x
Učitavanje

8.1 Jednadžba pravca

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Petar je za vožnju do škole odabrao taksi službu koja naplaćuje 10 kn start i nakon toga po 4 kn za svaki prijeđeni kilometar. Prikažimo ovisnost cijene vožnje taksijem s obzirom na prijeđene kilometre.

Prepišite zadatak na papir te ispunite tablicu s cijenama vožnje taksijem.

x (prijeđeno kilometara) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f x (cijena u kunama) 10
x (prijeđeno kilometara) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f x (cijena u kunama) 10 14 18 22 26 30 34 38 42

Pogledajmo to na grafičkom prikazu.

Graf linearne funkcije - taksi
Graf linearne funkcije - taksi
Kolika je cijena vožnje duljine 6 km ?
.
null
null
Približno koliko kilometara možemo proći za 20 kuna?
.
null
null

Kako glasi funkcija pomoću koje možemo odrediti cijenu vožnje ako nam je poznata udaljenost u kilometrima (za x > 0 )?

null
null

U ovom primjeru pojavila se linearna funkcija:  f x = 4 x + 10 . Graf te funkcije jest pravac čija jednadžba glasi:  y = 4 x + 10 .

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

Mijenjajte koeficijente u jednadžbi pravca i prisjetite se kako utječu na izgled pravca.

U jednadžbi pravca y = k x + l koeficijent k nazivamo

 
ili koeficijent
 
, a koeficijent l nazivamo
 
.
smjera
odsječak na osi y
nagib
null
null

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

Pravac koji nije paralelan s osi y ima jednadžbu y = k x + l , pri čemu je k koeficijent smjera ili nagib pravca, a l odsječak na osi y . Jednadžbu zapisanu u ovom obliku zovemo eksplicitni oblik jednadžbe pravca.

Zanimljivost

Riječ eksplicite dolazi od novolatinske riječi explicite, što znači izrijekom, izričito, jasno, razumljivo, eksplicitno. Izvor: link.

Primjer 1.

Nacrtajmo pravac koji je zadan jednadžbom: y = 2 x + 1 .

Pravac je određen s dvije točke. Odaberimo dvije vrijednosti za x i odredimo pripadne vrijednosti y .

x 0 1
y 1 3
Jednadžba pravca y=2x+1
Jednadžba pravca y=2x+1

Zanimljivost

Oznake koeficijenata kod eksplicitnog oblika jedandžbe pravca različite su u pojedinim krajevima svijeta. Pogledajte kako se označavaju u nekim zemljama. Izvor: link.

Primjer 2.

Neka su zadane dvije točke: 0 , 1 i 1 , 3 . Odredimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz te dvije točke.

Uvrstimo li x i y koordinate tih točaka u jednadžbu pravca y = k x + l ,  dobivamo sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.

1 = 0 k + l

3 = 1 k + l .

Rješenje je tog sustava sljedeće: k = 2 i l = 1 .

Jednadžba pravca u eksplicitnom obliku glasi y = 2 x + 1 .

Primjer 3.

Odredimo kut koji pravac y = 2 x + 1 zatvara s pozitivnim dijelom osi x .

Koeficijent smjera tog pravca jest k = 2 .

Istaknimo li točke A i B na pravcu i nadopunimo do pravokutnog trokuta A B C .

Duljina je katete A C = 1 , što je promjena varijable x , tj. x B - x A , a duljina je katete B C = 2 , što je promjena varijable y , tj. y B - y A . Za kut α možemo primijeniti trigonometriju pravokutnog trokuta (tangens kuta jednak je omjeru nasuprotne katete i priležeće katete) pa vrijedi: tg α = y B - y A x B - x A = k .

tg α = 2 α 63 ° 26 ' 6 "

Nagib pravca y=2x+1
Nagib pravca y=2x+1

Za koeficijent smjera pravca vrijedi k = tg α , pri čemu je α kut koji pravac zatvara s pozitivnim dijelom osi apscisa.

Zadatak 1.

Odredite kut koji zatvara pravac s pozitivnim dijelom osi x .

a) y = - x + 2

b) y = 1 2 x

c) y = 2

a) k = - 1 , tg α = - 1 α = - 45 ° = 135 °

b) k = 1 2 , tg α = 1 2 α 26 ° 33 ' 54 "

c) k = 0 , tg α = 0 α = 0 °


Pogledajte sljedeću ilustraciju pa odgovorite na pitanja.

Pravac x=1
Pravac x=1

Je li na ilustraciji nacrtan graf funkcije?

null
null

Može li se  jednadžba ovog pravaca napisati u obliku y = k x + l ?

null
null

Koliki kut zatvara ovaj pravac s pozitivnim dijelom osi x ?

null
null

Koliki je tangens od 90 ° ?

null
null

Kako glasi jednadžba ovog pravca?

null
null

Implicitni oblik jednadžbe pravca

Jednadžbu pravca paralelnog s osi y nije moguće zapisati u eksplicitnom obliku. Stoga postoji još jedan oblik jednadžbe pravca - implicitni.

Zanimljivost

Značenje riječi implicitno dolazi od latinske riječi implicite, što znači zapleteno, podrazumijevajući, prešutno. Riječ implicitno suprotna je od riječi eksplicitno. Izvor: link.

Implicitni oblik jednadžbe pravca

Jednadžbu pravca možemo zapisati i u obliku A x + B y + C = 0 , pri čemu barem jedan od realnih brojeva A ili B mora biti različit od 0 . Tu jednadžbu zovemo implicitni oblik jednadžbe pravca.

