x
Učitavanje

2.1 Eksponencijalna funkcija i njezin graf

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Krenuli ste na tržnicu po 3 kilograma krumpira. Na dva mjesta ste ih pronašli po dvije različite cijene, 4 kn za kilogram i  5 kn za kilogram. Koliko biste platiti koju vrstu krumpira s obzirom na cijenu? Koliko biste platiti te krumpire za x kilograma?

Tržnica
Pult s voćem na tržnici.

Naišli ste i na odlične mandarine i kupili 2 kilograma za 32 kn. Kako biste podijelili te mandarine na x jednakih dijelova? Koliko kilograma mandarina možete kupiti za 100 kn ?

Počela je nova školska godina, ali u vašem razredu nije jednak broj učenika kao prošle godine. Marko i Iva su prešli u drugu školu, Josip se preselio s roditeljima, a dobili ste i jednu novu učenicu, Saru. Opet ne znate koji ste redni broj u imeniku. Marko i Iva bili su ispred vas, Josip iza, a Sara bi trebala po prezimenu biti ispred. Kako ćete odrediti svoj redni broj u imeniku? Kako se učenicima  dodjeljuju redni brojevi u imeniku?

Ponovimo funkciju

Možemo li tekst iz uvoda prevesti na matematički jezik?

O čemu se radi?

Pridružili smo jedan podatak nekom drugom podatku. Znamo li pravilo pridruživanja? Iz kojeg su skupa početni podatci, a iz kojeg podatci koje dobijemo?

Jesu li nam ove informacije bitne za definiranje pridruživanja elemenata?

Pogledajmo sljedeći stroj koji odabranom realnom broju po zadanom pravilu pridružuje neki drugi realan broj.

Praktična vježba

Prema Frayerovu modelu pokušajte ponoviti funkcije koje ste do sada učili. Odaberite jednu od ponuđenih funkcija i ponovite definiciju, svojstva i grafički prikaz:

Predložak za Frayerov model
Predložak za Frayerov model.

Usporedite svoje rezultate s rezultatima kolega iz razreda.

Ponovite što znate o funkcijama.

Povežite nazive funkcija s pravilima pridruživanja.

kvadratna funkcija
f ( x ) = x 3  
funkcija apsolutne vrijednosti
f ( x ) = x  
linearna funkcija
f x = 1 x
kubna funkcija
f x = x
racionalna funkcija
f x = - 1 3 x + 2
funkcija drugog korijena
f x = 2 x 2 - x + 1
null
null

Pridružite nazive funkcija pripadajućim grafovima.

Funkcija apsolutno

null
null
Funkcija drugog korijena

null
null
Funkcija konstanta

null
null
Kubna funkcija

null
null
Linearna funkcija

null
null
Racionalna funkcija

null
null
Kvadratna funkcija

null
null

Funkcija je pravilo koje svakom elementu jednog skupa pridružuje točno jedan element drugog skupa.

To se pravilo još naziva i

.
Svakom elementu
pridružujemo
jedinstveni element
kojeg
nazivamo njegovom
.
Skup svih slika elemenata domene je
kodomene
koji se naziva
.
Obično sa x označavamo
varijablu,
a sa y
varijablu. 

Skup svih uređenih parova oblika: Γ f = x , f x :   x   pripada   domeni   funkcije nazivamo
.
null
null

Eksponencijalna funkcija i njezin graf

Vratimo se na stroj pridruživanja. Možete li zaključiti o kakvom se pridruživanju radi u trećem slučaju?

Zadatak 1.

Nacrtajte u koordinatnom sustavu dobivene točke iz animacije: - 2 , 1 4 , - 1 , 1 2 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 4 . Kako izgleda krivulja koja ih glatko spaja? Možemo li izgled te krivulje povezati s nekom od prethodnih funkcija?

Nijedan od grafova prethodnih krivulja ne odgovara ovom grafu.

Zadane točke povezane krivuljom
Pet točaka u koordinatnom sustavu iz prethodne 2D animacije spojene krivuljom.

Definirajmo novu funkciju.

Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija jest funkcija f : R R oblika f x = a x , pri čemu je a > 0 , a 1

Nacrtat ćemo ponovno krivulju iz prethodnog zadatka pomoću programa dinamične geometrije.

Istražite svojstva krivulje pomoću dane interakcije i odgovorite na sljedeća pitanja:

Pomičući točku T pratite vrijednosti apscise i ordinate.

Koje vrijednosti može poprimiti apscisa točke na krivulji?

Koje vrijednosti može poprimiti ordinata točke T ?

Zapamtimo!

