Matematika 3 - 3.4 Primjena eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi

Na početku...

Širenje računalnih virusa može se opisati različitim matematičkim modelima. Na brzinu širenja virusa utječu razni elementi. Za svaki virus treba odrediti matematičku formulu koja opisuje povećanje broja zaraženih računala s obzirom na proteklo vrijeme.

Širenje računalog virusa — Širenje računalnog virusa

Na početku širenja računalnog virusa bilo je zaraženo $10$ računala, a nakon $1$ sata $74$ računala. Ako broj zaraženih računala eksponencijalno raste prema funkciji $n (x) = n_{0} e^{k t},$ pri čemu je

$n_{0}$ broj zaraženih računala na početku širenja virusa,

$t$ vrijeme u satima i

$k$ konstanta specifična za određeni virus, odredite funkciju koja određuje širenje virusa.

Odredite nakon kojeg vremena će broj zaraženih računala biti $29 810 .$

$n_{0} = 10$

$n (1) = 74 \Rightarrow 10 \cdot e^{1 \cdot k} = 74$

$e^{k} = 7.4$

$k = \ln (7.4) \approx 2$

$n (t) = 10 \cdot e^{2 t}$

Želimo li odrediti nakon kojeg će vremena broj zaraženih računala biti $29 810,$ potrebno je riješiti jednadžbu $10 \cdot e^{2 t} = 29 810 .$ Nakon dijeljenja s $10$ dobivamo $e^{2 t} = 2 981,$ logaritmiramo (prirodnim logaritmom) i dobijemo $2 t \approx 8,$ $t \approx 4 .$

U ovoj ćemo jedinici pokazati kako rješavanje eksponencijalnih i logaritamskih jednadžbi iskoristiti za rješavanja raznih problemskih situacija.

Primjena eksponencijalnih jednadžbi

Primjer 1.

Sila trenja čeličnog užeta omotanog oko željeznog valjka omogućuje da se neka veća sila $P$ drži u ravnoteži s manjom silom $P_{0} .$ Veza između $P$ i $P_{0}$ dana je formulom $P = P_{0} \cdot 3^{n},$ gdje je $n$ broj namotaja užeta na valjak.

Odredimo koliko puta treba namotati uže oko valjka da bismo držali u ravnoteži silu od $1 350 N$ ako je $P_{0} = 50 N .$

Praktična primjena sile trenja

U našem je primjeru $P_{0} = 50 N$ i potrebno je držati u ravnoteži silu od $P = 1 350 N .$ Uvrstimo li podatke u formulu dobijemo eksponencijalnu jednadžbu $1350 = 50 \cdot 3^{n} .$ Podijelimo s $50 : 27 = 3^{n} .$

Napišimo $27$ kao potencija broja $3 .$ Imamo: $3^{3} = 3^{n} .$

Primjenom injektivnosti eksponencijalne funkcije dobijemo da je $n = 3 .$

Pogledajmo grafički prikaz funkcije $P (n) = 50 \cdot 3^{n} .$

Pomičite točku $A$ po krivulji te pratite vrijednosti $y$ koordinate. Kada je ta vrijednost jednaka $1 350 ?$

Rješenje jednadžbe $1 350 = 50 \cdot 3^{n}$ možemo zamisliti kao presjek dvaju grafova funkcija: eksponencijalne $y = 50 \cdot 3^{x}$ i linearne funkcije (konstantne) $y = 1 350 .$

Graf eksponencijalne funkcije - kolotura — Graf eksponencijalne funkcije na primjeru koloture

Zadatak 1.

U jednoj šumi primijećeno je iznenadno odumiranje hrastova kojim je obuhvaćeno $2 {km}^{2}$ šume. Sljedećeg je dana obuhvaćeno $2.2 {km}^{2} .$

Ako se zaraženo područje svaki dan povećava za $10 %,$ koliko će ono iznositi nakon $10$ dana?
Kada će bolest obuhvatiti cijelu šumu ako se ona proteže na području od $50 {km}^{2} ?$

Svaki dan veličina zaraženog područja bit će jednaka veličini iz prethodnog dana pomnoženo s $1.1 .$

$(1 + 10 %$ od $1 = 1 + 0.1) .$ Zato je funkcija koja opisuje veličinu zaraženog područja $P (t) = 2 \cdot 1.1^{t}$ gdje je $t$ vrijeme u danima.

