x
Učitavanje

9.4 Kružnica kroz tri točke

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

U gradu Matpolisu pojavio se problem manjka parkirališnih mjesta. Analitičari su upozorili gradonačelnicu na postojanje triju kritičnih točaka u kojima postoji problem parkiranja. Grad planira izgraditi podzemnu garažu. Projektant treba pronaći najbolje mjesto za podzemnu garažu kako bi se problem riješio. Najbolje je ono mjesto koje je jednako udaljeno od svih triju kritičnih točaka parkiranja.

Gužva na parkiralištu
U gradu je manjak parkirališnih mjesta. Kako odrediti mjesto za podzemnu garažu ako ona mora biti jednako udaljena od triju kritičnih točkaka za parkiranje?

U postavljenom problemu imamo tri točke koj trebaju biti jednako udaljene od četvrte.
Sve tri točke trebaju biti na

,
a tražena je točka
kružnice.
Da bi arhitekt riješio problem, treba odrediti
kružnice
određene zadanim trima točkama.
null
null

Jednadžba kružnice kroz tri točke

Primjer 1.

Na slici su zadane tri točke. Odredimo jednadžbu kružnice koja prolazi zadanim točkama.

Zadatak je gotovo uvijek moguće riješiti na više načina. U ovom primjeru pokazat ćemo dva načina.

  1. Tražena kružnica je kružnica opisana trokutu A B C , pa središte tražimo kao sjecište simetrala stranica.
  2. Sve tri točke leže na kružnici pa zadovoljavaju jednadžbu kružnice. Uvrštavanjem koordinata točaka u jednadžbu kružnice imamo tri jednadžbe s tri nepoznanice.
Kružnica zadana trima točkama
Kružnica zadana trima točkama

a)
Zadane točke su A ( - 2 , 2 ) ,   B ( 2 , 4 ) C ( 7 , - 1 ) . Točke tvore trokut koji je upisan u traženu kružnicu.

Prisjetimo se!

Središte trokutu opisane kružnice nalazi se u sjecištu simetrala stranica. Trebamo pronaći jednadžbe dviju simetrala stranica i njihovo sjecište.

Odredimo simetralu stranice B C ¯ . Simetrala prolazi polovištem stranice B C ¯ i okomita je na stranicu .

P B C = 2 + 7 2 , 4 - 1 2 = 9 2 , 3 2 .

Odredimo sada koeficijent smjera pravca na kojem leži stranica B C ¯ :

k B C = - 1 - 4 7 - 2 = - 5 5 = - 1

Kako je koeficijent smjera pravca na kojem leži stranica - 1 , zaključujemo da je koeficijent smjera simetrale 1 .

y - 3 2 = 1 · x - 9 2

y = x - 3   ‒ simetrala stranice B C ¯

Ako postupak ponovimo za stranicu A B ¯ , dobit ćemo jednadžbu simetrale:

y = - 2 x + 3 .

Pronađimo sada sjecište tih dviju simetrale kao rješenje sustava dviju jednadžbi s dvjema nepoznanicama:

y = - 2 x + 3
y = x - 3 .

Oduzimanjem tih dviju jednadžbi dobijemo rješenje koje je središte tražene kružnice: S 2 , - 1  .

Udaljenost središta do bilo koje od zadanih točaka je polumjer kružnice i iznosi 5 .

Jednadžba kružnice na kojoj se nalaze zadne točke jest: x - 2 2 + y + 1 2 = 25 .


Riješimo sada zadatak na drugi način.

b)
Uvrstimo koordinate svih triju točkaka u centralnu jednadžbu kružnice:

- 2 - p 2 + 2 - q 2 = r 2

2 - p 2 + 4 - q 2 = r 2

7 - p 2 + - 1 - q 2 = r 2 .

Nakon kvadriranja binoma imamo sljedeće tri jednadžbe:

p 2 + q 2 + 4 p - 4 q + 8 = r 2

p 2 + q 2 - 4 p - 8 q + 20 = r 2

p 2 + q 2 - 14 p + 2 q + 50 = r 2 .

