

. Jesmo li na taj način olakšali traženje nepoznanice?

logaritamski

3^{\log_{3} 6} = 3^{y}

3^{y} = 6

eksponencijalna

null

S pomoću inverznosti dokazali smo pravilo prijelaza iz jednog zapisa u drugi. Što sada s tom jednadžbom? Nije li lakše bilo riješiti logaritamsku jednadžbu? Eksponencijalnu jednadžbu treba logaritmirati dekadskim logaritmom ako nam džepno računalo ne omogućava računati logaritme s različitim bazama.

$\log 3^{y} = \log 6 \Rightarrow y = \frac{\log 6}{\log 3}$

Dokazali smo još jedno pravilo prijelaza logaritma iz jedne baze u drugu.

$y = 1.6309$

Logaritamski ili eksponencijalni oblik?

U sljedećim zadatcima procijenite možete li riješiti zadanu eksponencijalnu ili logaritamsku jednadžbu ili je najprije treba pretvoriti u neki drugi oblik jednadžbe pa zatim riješiti.

Razvrstajte najprije jednadžbe po tipu kojim ćete ih riješiti na najlakši način (ne traži se tip zadane jednadžbe).

\log_{3} x + \log_{3} (x - 6) = 3

2^{3 x - 1} = 3^{2 x - 2}

6^{x - 3} = 2

\log_{4} (3 x - 2) = 2

Rješavanje preko logaritma

Rješavanje preko potencija

null

Sredite početnu jednadžbu te je povežite s pripadajućom jednadžbom zapisanom u drugom obliku.

$\log_{4} (3 x - 2) = 2$	$3 x - 2 = 4^{2}$
$2^{3 x - 1} = 3^{2 x - 2}$	$x (x - 6) = 3^{3}$
$\log_{3} x + \log_{3} (x - 6) = 3$	$(x - 3) \log 6 = \log 2$
$6^{x - 3} = 2$	$(3 x - 1) \log 2 = (2 x - 2) \log 3$

null

Zadatak 1.

Riješite jednadžbe i provjerite rješenje.

$6^{x - 3} = 2$
$\log_{4} (3 x - 2) = 2$
$2^{3 x - 1} = 3^{2 x - 2}$
$\log_{3} x + \log_{3} (x - 6) = 3$

$x = \frac{\log 2}{\log 6} + 3 \approx 3.387$
$x = 6$
$x = \frac{\log 2 - 2 \log 3}{3 \log 2 - 2 \log 3} = \frac{\log (\frac{2}{9})}{\log (\frac{8}{9})}$
$x = 9$

Logaritmiranje i antilogaritmiranje

Zadatak 2.

Izračunajte $6^{100}$ s pomoću džepnog računala. Koliko znamenki ima taj broj?

$6.5 \cdot 10^{77} \Rightarrow$ Broj ima $78$ znamenki.

Primjer 2.

Koliko znamenki ima broj $6^{150} ?$ Što vam kaže džepno računalo?

Izračunajmo taj broj s pomoću logaritama.

Označimo s $x = 6^{150} .$ Cijeli izraz treba logaritmirati.

$\log x = \log 6^{150}$

Primjenom pravila logaritama izračunajmo desnu stranu. Koja pravila koristimo?

$\log x = \log 6^{150} = 150 \log 6 = 116.7227 .$

Da bismo dobili $x,$ izraz ćemo antilogaritmirati (obrnuti proces od logaritmiranja, izraz postaje eksponent potencije baze $10$ ).

$x = (10^{\log x}) = 10^{116.7227} = 10^{0.7227} \cdot 10^{116} = 5.28 \cdot 10^{116}$

Uočite da smo broj u eksponentu rastavili na cijeli i decimalni dio kako bismo dobili znanstveni zapis toga velikog broja.

Sada je lako vidjeti da broj ima $117$ znamenki.

Džepno računalo

Postupak logaritmiranja, odnosno antilogaritmiranja pomaže nam u izrazima s mnogo računskih radnji (množenja, dijeljenja, potenciranja, korjenovanja) kako bi se olakšao postupak računanja. Pomoću džepnih računala danas vrlo lako i brzo rješavamo sve složene brojčane izraze, stoga postupak logaritmiranja i antilogaritmiranja izraza nije više toliko zanimljiv kao metoda rješavanja takvih oblika zadataka.

Je li bilo potebno izračunati vrijednost zadanog broja da bi se odredio broj znamenki?

null

Zadatak 3.

Izračunajte $x = \frac{2 \cdot \sqrt{128}}{15^{4} \cdot \sqrt[3]{100}} .$ Zadatak riješite postupkom logaritmiranja i antilogaritmiranja.

Složite prema redoslijedu rješavanja.

$\log x = \log (\frac{2 \cdot \sqrt{128}}{15^{4} \cdot \sqrt[3]{100}})$
$= \frac{9}{2} \log 2 - 4 \log 15 - \frac{2}{3} = - 4.016$
$x = 9.6 \cdot 10^{- 5}$
$= \log (2 \cdot \sqrt{128}) - \log (15^{4} \cdot \sqrt[3]{100}) =$
$= \log 2 + \frac{1}{2} \log 2^{7} - 4 \log 15 - \frac{1}{3} \log 10^{2} =$
$= \log 2 + \log 128^{\frac{1}{2}} - \log 15^{4} - \log 100^{\frac{1}{3}} =$
$= \log 2 + \frac{7}{2} \log 2 - 4 \log 15 - \frac{2}{3} \cdot 1 =$

null

...i na kraju

Pogledajmo na kraju još jednu moguću primjenu logaritama.

Zanimljivost

Coulombov zakon je jedan od osnovnih zakona elektrostatike:

Električna sila $F$ između dvaju električki nabijenih točkastih tijela razmjerna je umnošku količina električnih naboja $q_{1}$ i $q_{2},$ a obrnuto razmjerna kvadratu udaljenosti $r$ između naboja.

Postupkom logaritmiranja možemo pojednostavniti i izraze s općim brojevima.

Neka je jednadžbom $F = \frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}$ dan Coulombov zakon, gdje su $q_{1}$ i $q_{2}$ naboji tijela i $r$ njihova udaljenost. Ostalo su konstante. Logaritmirajmo jednadžbu.

$\log F = \log (\frac{1}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{q_{1} \cdot q_{2}}{r^{2}}) = \log q_{1} + \log q_{2} - \log 4 - \log π - \log ε_{0} - 2 \log r$

Prikažimo udaljenost s pomoću ostalih veličina.

$\log r = \frac{1}{2} (\log q_{1} + \log q_{2} - \log 4 - \log π - \log ε_{0} - \log F)$

$\log r = \frac{1}{2} \log (\frac{q_{1} q_{2}}{4 F π ε_{0}})$

Antilogaritmiranjem dobijemo $r = \sqrt{\frac{q_{1} q_{2}}{4 F π ε_{0}}} .$