Eksponencijalna funkcija definirana je:

  • pravilom pridruživanja f x = a x , a > 0 , a 1
  • domenom, R
  • slikom funkcije 0 , .

S obzirom na bazu a , funkcija:

  • pada za 0 < a < 1
  • raste za a > 1 .

Zadane funkcije razvrstajte u dva skupa: rastuće i padajuće. Izdvojite funkcije koje nisu eksponencijalne.

h x = 0.8 x

Rastuće eksponencijalne funkcije

Padajuće eksponencijalne funkcije

Nisu eksponencijalne funkcije

null

Graf eksponencijalne funkcije

Graf eksponencijalne funkcije f  skup je svih točaka u ravnini:

Γ f = x , f x : f x = a x , x R , a > 0 , a 1 .

Nacrtajte graf funkcije f x = 3 - x . U nastavku su koraci za crtanje. Posložite ih po redoslijedu izvršavanja.

  • Analogno dobijemo ostale vrijednosti:
  • Nacrtamo krivulju koja prolazi tim točkama.
  • f - 1 = 3 , f 0 = 1 , f 1 = 1 3 , f 2 = 1 9
  • Riješimo se negativnog eksponenta, f x = 1 3 x .
  • Za x - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2   računamo vrijednosti funkcije.
  • Za x = - 2 vrijedi: f - 2 = 1 3 - 2 = 9 .
  • Odredimo nekoliko točaka koje pripadaju grafu.
  • Ucrtamo točke u koordinatni sustav.
null

Razmislite!

Kako se ponaša graf lijevo od prve ucrtane točke? Što je s grafom desno od zadnje ucrtane točke?

U kojoj točki krivulja siječe os ordinatu?
null
null

Siječe li graf eksponencijalne funkcije os x ?

null
null

Asimptota eksponencijalne funkcije

Graf eksponencijalne funkcije f x = a x  približava se osi apscisa, ali je ne siječe. Kažemo da je os apscisa (pravac y = 0 ) asimptota eksponencijalne funkcije.

Zadatak 2.

Uz pomoć sljedeće interakcije nacrtajte u bilježnicu graf funkcije f x = 1 3 x .

Zadatak 3.

Nacrtajte grafove eksponencijalnih funkcija.

  1. f x = 3 x
  2. g x = 2 3 x
  3. h x = 0.2 - x
Grafovi eksponencijalnih funkcija
Grafičko rješenje 3. zadatka

Nakon što ste nacrtali grafove u bilježnicu, pomoću programa dinamične geometrije provjerite točnost svojih rješenja. U nastavku je predložak za crtanje.

Vrijednost argumenta eksponencijalne funkcije

Iz grafičkog prikaza eksponencijalne funkcije možemo pročitati vrijednost argumenta za zadanu vrijednost funkcije. Na grafu pronađemo točku sa zadanom ordinatom (vrijednost funkcije) i očitamo apscisu te točke.

Zadatak 4.

Uz pomoć prethodne interakcije za crtanje eksponencijalnih funkcija odredite za koji x funkcija f ( x ) = 2 - x poprima sljedeće vrijednosti: - 1 , 0 , 0.25 , 0.5 ,   1 , 2 , 3 , 4 , 8 .

Možemo li pronaći odgovarajući x za koji zadana funkcija poprima svaku od navedenih vrijednosti funkcije?

U interakciji u polje za unos napišite funkciju. Nakon toga odaberite alat "točka na objektu" i ucrtajte točku na grafu funkcije.

Sada lako pomicanjem točke možete lijevo u polju za unos čitati koordinate koje vam trebaju. Po potrebi mijenjajte veličinu koordinatnog sustava kako biste mogli očitati sve potrebne koordinate.

f ( 2 ) = 0.25 2 0.25

1 0.5 0 1 - 1 2 - 1.58 3 - 2 4 - 3 8


Zadane vrijednosti funkcije f x = 2 - x razvrstajte s obzirom na to pripadaju li slici funkcije, odnosno s obzirom na predznak argumenta.

- 1

Element ne pripada slici funkcije

x > 0

x 0

null
null

...i na kraju

Iz prethodnog ste primjera mogli zaključiti da nije baš uvijek lako pronaći točnu vrijednost argumenta. Provjerite međusobno rješenja za x = 3 . Moguća su odstupanja već na drugoj decimali.

Kako bismo precizno mogli izračunati argument, potrebno je pronaći pravilo koje slici eksponencijalne funkcije pridružuje argument. Odgovor na pitanje o kojoj se funkciji radi potražite u sljedećim jedinicama.

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh