x
Učitavanje

7.2 Vektori u koordinatnom sustavu

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

U prošloj jedinici naučili smo da su dva vektora jednaka ako imaju istu duljinu, smjer i orijentaciju.

Pokušamo li to ispitati za dva ili više nacrtanih vektora, trebamo ih izmjeriti, a zatim provjeriti njihovu paralelnost pomoću dva trokuta ili trokuta i ravnala.

Postoji li možda drugi način da vektore usporedimo?

Kako to možemo napraviti, pogledajte u sljedećoj animaciji.

Vektori u Kartezijevom koordinatnom sustavu u ravnini

Primjer 1.

U koordinatnom sustavu prikazali smo četiri jednaka vektora. Vidljivo je da zadovoljavaju kriterij jednakosti: duljinu, smjer i orijentaciju.

Ipak, sva četiri imaju početne i završne točke različitih koordinata. Ako su vektori jednaki, što im je zajedničko?

Popunite sljedeću tablicu u bilježnicu.

Vektor Razlika x koordinata
krajnje i početne točke
Razlika y koordinata
krajnje i početne točke
u
v
a
w

Što ste zaključili?

Vektori
Vektori

Za sve vektore iz prethodnog primjera vidljivo je da je razlika x i y koordinata završne i početne točke jednaka.

"Put" od početne točke do završne dan je algoritmom:

1) Od početne točke krenite 3 "koraka" na istok.

2) Zatim se okrenite za 90 ° u smjeru kazaljke na satu i pomaknite se 2 koraka prema sjeveru.

Algoritam nije "matematički " zapisan, ali pokazuje da vektore koriste i tvorci računalnih igara.

Umjesto "koraka", definirajmo vektore u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Linearna kombinacija vektora

Linearna kombinacija dvaju vektora jest svaki izraz oblika: a u + b v , pri čemu su a i b  skalari i nazivamo ih koeficijentima, a u i v dva nekolinearna vektora.

Linearna kombinacija vektora jest novi vektor.

Korelacija

Više o linearnoj kombinaciji naučit ćete u sljedećim jedinicama, u kojima ćete istraživati računske operacije s vektorima, između ostalog i zbrajanje vektora.

Zbrajanje vektora može se definirati pomoću fizikalnog pristupa.

Ako brod plovi rijekom brzinom 2 m/s okomito na njezin tok, a brzina same rijeke iznosi  0.5 m/s , kakva je putanja broda?

Već su stari narodi opisivali kretanje broda dijagonalom pravokutnika čije su stranice vektori brzine broda i rijeke.

S druge strane, možemo reći da je putanja broda linearna kombinacija vektora brzine broda i brzine toka rijeke.

Zbrajanje vektora pomoću fizikalnog pristupa
Zbrajanje vektora pomoću fizikalnog pristupa.

Vektori u koordinatnom sustavu

U Kartezijevom koordinatnom sustavu istaknimo dva nekolinerana jedinična vektora:

i - jedinični vektor na osi apscisa

j - jedinični vektor na osi ordinata.

Vektor O T (s početkom u ishodištu), nazivamo radijvektor točke T ( x , y ) i prikazujemo ga kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora i  i j .

O T = x i + y j  

Realne brojeve x i y nazivamo koordinate vektora O T .

Općenito možemo zapisati:

Vektor A B s početkom u točki A x 1 ,   y 1 i završetkom u točki B x 2 , y 2 ima prikaz:

A B = x 2 - x 1 i + y 2 - y 1 j .

Vektori u Kartezijevom koordinatnom sustavu
Vektori u Kartezijevom koordinatnom sustavu

Primjer 2.

Prikažimo vektor s početnom točkom T ( - 3 , 1 ) i krajnom točkom R ( 5 , 7 ) kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora i i j . Nacrtajmo u koordinatnom sustavu vektor T R (uz pomoć zadane početne i završne točke) i vektor jednak vektoru T R s početkom u ishodištu.

T R = 5 - - 3 i + 7 - 1 j = 8 i + 6 j

Vektori
Vektori

Pridružite sve vektore njihovim početnim i završnim točkama.

3 , - 2 i 5 , - 5

a = 2 i - 3 j

b = 4 i - j

null
null

Zadatak 1.

Zadane su točke C 1 2 , 3 4 i D - 3 4 , 5 2 . Odredite vektore C D i D C .

Vektore prikažite u koordinatnom sustavu.

C D = - 5 4 i + 7 4 j

D C = 5 4 i - 7 4 j

Vektori u koordinatnom sustavu
Vektori u koordinatnom sustavu.

Vektori C D i D C  jesu
vektori.
Duljina i smjer su im
,
a orijentacija
.
null
null

Zadan je vektor M N = - x i + y j . Vektor N M jednak je

null
null

Jednaki i suprotni vektori

Vektori a = a x i + a y j i b = b x i + b y j jednaki su onda i samo onda ako su im odgovarajuće koordinate jednake.

a = b a x = b x , a y = b y

Ako su koeficijenti vektora suprotni brojevi, vektori su jednake duljine i smjera, a suprotne orijentacije. 

Duljina vektora

Duljina vektora

Duljina vektora jednaka je duljini pripadajuće dužine. Ako su vektoru A B  zadane početna točka A x 1 , y 1 i krajnja točka B x 2 , y 2 ,  duljinu vektora računamo pomoću formule za udaljenost točaka.

A B = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Ako je vektor zadan kao a = a x i + a y j , tada duljinu vektora računamo po formuli:

a = a x 2 + a y 2 .

Vektori
Vektori

Zadatak 2.

Izračunajte duljinu vektora sa slike.

a = 10

b = 52 = 2 13  


Što je s vektorom koji počinje i završava u istoj točki?

Kako zovemo vektor čija je duljina jednaka nuli?

Što mislite, kakav vektor dobijemo zbrajanjem dvaju suprotnih vektora?

Nulvektor

Vektor koji ima duljinu jednaku nuli, odnosno počinje i završava u istoj točki, zovemo nulvektor.

Jedinični vektor

Za vektor a 0 kažemo da je jedinični vektor ako je njegova duljina a 0 = 1 .

Ako vektor a , različit od nulvektora, podijelimo s njegovom duljinom, dobili smo jedinični vektor jednakog smjera i orijentacije kao vektor a .

a 0 = a a .

Zadatak 3.

Odredite jedinični vektor vektora u = - 3 i + 5 j .

u 0 = - 3 i + 5 j 34


...i na kraju

Za kraj, pomoću simulacije uvježbajte računanje pojmova s kojima ste se upoznali u ovoj jedinici.

U simulaciji se pojavljuju početna i završna točka vektora.

Odredite:

1) koordinatne vektora

2) duljinu vektora

3) jedinični vektor

4) prikaz radij vektora u koordinatnom sustavu

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh