x
Učitavanje

Pojmovnik

A

Amplituda, period i pomak sinusoide

Graf funkcije f x = A sin b x + c skiciramo uz pomoć grafa g ( x ) = sin x .

Za funkciju f x = A sin b x + c potrebno je odrediti amplitudu, period i pomak.

  1. Maksimalna tj. minimalna vrijednost funkcije jednaka je A , tj. - A , pa se graf funkcije nalazi između pravaca y = A i y = - A .
  2. Period funkcije jednak je 2 π b , a nultočke se nalaze na početku i na kraju tog intervala i u polovištu.
  3. Nultočke funkcije rješenje su jednadžbe A sin b x + c = 0 .
    x = k π - c b , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
    Za k = 0 dobijemo x 0 = - c b , što je pomak funkcije.

Asimptota

Asimptota je pravac kojemu se neka krivulja sve više približava a da ga ne dotakne (nedodirnica, nedotičnica).

Asimptota eksponencijalne funkcije

Graf eksponencijalne funkcije f x = a x  približava se osi apscisa, ali je ne siječe. Kažemo da je os apscisa (pravac y = 0 ) asimptota eksponencijalne funkcije.

B

Binomni koeficijenti

Za brojeve n , k N 0 , 0 k n , definiramo binomni koeficijent n k (čitamo en povrh ka):

n k = n ! k ! · n - k ! .

Brojevna kružnica

Brojevna kružnica je jedinična kružnica čijim točkama eksponencijalnim preslikavanjem pridružujemo realne brojeve.

D

Definicija sinusa i kosinusa pomoću kuta u stupnjevima

Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate cos α , sin α , pri čemu je α kut određen tom točkom.

Definicija sinusa i kosinusa realnog broja

Neka je t po volji realan broj, a T = E t njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je T = cos t , sin t . Vrijednost funkcije kosinus jest apscisa, a vrijednost funkcije sinus jest ordinata točke T = E t .

Dirichletovo pravilo

Ako n + 1 predmeta bilo kako rasporedimo u n kutija, onda barem jedna kutija sadržava bar dva predmeta.

Domena funkcija sinus i kosinus

Domena obiju funkcija f ( x ) = sin x i g ( x ) = cos x jest cijeli skup R , a slika interval - 1 , 1 .

Duljina vektora

Duljina vektora jednaka je duljini pripadajuće dužine. Ako su vektoru A B  zadane početna točka A x 1 , y 1 i krajnja točka B x 2 , y 2 duljinu vektora računamo pomoću formule za udaljenost točaka.

A B = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Ako je vektor zadan kao a = a x i + a y j , tada duljinu vektora računamo po formuli:

a = a x 2 + a y 2 .

E

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

Pravac koji nije paralelan s osi y ima jednadžbu y = k x + l , pri čemu je k koeficijent smjera ili nagib pravca, a l odsječak na osi y . Jednadžbu zapisanu u ovom obliku zovemo eksplicitni oblik jednadžbe pravca.

Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija jest funkcija f : R R oblika f x = a x , pri čemu je a > 0 , a 1

Eksponencijalna jednadžba

Ovakvu jednadžbu, u kojoj je nepoznanica u eksponentu, nazivamo eksponencijalna jednadžba.

Riješiti eksponencijalnu jednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u jednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Eksponencijalna nejednadžba

Nejednadžbe u kojima je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalne nejednadžbe. Riješiti eksponencijalnu nejednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u nejednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi bit će nam važna svojstva eksponencijalne funkcije.

Eksponencijalno preslikavanje točaka

Preslikavanje koje realne brojeve  t R pridružuje točkama jedinične kružnice T R 2  nazivamo eksponencijalno preslikavanje: t E t = T .

F

Faktorijeli

Za prirodni broj n 1 simbolom n ! označujemo broj (en-faktorijela) definiran s n ! = n · n - 1 · · · 3 · 2 · 1 .

Zamijetimo da je 1 ! = 1 .

Dodatno definiramo 0 ! = 1 .

Funkcija kotangens

Funkciju koja broju t R \ k π , k Z pridružuje broj ctg t R nazivamo funkcija kotangens.

Funkcija tangens

Funkciju koja broju t R \ π 2 + k π , k Z pridružuje broj tg t R nazivamo funkcija tangens.

G

Glavna mjera kuta

Mjera kuta t za koju vrijedi 0 t < 2 π ili 0 t < 360 ° naziva se glavna mjera kuta.

Graf eksponencijalne funkcije

Graf eksponencijalne funkcije f  skup je svih točaka u ravnini:

Γ f = x , f x : f x = a x , x R , a > 0 , a 1 .

Graf funkcije tangens

Graf funkcije tangens skup je točaka u ravnini Γ f = x , f x : f x = tg x , x R , x π 2 + k π za k Z . Graf funkcije tangens nazivamo tangensoida.

Graf logaritamske funkcije

Graf logaritamske funkcije f   skup je točaka ravnine

Γ f = x , f x : f x = log a x , x R + , a > 0 , a 1 .

I

Implicitni oblik jednadžbe pravca

Jednadžbu pravca možemo zapisati i u obliku A x + B y + C = 0 , pri čemu barem jedan od realnih brojeva A ili B mora biti različit od 0 . Tu jednadžbu zovemo implicitni oblik jednadžbe pravca.

Injektivnost logaritamske funkcije

Logaritamska funkcija f x = log a x jest injektivna, tj. iz log a x 1 = log a x 2 slijedi x 1 = x 2 .

Iracionalne jednadžbe

Iracionalne jednadžbe su jednadžbe u kojima nepoznanica dolazi u bazi potencije s racionalnim eksponentom.

J

Jedinični vektor

Za vektor a 0 kažemo da je jedinični vektor ako je njegova duljina a 0 = 1 .

Ako vektor a , različit od nulvektora, podijelimo s njegovom duljinom, dobili smo jedinični vektor jednakog smjera i orijentacije kao vektor a .

a 0 = a a .

Jednadžba kružnice koja dodiruje os ordinata

x ± r 2 + y - q 2 = r 2

Jednadžba tangente kružnice u njezinoj točki

Jednadžba tangente na kružnicu x - p 2 + y - q 2 = r 2 u njezinoj točki T 0 x 0 , y 0 glasi x 0 - p x - p + y 0 - q y - q = r 2 .

Jednaki i suprotni vektori

Vektori a = a x i + a y j i b = b x i + b y j jednaki su onda i samo onda ako su im odgovarajuće koordinate jednake.

a = b a x = b x , a y = b y

Ako su koeficijenti vektora suprotni brojevi, vektori su jednake duljine i smjera, a suprotne orijentacije. 

Jednaki vektori

Vektori su jednaki ako su im duljina, smjer i orijentacija jednaki.

Jednakost skupova

Dva su skupa jednaka ako je svaki element prvog skupa ujedno element drugog skupa, i obrnuto.

A = B x A i x B  

K

Koeficijenti smjera okomitih pravaca

Ako su pravci okomiti, tada su im koeficijenti smjera recipročni i suprotnog predznaka.

Koeficijenti smjera paralelnih pravaca

Ako su pravci paralelni, tada su im koeficijenti smjera jednaki.

Kombinacije bez ponavljanja

Kombinacija r -tog razreda od n   elemenata je svaki podskup od r  elemenata n -članog skupa.

Ukupan broj kombinacija bez ponavljanja r -tog razreda od n  elemenata jednak je K n r = n r .

Kombinacije s ponavljanjem

Kombinacije s ponavljanjem r -tog razreda n -članog skupa je skup od r elemenata koji se sastoji od elemenata zadanog n -članog skupa s time da se neki elementi mogu pojaviti i više puta.

Broj kombinacija s ponavljanjem r -tog razreda od n različitih elemenata jednak je  K n r ¯ = n + r - 1                 r .

Kombinatorika

Kombinatorika je grana matematike koja se bavi prebrojavanjem elemenata konačnih skupova, odnosno prebrojavanjem načina da se elementi konačnih skupova poredaju, rasporede, izaberu.

Koraci geometrijskih konstrukcija

U izvođenju geometrijskih konstrukcija prolazimo sljedeće korake:

1. analiza problema

2. konstrukcija

3. dokaz

4. rasprava.

Kosinusoida

Graf funkcije kosinus skup je točaka u ravnini Γ f = x , f x : f x = cos x , x R .

Kotangens

Povucimo tangentu p na brojevnu kružnicu u točki 0 , 1 . Taj je pravac paralelan s osi x i dodiruje brojevnu kružnicu. Neka je t k π , k Z po volji realan broj i T = E ( t ) njezina pridružena točka trigonometrijske kružnice. Pravac O T siječe tangentu kružnice u točki T 1 = ctg t , 1 . Kotangens broja t  jest apscisa točke T 1 .