Primjer 4.

Pretvorimo implicitni oblik jednadžbe pravca 2 x - y + 1 = 0 u eksplicitni oblik.

- y = - 2 x - 1

y = 2 x + 1

Zadatak 2.

Za jednadžbe pravaca zadane implicitnim oblikom odredite eksplicitni oblik.

a) x + 2 y - 4 = 0

b) 3 x + y = 0

c) y - 3 = 0

d) x + 7 = 0

a) y = - 1 2 x + 2

b) y = - 3 x

c) y = 3

d) Nema eksplicitni oblik jer je paralelan s y osi.


Prebaciti jednadžbu iz ekspicitnog u implicitni oblik lagano je: prebacimo sve na lijevu stranu jednakosti.

Primjer 5.

Prebacimo jednadžbu pravca y = 3 x - 2 iz eksplicitnog oblika u implicitni.

- 3 x + y + 2 = 0  

Istražimo

Što mislite, kada je bolje upotrebljavati eksplicitni, a kada implicitni oblik jednadžbe pravca?

Segmentni oblik jednadžbe pravca

Primjer 6.

Odredimo presjek pravca 2 x + y - 2 = 0  s koordinatnim osima.

Sve točke na osi x imaju vrijednost y = 0 pa uvrštavanjem u jednadžbu pravca dobivamo: 2 x - 2 = 0 , tj. x = 1 . Točka presjeka s x osi iznosi M ( 1 , 0 ) .

Želimo li odrediti presjek s y osi, uvrštavamo x = 0 i dobijemo: y - 2 = 0 , tj. y = 2 . Točka presjeka s y osi jest N ( 0 , 2 ) .

Pravac y=-2x+2
Pravac y=-2x+2

Kolika je duljina odsječka koji pravac odsijeca na x osi?

Pravac y=-2x+2
null
null

Kolika je duljina odsječka koji pravac odsijeca na y osi?

Pravac y=-2x+2
null
null

Koja jednadžba predstavlja jednadžbu pravca sa slike? (Uputa: možete odabrati neke točke koje se nalaze na pravcu i uvrstiti ih u jednadžbe pravaca.) 

Pravac y=-2x+2
null
null

Segmentni oblik jednandžbe pravca

Neka su točke m , 0 i 0 , n , m n 0 presjeci pravca s koordinatnim osima. Onda taj pravac ima jednadžbu x m + y n = 1 . Takav oblik jednadžbe pravca nazivamo segmentni oblik.

Brojevi m i n jesu segmenti ili odsječci koje pravac odsijeca na koordinatnim osima.

Segmentni oblik jednadžbe pravca
Segmentni oblik jednadžbe pravca

Mijenjajte položaj točaka M i N i pratite kako se mijenja jednadžba pravca u segmentnom obliku.

Primjer 7.

Napišimo pravac y = 2 x + 3 u segmentnom obliku.

Da bismo odredili segmentni oblik jednadžbe pravca, s desne strane znaka jednakosti trebamo dobiti broj 1 .

Prebacimo nepoznanice na lijevu stranu i dobijemo: - 2 x + y = 3 .

Podijelimo s 3 , - 2 x 3 + y 3 = 1 .

Segmente na koordinatnim osima dobit ćemo ako prvi razlomak napišemo kao dvojni: x - 3 2 + y 3 = 1 , pa je m = - 3 2 i n = 3 .

Zadatak 3.

Zadane jednadžbe pravaca prebacite u segmentni oblik.

a) 2 x - 4 y + 8 = 0

b) 2 3 x + y + 1 = 0

c) y = - 3 x + 2

d) y = 5 x

e) y = 2

f) x = 1

a) x - 4 + y 2 = 1

b) x - 3 2 + y - 1 = 1

c) x 2 3 + y 2 = 1

d) nije moguće napisati u segmentnom obliku

e) nije moguće napisati u segmentnom obliku

f) nije moguće napisati u segmentnom obliku


Istražimo

Nacrtajte pravce y = 5 x , y = 2 i x = 1 te razmislite zašto nije moguće napisati segmentne oblike tih pravaca.

Segmentni oblik jednadžbe pravca prikladan je za prikaz u koordinatnom sustavu te za određivanje površine koju pravac zatvara s koordinatnim osima.

Primjer 8.

Odredimo površinu koju pravac x 1 + y 2 = 1 zatvara s koordinatnim osima.

Odsječci na koordinatnim osima iznose 1 i 2, stoga površina pravokutnog trokuta iznosi P = 1 · 2 2

P = 1   kv.   jed.

Segmentni oblik jednadžbe pravca - površina trokuta
Segmentni oblik jednadžbe pravca – površina trokuta

Površina trokuta koji zatvaraju pravac i koordinatne osi iznosi P = 1 2 m · n .

...i na kraju

Prepišite zadatak na papir pa u tablicu upišite po jedan primjer jednadžbe pravca.

Pripazite: neke jednadžbe pravaca nije moguće napisati u sva tri oblika.

bilo koji pravac pravac kroz ishodište pravac paralelan s x osi pravac paralelan s y osi
eksplicitni oblik
implicitni oblik
segmentni oblik

Primjer rješenja.

bilo koji pravac pravac kroz
ishodište
pravac paralelan s x osi pravac paralelan s y osi
eksplicitni oblik y = 2 x + 1 y = 2 x y = 2 -
implicitni oblik 2 x + y - 1 = 0 2 x - y = 0 y - 2 = 0 x - 1 = 0
segmentni oblik x 2 + y 1 = 1 - - -

Povratak na vrh