Sada oduzmimo drugu jednadžbu od prve, pa treću od druge:

8 p + 4 q - 12 = 0

10 p - 10 q - 30 = 0 .

Kao rješenje tih dviju jednadžbi imamo p = 2 ,   q = - 1 .

Uvrštavanjem p i q u bilo koju od početnih jednadžbi izračunat ćemo polumjer i jednadžba kružnice je:

x - 2 2 + y + 1 2 = 25 .


Zadatak 1.

Odredite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama: - 2 , 4 , 2 , 6 i 7 , 1 .

x - 2 2 + y - 1 2 = 25   


Postoji li kod nekih točaka jednostavniji način određivanja kružnice i kada? Odgovorite na sljedeća pitanja.

Točke A ( 2 , 7 ) , B ( - 3 , 7 ) i C ( 0 , 7 ) leže na istoj kružnici.

null
null

Točke A ( 2 , 5 ) , B ( - 5 , 2 ) i C ( - 2 , - 5 ) leže na istoj

 
.Točke A i C su rubne točke
 
kružnice. Točke A, B i C su vrhovi
 
trokuta, čija je
 
promjer kružnice na kojoj točke leže.
promjera
pravokutnog
kružnici
hipotenuza
null
null

Opisani postupak nije jednostavan i lako je pogriješiti pa ga treba dobro uvježbati. Iskoristite sljedeću vježbalicu da biste što bolje uvježbali opisani postupak.

Konstrukcija kružnice kroz tri točke

Kako konstruirati kružnicu koja je zadana s tri točke koje joj pripadaju? Odgovor smo već dali u rješenju a) primjera 1.

Pogledajmo konstrukciju kružnice kroz tri točke u sljedećem videoisječku.

Za provjeru svojih rješenja i za konstrukciju kružnice zadane s trima točkama možemo se koristiti i digitalnim alatima. Jedan od njih je i GeoGebra. U nastavku ćemo opisati kako u nekoliko koraka konstruirati kružnicu kroz tri točke s pomoću toga digitalnog alata.

Primjer 2.

Konstruirajmo kružnicu kroz tri točke s pomoću programa dinamične geometrije GeoGebra.

Zadane su točke T ( 2 , - 3 ) , P ( - 3 , 1 ) i R ( 4 , 5 ) .

1) Nacrtajmo točke s pomoću trake za unos.

Konstrukcija kružnice kroz tri točke
Traka za unos u alatu Geogebra

2) Povežimo točke s pomoću dužina u tokut. Na slici vidite kako odabrati alat kojim crtamo dužinu.

Konstrukcija kružnice kroz tri točke
Konstrukcija kružnice kroz tri točke

3) Na dvije dužine konstruirajmo simetralu stranice. Na slici je prikaz odabira ikone kojom možemo nacrtati simetralu stranice.

Konstrukcija kružnice kroz tri točke - Slika 3
Konstrukcija kružnice kroz tri točke - Slika 3

4) Nacrtajmo sjecište simetrala. Na slici je prikaz odabira ikone kojom možemo odrediti sjecište dvaju pravaca ili dviju dužina.

Konstrukcija kružnice kroz tri točke
Konstrukcija kružnice kroz tri točke

5) Sjecište simetrala stranica je i središte trokutu opisane kružnice, tj. kružnice kroz tri zadane točke. Našli smo središte pa sada crtamo kružnicu zadanu sa središtem i polumjerom.

Na slici je prikaz odabira alata za crtanje kružnice.

Konstrukcija kružnice kroz tri točke
Konstrukcija kružnice kroz tri točke

6) Crtež koji smo napravili možemo urediti i spremiti kao .ggb, ali i kao sliku, te izvesti kao mrežnu stranicu.

Konstrukcija kružnice kroz tri točke
Konstrukcija kružnice kroz tri točke

...i na kraju

Za kraj riješite uvodni problem.

Problem podzemne garaže
Problem podzemne garaže

Zadatak 2.

Na slici su označene točke u kojima postoji problem parkiranja. Odredite točku u kojoj bi bilo dobro izgraditi garažu.

Rješenje zadatka 2.
Rješenje zadatka 2.

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh