Matematika 3 - Aktivnosti za samostalno učenje

Problemski zadatci s trigonometrijskim jednadžbama

Primjer 1.

Broj sunčanih sati dnevno na Hvaru može se modelirati pomoću jednadžbe

$n = 2.5 \sin \frac{π}{6} (t - 2.7) + 10.5,$ pri čemu je $t$ mjesec u godini ( $t = 0$ vrijedi za siječanj).

Kada će broj sunčanih sati biti 12?

U model ćemo umjesto $n$ uvrstiti broj 12. Sada imamo jednadžbu:

$2.5 \sin \frac{π}{6} (t - 2.7) + 10.5 = 12$

$2.5 \sin \frac{π}{6} (t - 2.7) = 1.5$

$\sin \frac{π}{6} (t - 2.7) = 0.6$

$\frac{π}{6} (t - 2.7) = \sin^{- 1} 0.6$ ili $\frac{π}{6} (t - 2.7) = π - \sin^{- 1} 0.6 .$

Konačno imamo dva rješenja:

$t_{1} \approx 3.9$ ili $t_{2} \approx 7.5 .$

Interpretirajmo rješenje.

Cijeli dio rješenja odnosi se na mjesece. Radi se, dakle, o mjesecu travnju i kolovozu.

Ostatak iza decimalne točke odnosi se na dio mjeseca tj. dane.

Četvrti mjesec ima $30$ dana pa $0.9$ množimo s $30$ i imamo datum: 27.04.

Osmi mjesec ima $31$ dan pa je drugi datum: 15.08.

Zadatak smo mogli riješiti i grafički. Pogledajte grafičko rješenje uz pomoć programa GeoGebra.

Zadatak 2.

Prodaja određenih proizvoda također je periodična. Npr. prodaja skijaške opreme ovisi o dobu godine. Za procjenu dobiti od prodaje skija (jednog od prodajnih modela) možemo korisititi sljedeći model:

$y = 9.584 \sin (0.436 x + 2.097) + 10,$

pri čemu je $y$ dobit u milijunima kuna, a $x$ je mjesec prodaje.

Odredite dobit za mjesec prosinac i lipanj, uz napomenu da je za siječanj $x = 1 .$

Dobit u lipnju iznosi $416 002$ kuna, a u prosincu $18 293 353$ kuna.

Zadatak 3.

Koristeći se podatcima iz prethodnog zadatka, odredite kada će dobit biti $15 000 000$ kuna.

U prvom i jedanaestom mjesecu.

Zadatak 4.

Akceleracija sile teže g tijela mase $m$ u gravitacijskom polju Zemlje ovisi o udaljenosti tijela od središta Zemlje. Zemlja nije savršena kugla, njezin oblik naziva se geoid: spljoštena je na polovima, a izbočena na ekvatoru. Zbog toga akceleracija sile teže

(g)

na svim latitudama (geografskim širinama) nije ista. Akceleracija sile teže može se izračunati prema sljedećoj jednadžbi:

g = 9.78 \frac{m}{s^{2}} (1 + 0.005288 s i n^{2} φ - 0.000006 s i n^{2} (2 φ)),

pri čemu je

g

izražen u

\frac{m}{s^{2}},

a kut

φ

u stupnjevima.

Odredite na kojoj je latitudi

g = 9.8317 \frac{m}{s^{2}} .

Možete li uz pomoć Google maps odrediti jedan od gradova na toj geografskoj širini?

Pomoć: potrebno je riješiti složenu trigonometrijsku jednadžbu, pa možete koristiti i grafičko rješavanje uz pomoć programa GeoGebra.

$φ = 89 °$

Projekt

Za svoje mjesto pronađite prosječne mjesečne temperature $t$ za prošlu godinu. Pomoću podataka modelirajte pripadajuću jednadžbu oblika $y = A \sin (b t - c) + d .$

Možete si pomoći i tako da koristite npr. GeoGebru.

Naputak:

1) Odredite amplitudu kao $A = \frac{najveća vrijednost - najmanja vrijednost}{2} .$

2) Odredite period $b = \frac{2 π}{12} .$

3) $d = \frac{najveća vrijednost+najmanja vrijednost}{2} .$

4) c izračunajte.

Isprobajte dobiveni model za prošle godine.

Trigonometrijske nejednadžbe

Na sljedećim primjerima pokazat ćemo kako se rješavaju jednostavnije trigonometrijske nejednadžbe.

Primjer 2.

Riješimo nejednadžbu: $\sin x \geq \frac{1}{2}, x \in R.$

Najprije rješavamo pripadajuću jednadžbu.

Rješenja jednadžbe $\sin x = \frac{1}{2}$ u intervalu od $0$ do $2 π$ jesu $\frac{π}{6}$ i $\frac{5 π}{6} .$

Rješenje nejednadžbe jesu svi brojevi između $\frac{π}{6}$ i $\frac{5 π}{6}$ , uključujući i ta dva broja. Ali, funkcija sinus je periodična pa rješenje zapisujemo ovako:
$\frac{π}{6} + 2 k π \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 k π,$ gdje je $k \in Z .$

Pogledajte grafički prikaz rješenja.

Ako je zadana nejednadžba $\sin x > a, x \in R$ i $a \geq 1,$ nejednadžba

nema rješenja

ima beskonačno mnogo rješenja.

null

Ako je zadana nejednadžba $\sin x < a, x \in R$ i $a > 1,$ onda nejednadžba

nema rješenja

ima beskonačno mnogo rješenja.

null

Primjer 3.

Riješimo nejednadžbu: $\cos 2 x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in ⟨0,2 π⟩ .$

Na grafičkom prikazu uz primjenu definicije kosinus odredili smo rješenja za $t = 2 x .$

Rješenja jednadžbe $\cos 2 x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ na intervalu od $0$ do $2 π$ jesu $\frac{π}{8}$ i $- \frac{π}{8} .$

Rješenje početne nejednadžbe je interval $⟨- \frac{π}{8}, \frac{π}{8}⟩$ .

Grafički prikaz rješenja trigonometrijske nejednadžbe

Ako je zadana nejednadžba $\cos x > b, x \in R$ i $b \geq 1,$ nejednadžba

nema rješenja

ima beskonačno mnogo rješenja.

null

Ako je zadana nejednadžba $\cos x < b, x \in R$ i $b > 1,$ nejednadžba

nema rješenja

ima beskonačno mnogo rješenja.

null

...i na kraju

Primjena trigonometrije vrlo je široka. Osim u fizici, biologiji, ekonomiji..., pojavljuje se i u drugim područjima matematike. Za kraj riješite dva zanimljiva matematička zadatka.

Točku $(4, 1)$ rotiramo oko ishodišta za kut od $\frac{π}{3} .$ Koje su koordinate dobivene točke (rezultat zaokružite na cijele brojeve)?

(- 1, 4)

(1, 4)

(1, - 4)

(- 1, - 4)

null

Za koji kut trebamo rotirati točku

(2, 4)

da bismo dobili točku

(- 2 + \sqrt{3}, 1 + 2 \sqrt{3}) ?

Rješenje napišite u stupnjevima.
Kut rotacije iznosi

° .

null

6.5 Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Zadatak 1.

Istražimo

Problemski zadatci s trigonometrijskim jednadžbama

Primjer 1.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Projekt

Trigonometrijske nejednadžbe

Primjer 2.

Primjer 3.

...i na kraju