Nakon $10$ dana veličina zaraženog područja je $P (10) = 2 \cdot {1.1}^{10} \approx 5.19 {km}^{2} .$
$2 \cdot {1.1}^{x} = 50$

${1.1}^{x} = 25$

$x \log 1.1 = \log 25$

$x = \frac{\log 25}{\log 1.1} \approx 33.77$

Izradi vježbu

Riješite još nekoliko zadataka s eksponencijalnim jednadžbama.

Broj korisnika jedne aplikacije povećava se prema formuli

f (t) = 32 \cdot 2^{t - 1,}

gdje je

t

vrijeme proteklo od pokretanja aplikacije u mjesecima.
Koliko će se korisnika koristiti aplikacijom nakon

3

mjeseca?

Nakon koliko mjeseci će aplikacija imati

65 536

korisnika?

null

Neprekidno ukamaćivanje provodi se prema formuli

C_{n} = C_{0} \cdot e^{k t},

gdje je

C_{0}

uloženi (ili posuđeni) iznos,

k

godišnja kamatna stopa,

t

vrijeme u godinama i

C_{n}

uloženi novac s kamatama. Odredite kojim ćemo iznosom raspolagati nakon

4

godine ako uložimo

10 000

kn uz godišnju kamatnu stopu

5 % .

(

k = 0.05

)

Nakon koliko vremena ćemo udvostručiti iznos od

10 000

kn uz kamatnu stopu od

5 % ?

null

Primjena logaritamskih jednadžbi

Primjer 2.

Populacija zečeva u parku prirode mijenja se prema funkciji

$P (t) = 100 \cdot \ln (t + 2),$ gdje je $P (t)$ broj zečeva nakon $t$ godina.

Odredimo broj zečeva za godinu dana.

Izračunajmo kada će broj zečeva narasti na $200$ ?

Rješenje:

Za godinu dana bit će $P (1) = 100 \cdot \ln (1 + 2) \approx 110$ zečeva.

Riješimo jednadžbu $100 \cdot \ln (t + 2) = 200 .$

$\ln (t + 2) = 2$

Djelujemo li eksponencijalnom funkcijom s bazom $e$ dobit ćemo $t + 2 = e^{2,}$ tj. $t = e^{2} - 2 \approx 5.3891 .$

To je za približno $5$ godina $4$ mjeseca i $20$ dana.

Zečevi

Pogledajmo grafički prikaz rješenja prethodnog primjera. Rješenje jednadžbe $100 \cdot \ln (t + 2) = 200$ možemo zamisliti kao točku u kojoj se sijeku grafovi dviju funkcija $f (x) = 100 \cdot \ln (t + 2)$ i $g (x) = 200.$

Graf logaritamske funkcije - zečevi — Graf logaritamske funkcije na primjeru zečeva

Zadatak 2.

Prema zakonu zaboravljanja za jedno određeno gradivo, ako ga naučimo s uspješnosti $U_{0}$ tada je $t$ mjeseci nakon toga, uspješnost $U$ rješavanja toga gradiva dana formulom $\log U = \log U_{0} - 0.2 \log (t + 1) .$

Učenik je na početnom testiranju imao 80 bodova. Odredite kolika će biti njegova uspješnost nakon 2 mjeseca učenja.
Nakon koliko vremena $(t)$ će učenik koji je na početnom testiranju imao $80$ bodova imati $40$ bodova?

$\log U = \log 80 - 0.2 \log 3$

$\log U = \log \frac{80}{3^{0.2}}$

$U = 64.21$
$\log 40 = \log 80 - 0.2 \log (t + 1)$

$\log (t + 1) = \frac{\log 2}{0.2}$

$t + 1 = 10^{\frac{\log 2}{0.2}}$

t = 10^{\frac{\log 2}{0.2}} - 1

Izradi vježbu

Riješite još nekoliko zadataka s logaritamskim jednadžbama.

Brzina vjetra u središtu tornada u

km/h

može se izračunati s pomoću funkcije

v (d) = 93 \log d + 65,

gdje je

d

udaljenost koju tornado prijeđe. Odredite brzinu vjetra ako je tornado prešao

100 km .