Kružnica sa središtem u ishodištu

Središnja jednadžba kružnice sa središtem u ishodištu jest x 2 + y 2 = r 2 . 

Kut

Kut je dio ravnine određen s dva polupravca, p  i q sa zajedničkim vrhom V . Oznaka: p V q .

L

Linearna kombinacija vektora

Linearna kombinacija dvaju vektora jest svaki izraz oblika: a u + b v , pri čemu su a i b  skalari i nazivamo ih koeficijentima, a u i v dva nekolinearna vektora.

Linearna kombinacija vektora jest novi vektor.

Linearno nezavisni vektor

Dva vektora koji nemaju isti smjer zovu se linearno nezavisni vektori ili nekolinearni vektori.

Linearno zavisni vektori

Za dva vektora a i b a , b 0 istog smjera kažemo da su linearno zavisni ili kolinearni vektori.

Logaritam

Logaritam broja y po bazi a jest eksponent kojim treba potencirati zadanu bazu a da bi se dobio y . Dakle,

ako je a x = y , onda je log a y = x .

Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija s bazom a realna je funkcija oblika f x = log a x , pri čemu je a > 0 i a 1 . Domena logaritamske funkcije skup je pozitivnih realnih brojeva R + . Skup njezinih vrijednosti jest cijeli skup R .

Logaritamska jednadžba

Logaritamska jednadžba je jednadžba koja se može svesti na oblik log a x = b , gdje je x R + nepoznanica,  a > 0 , a 1 baza i b R .

Logaritamska nejednadžba

Logaritamska nejednadžba je nejednadžba u kojoj je nepoznanica argument ili baza logaritma.

M

Mjerne jedinice kuta

Mjerne jedinice kuta mogu biti radijan i stupanj.

STUPNJEVI

Ako se početna i završna zraka preklapaju, kažemo da zatvaraju kut od 0 ° ili 360 ° .

1 ° (čitamo: jedan stupanj) možemo definirati kao 1 / 360 punog kuta.

RADIJANI

Radijan je veličina određena omjerom duljine luka kružnice l sa središtem u vrhu kuta i polumjera r te kružnice α rad = l r . 1 rad (čitamo: jedan radijan) jest kut kojemu je duljina luka jednaka polumjeru kružnog isječka kojim je kut definiran.

Množenje vektora realnim brojem

Množimo li vektor a realnim brojem k 0 , dobijemo vektor k a sa sljedećim svojstvima:

1. Duljina mu je jednaka umnošku apsolutne vrijednosti realnog broja i duljine vektora k a = k · a .

2. Smjer mu je jednak smjeru vektora a .

3. Orijentacija mu je jednaka orijentaciji vektora a za k > 0 , a suprotna orijentaciji vektora a za k < 0 .

Monotonost logaritamske funkcije

Logaritamska funkcija f x = log a x  strogo je rastuća za a > 1 , tj. za x 1 < x 2 vrijedi log a x 1 < log a x 2 .

Logaritamska funkcija f x = log a x  strogo je padajuća za 0 < a < 1 , tj. za x 1 < x 2 vrijedi log a x 1 > log a x 2 .

N

Načelo umnoška

Ako skup A   ima m   elemenata, a skup B n   elemenata te A i B nemaju zajedničkih elemenata (neovisni su jedan o drugome), tada je broj mogućih kombinacija elemenata prvog i drugog skupa jednak m · n .

Načelo zbroja

Neka promatrana dva konačna skupa, A i B nemaju zajedničkih elemenata A B = . Tada je ukupan broj elemenata unije A B jednak zbroju elemenata skupa A i skupa B .

card A B = card A + card B

Neparna funkcija

Funkcija f je neparna ako je za svaki x iz domene i - x u domeni funkcije f i ako vrijedi f - x = - f x za svaki x D f . Graf neparne funkcije simetričan je s obzirom na ishodište koordinatnog sustava.

Normala na kružnicu

Pravac koji prolazi diralištem tangente i okomit je na nju.

N-ti korijen

  1. Ako je n parni prirodni broj i a > 0 , tada je n -ti korijen iz realnog broja a pozitivni realni broj a n   za koji vrijedi a n n = a .
  2. Ako je n neparni prirodni broj i a R , tada je n -ti korijen iz realnog broja a realni broj a n   za koji vrijedi a n n = a .

Za a  = 0 0 n = 0 .

U izrazu  a n   broj n   nazivamo eksponent korijena ili korijenski eksponent, a broj a broj pod korijenom ili radikand. Dogovorno se za n = 1 i n = 2 i piše a 1 = a , a 2 = a .​

Napomena: Ako je n parni prirodni broj i a < 0 , tada a n nije realan broj.

Nulvektor

Vektor koji ima duljinu jednaku nuli, odnosno počinje i završava u istoj točki, zovemo nulvektor.

O

Oduzimanje vektora

Oduzimanje vektora definira se kao zbrajanje sa suprotnim vektorom.

a - b = a + - b

A B - C D = A B + D C

Omeđenost sinusa i kosinusa

Za svaki realan broj t vrijedi

- 1 sin t 1 ,

- 1 cos t 1 .

Orijentacija vektora

Vektor je, osim duljinom i smjerom, određen i orijentacijom.

Sve vektore istog smjera možemo podijeliti u dvije vrste:  jednake i suprotne orijentacije.

Orijentaciju vektora pokazuje strelica na kraju vektora.

P

Parna funkcija

Funkcija f je parna ako je za svaki x iz domene i - x u domeni funkcije f i ako vrijedi f ( - x ) = f ( x ) za svaki x D f . Graf parne funkcije simetričan je s obzirom na y os.

Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija

Sinus je neparna funkcija, a kosinus je parna funkcija. Za svaki t R vrijedi sin ( - t ) = - sin t i cos ( - t ) = cos t .

Tangens i kotangens neparne su funkcije. Za svaki realan broj t za koji su definirane vrijedi tg ( - t ) = - tg t i ctg ( - t ) = - ctg t .

Periodičnost funkcije

Za funkciju f kažemo da je periodična s periodom T , ako vrijedi

f x = f x + T , T R , x , x + T D f .

Najmanji takav pozitivan broj T naziva se temeljni period.

Periodičnost sinusa i kosinusa

Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus periodične su s temeljnim periodom 2 π . Vrijedi:

sin t + 2 π = sin t .

cos t + 2 π = cos t , t R .

Općenito, t R , k Z vrijedi

sin t + 2 k π = sin t .

cos t + 2 k π = cos t .

Periodičnost tangensa i kotangensa

Za trigonometrijske funkcije tangens i kotangens t R , k Z vrijedi:

tg t + k π = tg t ,

ctg t + k π = ctg t .

Tangens i kotangens periodične su funkcije s temeljnim periodom π .

Permutacija

Permutacija ili premještanje elemenata n -članog skupa je uređena n -torka svih elemenata (važan je poredak elemenata).

Permutacije bez ponavljanja

Broj permutacija bez ponavljanja skupa od n elemenata jednak je  P n = n ! .

Permutacije s ponavljanjem

Broj permutacija s ponavljanjem skupa od n   elemenata gdje je n 1  jednakih elemenata prve vrste, n 2 jednakih elemenata druge vrste pa sve do n k jednakih elemenata k -te vrste jednak je P n n 1 , n 2 , . . . , n k = n ! n 1 ! · n 2 ! · . . . · n k ! .

Pravac regresije

Pravac regresije jest pravac koji najbolje povezuje (aproksimira) zadane točke grafa.

Pravci paralelni s koordinatnim osima

Jednadžba pravca usporednog s osi​ x jest y = l , pri čemu je l odsječak na osi ordinata.

Jednadžba pravca usporednog s osi y jest x = a , pri čemu je a R .

Pravilo paralelograma

Ako zadani vektori O A i O B  imaju zajedničku početnu točku O , onda oni određuju tri vrha paralelograma. Zbroj vektora O A i O B jest vektor O C , pri čemu je O C  dijagonala paralelograma O A C B . Pišemo O C = O A + O B .


Pravilo trokuta

Vektori kojima se završetak prvog podudara s početkom drugog vektora, nazivaju se ulančani vektori. Zbroj ulančanih vektora AB i B C jest vektor A C kojemu je početak jednak početku prvog vektora, a završetak jednak završetku drugog vektora. Pišemo A B + B C = A C .


Primjena svojstva injektivnosti kod rješavanja eksponencijalnih jednadžbi

a f x = a g x     f x = g x , a > 0 , a 1 .

R

Racionalizacija nazivnika

Racionalizirati nazivnik zadanog razlomka znači odrediti razlomak jednak početnom, u kojem je nazivnik cijeli broj.

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi svojstvom monotonosti

Eksponencijalne nejednadžbe koje možemo svesti na nejednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom svojstava monotonosti.

