Matematika 3 - 2.4 Veza eksponencijalne i logaritamske funkcije

Na početku...

Treći ste razred, približava se ispit zrelosti - matura. Koliko naučenog gradiva ste zaboravili?

Eksponencijalna krivulja zaboravljanja Hermanna Ebbinghausa. — Ebbinghausova eksponencijalna krivulja zaboravljanja

Zanimljivost

Poznata Ebbinghausova eksponencijalna krivulja zaboravljanja pokazuje da se naučeni materijal neposredno nakon učenja brže zaboravlja, a s vremenom sve sporije. Ponavljanjem gradiva, krivulja zaboravljanja je sve blaža, odnosno vrijeme učenja istog materijala je kraće, u odnosu na prethodno učenje.

Korelacija

Hermann Ebbinghaus je njemački psiholog (1850. - 1909.), utemeljitelj je eksperimentalnog proučavanja pamćenja. Otkrio je krivulju zaboravljanja i efekte razmaka učenja. Prvi je opisao i krivulju učenja. Zaslužan je i za otkrivanje optičke iluzije po njemu nazvane Ebbinghausova iluzija (na slici).

Ljubičasti krug na lijevoj strani se čini manji od onog na desnoj, a zapravo su identični.

Računajmo s logaritamskom funkcijom

Zadatak 1.

Danas vam je na satu pažnja bila prilično loša. Činilo vam se da su svi pojmovi nebitni i u skladu s time ste i pratili nastavu. Vaša krivulja pamćenja dana je formulom $f (t) = 100 \cdot \frac{1.84}{{(\log (t))}^{1.25} + 1.84},$ gdje je $t$ vrijeme u minutama, a $f (t)$ količina zapamćenih podataka u postocima (uz pretpostavku da ste ipak sve čuli što se radilo na satu).

Pretpostavlja se da do $1$ minute još uvijek sve znate. Dakle, funkcija je definirana za $t \geq 1 .$

Koliko gradiva će ostati zapamćeno nakon $2$ sata?
Koliko gradiva ćete zaboravili nakon $6$ sati?
Koliko gradiva je ostalo u sjećanju nakon $24$ sata?
Nakon koliko vremena ćete zaboraviti $50 %$ gradiva?

Točke koje predstavljaju rješenje potražite u sljedećoj interakciji.

$(120, 42.43)$
$(360, 36.28)$ Postotak zaboravljnog gradiva je $63.72 .$
$(1440, 30.41)$
$(42.54, 50)$

Prije nego što pomoću džepnog računala riješite zadatak, provjerite jeste li razumjeli zadatak.

Kolekcija zadataka #1

Funkcija je rastuća.

null

U zadnjem zadatku se traži vrijeme kada je $50 %$ gradiva zaboravljeno. Što je $50 % ?$

t

\log (t)

f (t)

Nebitan podatak za traženo rješenje.

null

Kako bismo dobili traženo vrijeme,

t

koje se pojavljuje kao argument logaritamske funkcije, trebamo koristiti

funkciju.

Pomoć:

Koja je inverzna funkcija logaritamskoj?

null

U prva tri zadatka je vrijeme zadano u

Potrebno je te veličine pretvoriti u

Dobivene brojeve uvrštavamo u funkciju umjesto

Rješavanjem ćemo dobiti postotak

podataka.

Oduzimanjem toga broja od

100 %

dobit ćemo postotak

gradiva.

null

Zadatak 2.

Riješite prva tri zadatka. Izračunajte pomoću džepnoga računala vrijednosti funkcija za $2,$ $6$ i $24$ sata.

$f (120) = 42.43 \Rightarrow$ Nakon $2$ sata ostat će zapamćeno oko $42 %$ gradiva.

$f (360) = 36.28 \Rightarrow$ Nakon $6$ sati zaboravit ćete oko $64 %$ gradiva.

$f (1 440) = 30.41 \Rightarrow$ Drugi dan u isto vrijeme znat ćete oko $30 %$ gradiva.

Prije nego riješimo zadnji zadatak, ponovimo vezu između eksponencijalne i logaritamske funkcije.

Inverzne funkcije

Nakon što ste pažljivo pogledali animaciju, odgovorite na sljedeća pitanja.

Kolekcija zadataka #2

Logaritamskoj funkciji je inverzna

funkcija,

a eksponencijalnoj

funkcija.

Logaritamska i eksponencijalna funkcija simetrične su s obzirom na pravac

null

Pogledajte još jednom animaciju i obratite pažnju na tok funkcije (rast i pad) i sjecište s koordinatnim osima.

