Matematika 3 - 2.3 Logaritamska funkcija i njezin graf

Na početku...

Uzorak bakterija za laboratorijsku analizu. — Uzorak bakterija

U laboratoriju se nalazi uzorak bakterija za analizu. U uzorku ima $100$ bakterija. Ako se bakterije razmnožavaju tako da se njihov broj udvostruči svakih $20$ minuta, koliko će bakterija biti u uzorku nakon: a) $20$ minuta, b) $40$ minuta, c) $1$ sat, d) $2$ sata? Možete li povećanje broja bakterija prikazati grafički? Odredite funkciju koja opisuje porast broja bakterija s obzirom na vrijeme.

Početna vrijednost iznosi $100$ komada. Nakon $20$ minuta bit će $200$ bakterija, nakon $40$ minuta $400$ bakterija, nakon $1$ sata $800$ bakterija...

Ako se bakterije dupliciraju, tada je porast eksponencijalan s bazom $2 .$

Funkcija koja opisuje porast broja bakterija tijekom vremena glasi $f (x) = 100 \cdot 2^{x,},$ pri čemu je $x$ broj dupliciranja, tj. broj vremenskih odsječaka od $20$ minuta.

Nakon $1$ sata, $3$ dijeljenja bakterija, broj bakterija bit će: $f (3) = 100 \cdot 2^{3} = 800 .$

Nakon $2$ sata, $6$ dijeljenja bakterija, broj bakterija bit će: $f (6) = 100 \cdot 2^{6} = 6 400 .$

Nakon kojeg će se vremena broj bakterija povećati na $12 800 ?$ Možete li grafički prikazati ovisnost vremena o broju bakterija? Možete li odrediti funkciju koja za zadani broj bakterija daje koliko je puta provedena dioba?

Odgovore na ova i slična pitanja dobit ćete u nastavku.

Eksponencijalna funkcija jest funkcija oblika

pri čemu je

f (x) = a^{x}

a > 0

a \neq 1

null

Domena eksponencijalne funkcije jest skup

, a skup vrijednosti je

R

R^{+}

null

Kod eksponencijalne funkcije za svaki poznati $y$ koji je element slike pokušajmo odrediti $x$ koji se u njega preslikava. Znači iz $a^{x} = y,$ određujemo $x$ i dobivamo $x = \log_{a} y .$ Dobili smo logaritamsku funkciju koja je definirana na svim elementima slike polazne eksponencijalne funkcije.

Domena logaritamske funkcije jednaka je

eksponencijalne

funkcije, a slika logaritamske funkcije jednaka je

eksponencijalne

funkcije.

null

Logaritamska funkcija

Logaritamska funkcija s bazom $a$ realna je funkcija oblika $f (x) = \log_{a} x,$ pri čemu je $a > 0$ i $a \neq 1$ . Domena logaritamske funkcije skup je pozitivnih realnih brojeva $R^{+} .$ Skup njezinih vrijednosti jest cijeli skup $R .$

Logaritamsku funkciju s bazom $10$ zapisujemo $f (x) = \log x .$

Logaritamsku funkciju s bazom $e$ zapisujemo $f (x) = \ln x .$

Zanimljivost

Eksponencijalne i logaritamske funkcije kao argument mogu imati i neku funkciju s varijablom $x$ ili se mogu dobiti nekim računskim operacijama nad elementarnom funkcijom. U tom se slučaju mogu promijeniti neka svojstva elementarne eksponencijalne ili logaritamske funkcije.

Rasporedite funkcije prema vrsti.

f (x) = 2 \cdot 5^{x}

f (x) = {(- 2)}^{x}

f (x) = \log_{2} x

f (x) = 2 \cdot x^{5}

f (x) = \log_{5} (x + 2)

f (x) = {0.5}^{x}

f (x) = \log_{0.5} x + 1

f (x) = \log_{1} x

f (x) = 3^{x} + 2

Eksponencijalna funkcija

Logaritamska funkcija

Ostalo

null

Stavimo li kao argument logaritamske funkcije izraz koji uz $x$ sadrži još nešto, možemo promijeniti domenu logaritamske funkcije.

Primjer 1.

Odredimo domenu funkcije $f (x) = \log_{4} (x + 4) .$

Logaritam možemo računati za strogo pozitivne brojeve. Stoga je potrebno da je $x + 4 > 0,$ $x > - 4 .$ Domena ove funkcije jest $⟨- 4, + \infty⟩ .$

Zadatak 1.

Odredite domene sljedećih funkcija:

$f (x) = \log_{3} (x + 1)$
$f (x) = \log_{0.1} (2 x - 1)$
$f (x) = \ln (5 - x)$
$f (x) = \log (4 - 2 x)$

$x + 1 > 0,$ $D_{f} = ⟨- 1, + \infty⟩$
$2 x - 1 > 0,$ $D_{f} = ⟨\frac{1}{2}, + \infty⟩$
$5 - x > 0,$ $D_{f} = ⟨- \infty, 5⟩$
$4 - 2 x > 0,$ $D_{f} = ⟨- \infty, 2⟩$

Kutak za znatiželjne

Postoje li logaritamske funkcije kojima skup vrijednosti nije cijeli skup $R ?$

...i na kraju

Rasporedite svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije u

3

skupine: ona koja vrijede samo za eksponencijalnu funkciju, ona koja vrijede samo za logaritamsku funkciju i svojstva koja vrijede za obje funkcije.

Svojstva eksponencijalne i logaritamske funkcije

D_{f} = R^{+}

0 < a < 1

pada.

D_{f} = R

R_{f} = R^{+}

Baza

a > 0

a \neq 1 .

a > 1

raste.

R_{f} = R

Graf prolazi točkom

(1, 0) .

Graf prolazi točkom

(0,1) .

Vrijedi samo za eksponencijalnu funkciju

Vrijedi samo za logaritamsku funkciju

Vrijedi za obje funkcije

null

$x$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$	$27$
$f$ $(x)$ $=$ $\log_{\frac{1}{3}}$ $x$

2.3 Logaritamska funkcija i njezin graf

Na početku...

Logaritamska funkcija

Zanimljivost

Eksponencijalna funkcija

Logaritamska funkcija

Ostalo

Primjer 1.

Zadatak 1.

Kutak za znatiželjne

Graf logaritamske funkcije

Zadatak 2.

Graf logaritamske funkcije

Zadatak 3.

Monotonost logaritamske funkcije

Injektivnost logaritamske funkcije

Kutak za znatiželjne

Kutak za znatiželjne

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

Vrijedi samo za eksponencijalnu funkciju

Vrijedi samo za logaritamsku funkciju

Vrijedi za obje funkcije

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: