x
Učitavanje

1.1 Potencije s racionalnim eksponentima

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Što znači riječ KORIJEN? 

Prisjetimo se uporabe te riječi u raznim područjima znanosti i života. Napišite na papir riječ KORIJEN i pojmove s kojima je povezana.

Pogledajte u nastavku animaciju s primjerima primjene te riječi.

Životne okolnosti uvjetovale su računanje potencija ( npr. zakon poluraspada nekog elementa računamo formulom  N = N 0 · 2 - t T 1 / 2 ) i korijena ( npr. određivanje duljine stranice pločice kvadratnog oblika kojoj znamo površinu, a = P ) . Još su matematičari iz Babilona usporedno s tablicama za množenje napravili i tablice "obrnutih" veličina. Tablice "obrnutih" veličina prikazuju kvadratne korijene brojeva.

Rješavanjem sve složenijih algebarskih zadataka pojavila se potreba za uopćavanjem i proširivanjem pojma potencije prirodnih eksponenata, preko nule i negativnih brojeva, do eksponenata u obliku razlomaka.

U ovom modulu otkrit ćemo vezu potencija racionalnog eksponenta s korijenima višeg stupnja te naučiti računati s istima.

Povijesna oznaka korijena
Povijesna oznaka korijena, slovo R s prekriženom crticom

Zanimljivost

Na slici možete vidjeti staru oznaku za korijen. Simbol koji sliči slovu R s prekriženom crticom. Ovu oznaku uvodi talijanski matematičar Leonardo Fibonacci iz Pise (oko 1175. - oko 1240.), još davne 1220. godine, kao oznaku za korijen. Simbol najvjerojatnije dolazi kao kratica R od latinske riječi radix (korijen). Istražite povijesni razvoj znaka za korijen.

Prisjetimo se

Ponovimo značenje potencije te računanje s nulom i jedinicom.

Veza između potencija i korijena

Povežimo oznake za potenciju i korijen. Istaknut je drugi korijen radi lakše poveznice s kvadratom. Inače se broj 2 kod drugog korijena ne piše.

Veza korijena i potencije
Oznake i nazivi korijena i potencije te njihova povezanost.

Zadatak 1.

Pokušajte po analogiji s prethodnom ilustracijom napraviti vezu korijena i potencije s eksponentom n .

Veza korijena i potencije s eksponentom n
Oznake i nazivi korijena i potencije s eksponentom n te njihova povezanost.

Primjer 1.

Znamo da je 2 4 = 16 i pripadajući 4 . korijen je 16 4 = 2 .

Možemo li, koristeći se ovom vezom između potencija i korijena, izračunati 32 5 ?  

32 5 = b b 5 = 32

b = 2


Primjer 2.

Koristeći se vezom korijena i potencija, izraze na lijevoj strani jednakosti zapišimo kao potenciju ili korijen desne strane jednakosti.

  1. a 5 4 = b
  2. 3 x 5 2 y 2 6 = z
  3. 3 a 5 4 = b
  4. 7 x 3 5 = y

U prva dva zadatka prikažimo jednakost pomoću potencije koristeći se vezom potencija i korijena.

  1. a 5 = b 4 .

    Možemo li sada prikazati nepoznanicu a pomoću b ?

    Uočimo da je eksponent uz a jednak 5 te jednadžbu korjenujemo tim eksponetom ( 5 . korijenom). Dobijemo: a = b 4 5 .

  2. 3 x 5 2 y 2 = z 6 .

    Razmislite kako biste prikazali x ili y pomoću ostalih dviju nepoznanica.

  3. 3 a 5 = b 4 .

    Čemu je jednako a ?

  4. 7 x 3 = y 5 .

    Prikažimo x pomoću y . Podijelimo dobivenu jednakost sa 7 . Kako je uz x eksponent 3 , jednadžbu korjenujemo 3 . korijenom i konačno imamo x = y 5 7 3 .


Razmislimo!

Jesmo li mogli prethodni zadatak s dvostrukim korijenom riješiti drugačije? Kako izbjeći dva korijena?

Pokušajmo u nastavku pronaći odgovor na ta pitanja. 

Pravila potenciranja

Ponovimo pravila potenciranja iz prvog razreda.

Pronađite parove tako da dobijete pravila potenciranja.

a n · b n =   ​
a m · n   ​
a n : b n =   ​
a · b n   ​
a m : a n =  
a m - n   ​
a m · a n =  
a m + n   ​
a m n =  
a : b n   ​
null
null

Što s potencijom koja u eksponentu ima razlomak?

Primjer 3.

Primjenom pravila množenja potencija iste baze, izračunajmo:

  1. 4 1 2 · 4 1 2 ,
  2. 2 1 3 · 2 1 3 · 2 1 3 ,
  3. 3 1 4 · 3 1 4 · 3 1 4 · 3 1 4 .
  1. 4 1 2 · 4 1 2 = 4 1 2 + 1 2 = 4 1 = 4 ,
  2. 2 1 3 · 2 1 3 · 2 1 3 = 2 1 3 + 1 3 + 1 3 = 2 ,
  3. 3 1 4 · 3 1 4 · 3 1 4 · 3 1 4 = 3 1 4 + 1 4 + 1 4 + 1 4 = 3 .

Znamo da umnožak istih faktora možemo napisati kraće pomoću potencije pa za potenciju iz prethodnog zadatka vrijedi:

4 1 2 · 4 1 2 = 4 1 2 2 = 4 1 2 · 2 = 4 .

S druge strane znamo da je 4 2 = 4 · 4 = 4 .

Na isti način zaključite što vrijedi za preostala dva slučaja u prethodnom zadatku.

Možete li izvesti zaključak što predstavlja izraz a 1 n ?

Potražite jednake izraze.

a 1 n  
2 3   ​
3 1 4   ​
3 4   ​
2 1 3  
4   ​
4 1 2   ​
a n   ​
null
null

Dakle, eksponent 1 n u izrazu a 1 n  govori nam koliki je n -ti korijen pozitivnog realnog broja a . Odnosno, n je broj kojim treba potencirati izraz a 1 n kako bismo dobili bazu a .

Provjerite koliko ste razumjeli pojam potencije.

Množenje je skraćeno

.
Potenciranje je skraćeno
.
U potenciji x r ,   x  je
,
a racionalni broj r je
.

x r računamo tako da, ako je cijeli broj r > 0 ,   bazu x
r  puta, odnosno ako je cijeli broj r < 0, broj 1
s
bazom pomnoženom r puta. Ako je r = m n racionalni eksponent tada x r računamo tako da bazu x
s
m te potenciju x m
n -tim korijenom.

Primjenom pravila potenciranja potencije lako zaključujemo da je x 1 n m = x 1 n · m = x m n .

Povežimo konačno potenciju s racionalnim eksponentom s pripadajućim korijenom.

Potencije s racionalnim eksponentom

Razmislite i odgovorite koji zapis pomoću korijena odgovara zadanoj potenciji.

Potencija x m n  može se zapisati i u obliku:

null
null

Za realni broj x , x 0 , cijeli broj m i prirodni broj n , n 2 vrijedi x m n = x m n .

Za potencije s racionalnim eksponentima vrijede ista pravila kao i za potencije s cijelim eksponentima.


Riješite zadatke koristeći se pravilima potenciranja.

Korijeni ili potencije?

Primjer 4.

Prikažimo izraz 2 3 - 1 4 pomoću korijena.

Najprije se riješimo negativnog eksponenta: 2 3 - 1 4 = 3 2 1 4 .

Sada ćemo lako primijeniti prikaz pomoću korijena: 3 2 1 4 = 3 2 4   .


Primjer 5.

Prikažimo izraz 12 x 6 y 9 3 pomoću potencije.

Najprije 3. korijen pretvorimo u racionalni eksponent: 12 x 6 y 9 3 = 12 x 6 y 9 1 3 .

Primijenimo pravilo potenciranja potencije i skratimo razlomak u eksponentu do kraja.

12 x 6 y 9 1 3 = 12 1 3 · x 6 · 1 3 · y 9 · 1 3 = 12 1 3 · x 2 · y 3 .


U sljedećim zadatcima primijenite prikaz potencija pomoću korijena ili obrnuto.

Koristeći se pravilima potenciranja uspješno smo riješili složenije zadatke s korijenom.

Zadatak 2.

Vratite se na Primjer 2.d) 7 x 3 5 = y  i prikažite broj x pomoću y uz pomoć samo jednog korijena.

7 5 x 3 5 = y x 15 = y 7 5 x = y 7 5 15


...i na kraju

Možemo li odgovoriti na pitanje: korijeni ili potencije?

Prikaz korijena pomoću potencija iskoristili smo za rješavanje složenijih zadataka s korijenom. No, mogu li korijeni bez potencija? Postoje li možda neka pravila i za računanje s korijenima?

Na to pitanje potražite odgovor u sljedećim jedinicama.

Prije nastavka ponovimo još jedanput što smo naučili o prikazu korijena pomoću potencije.

Složite oznake i nazive na mjesta označena crtom.

Veza potencija i korijena (predložak za dopunjavanje s oznakama i nazivima)
m
n
x
eksponent korijena
eksponent potencije
radikand
null
null
Povratak na vrh