Ako eksponencijalna funkcija raste, pripadajuća logaritamska
Ako logaritamska funkcija pada, pripadajuća eksponencijalna
Sve eksponencijalne funkcije imaju zajedničku točku
Sve logaritamske funkcije imaju zajedničku točku
Eksponencijalnim funkcijama je asimptota pravac
Logaritamskim funkcijama je asimptota pravac

null

Uparite pripadajuće grafove inverznih funkcija.

$y = \log_{2} (x)$	$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$
$y = \log_{\frac{1}{2}} (x)$	$(y = 2^{x})$

null

Pridružite točke pripadajućim jednadžbama.

$y = 2^{x}$	$(- 1,2)$
$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$	$(- 1, \frac{1}{2})$
$y = \log_{\frac{1}{2}} x$	$(\frac{1}{2}, - 1)$
$y = \log_{2} x$	$(2, - 1)$

null

Konačno, riješimo zadnji dio početnog zadatka.

Kutak za znatiželjne

Ako je $y = f (t) = 100 \cdot \frac{1.84}{{(\log (t))}^{1.25} + 1.84}$ prikažite vrijeme $t$ kao funkciju od $y .$

Riješite se nazivnika u jednakosti $y = \frac{184}{{(\log (t))}^{1.25} + 1.84}$ i ostavite nepoznanicu na jednoj strani.

$({(\log (t))}^{1.25} + 1.84) y = 184 \Rightarrow {(\log (t))}^{1.25} = \frac{184}{y} - 1.84$

Primijenite pravilo koje povezuje potencije i korijene te na kraju pretvorite logaritamsku jednadžbu u eksponencijalni zapis (antilogaritmirajte).

$\log (t) = \sqrt[1.25]{\frac{184}{y} - 1.84} \Rightarrow t (y) = 10^{\sqrt[1.25]{\frac{184}{y} - 1.84}} .$

Zadatak 3.

Izračunajte nakon koliko minuta ćete zaboraviti $50 %$ gradiva.

Možete koristiti prethodno dobivenu formulu, ali se i postepenim uvrštavanjem i računanjem može doći do rješenja.

$t (50) = 10^{\sqrt[1.25]{\frac{184}{50} - 1.84}} = 42.5$ minuta, što znači da da ćete pola gradiva zaboraviti za manje od jednog školskog sata.

...i na kraju

Primjena eksponencijalne i logaritamske funkcije je raširena u svim područjima života, ali i granama znanosti. Pogledajmo još jedan primjer primjene.

Zanimljivost

$e$ je matematička konstanta (Eulerov broj, Napierova konstanta), iracionalan je broj, $e \approx 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732.. . .$

Kada je $e$ baza logaritamske funkcije pišemo $\log_{e} (x) = \ln (x) .$ Ovakav logaritam nazivamo prirodni logaritam, a broj $e$ zovemo baza prirodnog logaritma. O prirodnim logaritmima ćete nešto više naučiti kasnije.

Korelacija

Kako se penjemo u visine, atmosferski tlak eksponencijalno pada otprilike $12 %$ na svakih $1 000 m .$ Tlak na razini mora (nadmorska visina $0 m$ ) je u prosjeku $1 013 hPa$ (ovisno o vremenskim uvjetima).

Neka je eksponencijalni pad dan formulom $p (s) = a \cdot e^{k s},$ gdje je $a$ tlak na razini mora, $k$ konstanta, $p (s)$ tlak u $hPa$ i $s$ visina u $m .$

Iz početnog podatka o tlaku na $1 000 m$ odredimo najprije konstanu $k .$

Ako je na

1 000 m

tlak smanjen

12 %

u odnosu na

1 013 hPa,

računom dobijemo (na dvije decimale) za

s = 1 000 m,

p (1 000) =

Traži se

100 % - 12 % = 88 %

od početnog tlaka,

1 013 hPa .

hPa .

Uvrštavanjem podataka u formulu za

s = 1 000 m

(891.44 = 1 013 e^{1 000 k}),

dobijemo konstanu (zaokružite na barem

6

decimala i pazite na predznak),

k =

Zaokružite na

6

ili

7

decimala.

m^{- 1},

odnosno možemo pisati

k = \frac{\ln (0.88)}{1 000} m^{- 1} .

null

Na početku...

Zanimljivost

Korelacija

Računajmo s logaritamskom funkcijom

Zadatak 1.

Kolekcija zadataka #1

Zadatak 2.

Inverzne funkcije

Kolekcija zadataka #2

Kutak za znatiželjne

Zadatak 3.

...i na kraju

Zanimljivost

Korelacija

Projekt