  • a f x < a g x f x < g x , a > 1  
  • a f x > a g x f x > g x , a > 1  
  • a f x > a g x f x < g x , 0 < a < 1  
  • a f x < a g x f x > g x ,   0 < a < 1

S

Segmentni oblik jednandžbe pravca

Neka su točke m , 0 i 0 , n , m n 0 presjeci pravca s koordinatnim osima. Onda taj pravac ima jednadžbu x m + y n = 1 . Takav oblik jednadžbe pravca nazivamo segmentni oblik.

Brojevi m i n jesu segmenti ili odsječci koje pravac odsijeca na koordinatnim osima.

Sekanta kružnice

Pravac koji siječe kružnicu u dvjema točkama naziva se sekanta. U tom je slučaju udaljenost središta kružnice od pravca manja od polumjera kružnice.

Sinusoida

Graf funkcije f x = A sin b x + c + d nazivamo sinusoida.

Skalarni umnožak

Skalarni umnožak dvaju vektora jednak je umnošku njihovih modula i kosinusa kuta između njih.

a · b = a b cos φ  

Skalarni umnožak u koordinatnom sustavu

Skalarni umnožak dvaju vektora zadanih pomoću koordinata dobije se tako da se njihove istoimene koordinate pomnože i dobiveni umnošci zbroje.

  a · b = a x b x + a y b y  

Smjer vektora

Smjer vektora određuje pravac na kojem vektor leži. Vektori koji leže na istim ili paralelnim pravcima istog su smjera.

Za sve vektore koji leže na paralelnim pravcima kažemo još i da su kolinearni.

Primjerice, vektori sila kojima konji vuku kočiju djeluju duž istog pravca ili duž paralenih pravaca te su kolinearni, tj. imaju isti smjer.

Primijetite da se pojam smjera vektora razlikuje od pojma smjera koji koristimo u svakodnevnoj komunikaciji.

Suprotni vektori

Vektori jednakog smjera i duljine, ali suprotne orijentacije jesu suprotni vektori.

Suprotne vektore zapisujemo na sljedeći način: A B = - B A i a - a .

To znači da vektori a i - a imaju istu duljinu i leže na istom pravcu ili na paralelnim pravcima. Orijentacija im je suprotna.

Svojstva funkcije kosinus

Svojstva funkcije kosinus: Graf funkcije kosinus ima sljedeća svojstva:

  1. Funkcija je periodična s temeljnim periodom 2 π .
  2. Nultočke funkcije jesu x = π 2 + k π za k Z .
  3. Graf funkcije kosinus poprima minimum -1 za x = 2 k + 1 π i maksimum 1 za x = 2 k π za k Z .
  4. Zbog svojstva parnosti kosinusoida je simetrična s obzirom na os y .
  5. Graf funkcije raste na intervalima π + 2 k π , 2 π + 2 k π , k Z i pada na intervalima 2 k π , π + 2 k π , k Z .

Svojstva funkcije sinus

Funkcija f x = sin x ima sljedeća svojstva:

  1. Nultočke funkcije brojevi su k π , k Z .
  2. Za sve brojeve oblika x = π 2 + 2 k π , k Z funkcija poprima maksimalnu vrijednost jednaku 1 . Za sve brojeve oblika x = 3 π 2 + 2 k π , k Z funkcija poprima minimalnu vrijednost jednaku - 1.
  3. Period funkcije iznosi 2 π .
  4. Tijek je funkcije na intervalu 0 , 2 π sljedeći:
x 0 π 2 π 3 π 2 2 π
sin x 0 1 0 - 1 0

Svojstva množenja vektora realnim brojem

Za množenje vektora realnim brojem vrijede svojstva:

a) 1 · a = a

b) α β · a = α · β · a

c) α + β · a = α a + β a

d) α · a + b = α a + α b

e) α a = α · a

Svojstva n-tog korijena

Za pozitivne realne brojeve a i b i n , m N vrijedi:

  1. a n · b n = a · b n
  2. a b n = a n b n , b 0
  3. a m n = a n m
  4. a n m = a m · n
  5. a m m · n = a n

Napomena:

Za bilo koje realne brojeve a i b svojstva vrijede ako su m i n neparni prirodni brojevi.

Svojstva operacije zbrajanja vektora

Za zbrajanje vektora a i b vrijede ova svojstva:

1. Komutativnost: a + b = b + a .

2. Asocijativnost: a + b + c = a + b + c .

3. Svojstvo nulvektora: a + 0 = a .

4. Svojstvo suprotnog vektora: a + - a = 0 .

Svojstvo monotonosti logaritamske funkcije

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi s različitim bazama primjenjujemo monotonosti logaritamske funkcije.