Ako

je brzina vjetra

250 km/h,

koliku je udaljenost tornado prešao?

null

Životni vijek ljudi produljuje se prema formuli

f (t) = 39.17 + 15.7 \ln t,

gdje je

t

broj desetljeća od 1900. godine. Odredite predviđeni životni vijek ljudi 2000. godine.

Odredite koje godine bi predviđeni životni vijek ljudi iznosio

100

godina.

null

Razne primjene

Postoje eksponencijalne i logaritamske jednadžbe koje nije jednostavno riješiti algebarskim metodama. U takvim će nam situacijama pomoći grafički prikaz funkcija.

Primjer 3.

Koliko rješenja ima jednadžba $2^{x} = 1 - x^{2} ?$

Rješenje:

Zamislimo li lijevu stranu kao eksponencijalnu funkciju $f (x) = 2^{x},$ a desnu stranu kao kvadratnu funkciju $g (x) = 1 - x^{2},$ naše pitanje postaje: Na koliko mjesta se sijeku grafovi tih dviju funkcija?

Nacrtajmo u koordinatnom sustavu grafove tih dviju funkcija i potražimo gdje se te dvije krivulje sijeku.

Ta jednadžba ima dva rješenja.

Presjek eksponencijalne i kvadratne funkcije

Kutak za znatiželjne

Približna (aproksimativna) rješenja jednadžbe $2^{x} = 1 - x^{2}$ mogu se odrediti pomoću metode bisekcije. Ta je metoda jedna od važnijih metoda numeričke matematike. Pronađite izvore koji opisuju tu metodu te pokušajte pronaći rješenja.

Presjek eksponencijalne i kvadratne funkcije - zadatak — Presjek eksponencijalne i kvadratne funkcije

Zadatak 3.

Koliko rješenja ima jednadžba ${(\frac{1}{2})}^{x} - 2 = - x^{2} + 2 ?$

Jednadžba ima dva rješenja.

Presjek logaritamske i linearne funkcije

Zadatak 4.

Koliko rješenja ima jednadžba $\log x = \frac{1}{2} x - 1 ?$

Jednadžba ima dva rješenja.

Primjer 4.

U laboratorij je donesen uzorak od $100$ bakterija koje se razmnožavaju diobom svakih $1$ h prema formuli $f (t) = 100 \cdot 2^{t} .$ Genetičkom mutacijom kemičari su stvorili $20$ bakterija koje se svakih $1$ h učetverostručuju. Pravilo prema kojem se one razmnožavaju dano je funkcijom $g (t) = 20 \cdot 4^{t} .$ Nakon koliko sati će biti jednak broj bakterija koje se udvostručuju i bakterija koje se učetverostručuju?

Prvi uzorak bakterija

Drugi uzorak bakterija

Da bismo odredili kada će biti jednak broj bakterija jedne i druge vrste, riješimo jednadžbu: $100 \cdot 2^{t} = 20 \cdot 4^{t} .$

Dijeljenjem sa $100$ dobijemo: $2^{t} = \frac{1}{5} 4^{t} .$

Podijelimo li s $4^{t}$ dobijemo ${(\frac{1}{2})}^{t} = \frac{1}{5} .$

Rješenje te jednadžbe dobivamo logaritmiranjem.

$t = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{5}) \approx 2.3219$

Nakon $2$ sata $19$ minuta i $19$ sekundi bit će jednak broj bakterija.

Zadatak 5.

Broj posjetitelja mrežne stranice WebForYou povećava se eksponencijalno prema funkciji $y (t) = 10 \cdot {1.5}^{t},$ gdje je $t$ vrijeme proteklo od početka uspostavljanja te mrežne stranice izraženo u danima. Broj posjetitelja mrežne stranice WebForMe mijenja se tako da zadovoljava funkciju $m (t) = 3 \cdot 2^{t - 1} .$ Odredite nakon koliko dana će obje mrežne stranice imati jednak broj posjetitelja.

$10 \cdot {(\frac{3}{2})}^{t} = 3 \cdot 2^{t - 1}$

$t \approx 6.5945$

Nakon $6$ dana $14$ sati i $16$ minuta.

Na početku...

Primjena eksponencijalnih jednadžbi

Primjer 1.

Zadatak 1.

Izradi vježbu

Primjena logaritamskih jednadžbi

Primjer 2.

Zadatak 2.

Izradi vježbu

Razne primjene

Primjer 3.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Primjer 4.

Zadatak 5.

...i na kraju