Ako je

a > 1 i x > y     log a x > log a y

0 < a < 1   i x > y log a x < log a y,  

također vrijedi:

a > 1 i log a x < log a y x < y

0 < a < 1 i log a x < log a y x > y .

Svojstvo Pascalovog trokuta

Za binomne koeficijente vrijedi sljedeće svojstvo:

n k +         n k + 1 = n + 1 k + 1 , k = 0 , 1 , . . . n - 1 ;  

Svojstvo simetrije

Za binomne koeficijente vrijedi svojstvo simetrije:

n k =         n n - k .

T

Tangens

Povucimo tangentu p na brojevnu kružnicu u točki 1 , 0 . Taj je pravac okomit na os x i dodiruje brojevnu kružnicu. Neka je t π 2 + k π , k Z po volji realan broj i T = E ( t ) njezina pridružena točka trigonometrijske kružnice. Pravac O T siječe tangentu kružnice u točki T 1 = 1 , tg t . Tangens broja t jest ordinata točke T 1 .

Tangenta kružnice

Pravac koji dodiruje kružnicu u samo jednoj točki naziva se tangenta kružnice. U tom je slučaju  udaljenost središta kružnice od pravca jednaka polumjeru kružnice. 

Temeljna veza između sinusa i kosinusa

Ako znamo vrijednost sinusa, možemo izračunati vrijednost kosinusa i obratno, iz poznate vrijednosti kosinusa možemo odrediti vrijednost sinusa pomoću formula:

sin t = ± 1 - cos 2 t

cos t = ± 1 - sin 2 t .

Predznak biramo prema kvadrantu u kojem se nalazi točka E t .

Temeljni period trigonometrijskih funkcija

Upamtimo i ovo!

Neka su t , b , c R , b 0 .

Ako trigonometrijska funkcija sinus ili kosinus ima oblik sin b t + c ili cos b t + c , njezin je temeljni period T = 2 π b .

Ako trigonometrijska funkcija tangens ili kotangens ima oblik tg b t + c ili ctg b t + c , njezin je temeljni perod T = π b .

Više o određivanju temeljnog perioda naučit ćete prilikom crtanja trgonometrijskih funkcija.

Trigonometrijske jednadžbe

Trigonometrijske jednadžbe jesu jednadžbe u kojima se nepoznanica pojavljuje kao argument neke trigonometrijske funkcije. 

V

Varijacija bez ponavljanja

Varijacija bez ponavljanja r -tog razreda u n -članom skupu svaka je uređena r -torka različitih elemenata danog skupa.

Broj varijacija bez ponavljanja r -tog razreda od n elemenata jednak je

V n r = n n - 1 n - 2 · . . . · n - r - 1 .

Varijacije s ponavljanjem

Varijacija s ponavljanjem r -tog razreda u n -članom skupu svaka je uređena r -torka elemenata danog skupa gdje se elementi mogu ponavljati.

Broj varijacija s ponavljanjem r -tog razreda od n elemenata jednak je V n r ¯ = n r .

Vektor

Vektor je usmjerena dužina kod koje razlikujemo početnu i završnu točku. Vektor kod kojeg je točka A početna, a B krajnja (završna) točka zapisujemo kao A B i čitamo "vektor A B ".

Vektore možemo označavati i malim slovima latinične abecede npr.: a , b , c , u , . . .

Vektori u koordinatnom sustavu

U Kartezijevom koordinatnom sustavu istaknimo dva nekolinerana jedinična vektora:

i - jedinični vektor na osi apscisa

j - jedinični vektor na osi ordinata.

Vektor O T (s početkom u ishodištu), nazivamo radijvektor točke T ( x , y ) i prikazujemo ga kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora i  i j .

O T = x i + y j  

Realne brojeve x i y nazivamo koordinate vektora O T .

Općenito možemo zapisati:

Vektor A B s početkom u točki A x 1 ,   y 1 i završetkom u točki B x 2 , y 2 ima prikaz:

A B = x 2 - x 1 i + y 2 - y 1 j .

Z

Zbrajanje vektora - koordinatna metoda

Neka su zadani vektori a = a x i + a y j i b = b x i + b y j .

Zbroj tih vektora jest vektor čije su komponente jednake zbroju pripadnih komponenata, tj.

a + b = a x + b x i + a y + b y j .

Povratak na vrh