x
Učitavanje

4.2 Definicije funkcija sinus i kosinus

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Prisjetimo se definicija trigonometrijskih funkcija za šiljaste kutove.

  1. Sinus šiljastog kuta u pravokutnom trokutu definiramo kao omjer
    i
    .

  2. Kosinus šiljastog kuta definiramo kao omjer
    i
    .

  3. Tangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu jednak je omjeru
    i
    .

  4. Kotangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu jednak je omjeru
    i
    .
null
null

A što je s tupim kutovima? Možemo li odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija za kutove veće ili jednake 90 ° i manje ili jednake 0 ° ?

Definicije funkcija sinus i kosinus

Istražimo

Pogledajmo brojevnu kružnicu.

Uočite pravokutni trokut O T T 1 . Odgovorite na sljedeća pitanja.

Brojevna kružnica
Brojevna kružnica

sin   α  definiramo kao

točke
T. cos   α definiramo kao
točke T.
null
null

Definicija sinusa i kosinusa pomoću kuta u stupnjevima

Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate cos α , sin α , pri čemu je α kut određen tom točkom.

Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću stupnjeva
Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću stupnjeva

Sinus i kosinus možemo odrediti i za realne brojeve.

Definicija sinusa i kosinusa realnog broja

Neka je t po volji realan broj, a T = E t njemu odgovarajuća točka na brojevnoj kružnici. Tada je T = cos t , sin t . Vrijednost funkcije kosinus jest apscisa, a vrijednost funkcije sinus jest ordinata točke T = E t .

Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana
Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana

Zanimljivost

Funkcije sinus, kosinus, tangens i kotangens zovu se trigonometrijske funkcije. Trigonometrijske funkcije nazivaju se još kružne ili cirkularne funkcije.

Funkciju sin : R R koja broju t R pridružuje broj sin t R nazivamo sinus, a funkciju cos : R R koja broju t R pridružuje broj cos t R nazivamo kosinus.

Zadatak 1.

Za svaku je točku istaknuta vrijednost sinusa ili kosinusa broja. Pridruži vrijednosti istaknutim dužinama.

ŠAblona za unos točaka
sin π 3
cos 5 4 π
cos 5 6 π
sin 7 4 π
null
null

Primjer 1.

Na brojevnoj kružnici odredimo točku E ( t ) tako da je cos t = 1 3 sin t > 0 .

Kosinus je apscisa točke E ( t ) . Na brojevnoj kružnici postoje dvije točke čiji je kosinus 1 3 , ali iz uvjeta da je sin t > 0 odabrat ćemo onu koja se nalazi iznad osi x .


Kutovi za koje je kosinus 1/3
Kutovi za koje je kosinus jednak 1/3

Zadatak 2.

Na brojevnoj kružnici odredite točku E ( t ) tako da je sin t = - 1 4 i cos t < 0 .

Sinus od -1/4
Sinus jednako -1/4

Pogledajmo koje vrijednosti poprimaju sinus i kosinus nekih istaknutih brojeva.

Primjer 2.

Odredimo na brojevnoj kružnici E t za t = π 6 .

Uočimo trokut O T T 1 . On čini pola jednakostraničnog trokuta pa je T T 1 = 1 2 , tj. pola duljine stranice tog trokuta, a O T 1 je visina tog trokuta. Stoga je sin π 6 = 1 2 , a cos π 6 = 3 2 .

Sinus i kosinus od Pi/6
Sinus i kosinus od Pi/6

Primjer 3.

Odredimo na brojevnoj kružnici E t za t = π 3 .

Uočimo trokut O T T 1 . On čini pola jednakostraničnog trokuta pa je T T 1 visina jednakostraničnog trokuta, a O T 1 = 1 2 polovica je duljine stranice jednakostraničnog trokuta. Stoga je sin π 3 = 3 2 , a cos π 3 = 1 2 .

Sinus i kosinus od Pi/3
Sinus i kosinus od Pi/3

Primjer 4.

Odredimo na brojevnoj kružnici E t za t = π 4 .

Uočimo trokut O T T 1 . To je jednakokračni pravokutni trokut - polovina kvadrata s dijagonalom duljine 1. Budući da su katete jednakih duljina, slijedi da su vrijednosti sinusa i kosinusa jednake. Dijagonala kvadrata određuje se kao a 2 pa je a = 1 2 · 2 2 = 2 2 . Stoga je sin π 4 = 2 2 i cos π 4 = 2 2 .

Sinus i kosinus od Pi/4
Sinus i kosinus od Pi/4

Zadatak 3.

Prepišite zadatak na papir i riješite ga.

Popunite tablicu s vrijednostima sinusa i kosinusa za neke istaknute brojeve.

t 0 π 6 π 4 π 3 π 2
sin t
cos t
t 0 π 6 π 4 π 3 π 2
sin t 0 1 2 2 2 3 2 1
cos t 1 3 2 2 2 1 2 0

Istražimo

Pomičite točku T po kružnici i pogledajte kakve vrijednosti poprimaju sinus i kosinus.

  1. Mogu li vrijednosti sinusa biti veće od 1 ?

    null
    null
  2. Mogu li vrijednosti sinusa biti manje od - 1 ?

    null
    null
  3. Mogu li vrijednosti kosinusa biti veće od 1 ?

    null
    null
  4. Mogu li vrijednosti kosinusa biti manje od - 1 ?

    null
    null

Omeđenost sinusa i kosinusa

Za svaki realan broj t vrijedi

- 1 sin t 1 ,

- 1 cos t 1 .

Razvrstajte jednakosti prema tome postoji li realan broj t koji zadovoljava jednakost ili ne postoji.

sin t = - 0.3

Postoji realan broj t koji zadovoljava jednakost.

Ne postoji realan broj t koji zadovoljava jednakost.

null
null

Zanimljivost

U nekim zemljama osim sinusa i kosinusa u upotrebi su još dvije funkcije. To su sekans, koji se definira kao sec x = 1 cos x , i kosekans, koji iznosi csc x = 1 sin x .

Možemo li odrediti vrijednosti funkcija f ( x ) = sin x i g ( x ) = cos x za bilo koji x ?

Primjer 5.

Odredimo sin 41 6 π i cos 41 6 π .

Svedemo li 41 6 π na glavnu mjeru, dobijemo da je E 41 6 π = E 5 6 π . Na brojevnoj kružnici ta se točka nalazi u 2. kvadrantu.

Pogledamo li vrijednosti sinusa i kosinusa, možemo uočiti da je sinus jednak sinusu broja π 6 , dok je kosinus suprotnog predznaka, ali iste apsolutne vrijednosti.

sin 41 6 π = sin 5 6 π = 1 2

cos 41 6 π = cos 5 6 π = - 3 2

Sinus i kosinus od 5Pi/6
Sinus i kosinus od 5Pi/6

Zadatak 4.

Odredite vrijednosti sin - 20 3 π i cos - 20 3 π .

sin - 20 3 π = sin - 8 π + 4 3 π = sin 4 3 π = - sin π 3 = - 3 2

cos - 20 3 π = cos - 8 π + 4 3 π = cos 4 3 π = - cos π 3 = - 1 2


Domena funkcija sinus i kosinus

Domena obiju funkcija f ( x ) = sin x i g ( x ) = cos x jest cijeli skup R , a slika interval - 1 , 1 .

Predznaci funkcija sinus i kosinus

Istražimo

Poigrajte se ponovno s točkom T na brojevnoj kružnici. Pratite kako se mijenjaju predznaci vrijednosti sinusa i kosinusa s obzirom na kvadrante.

  1. Za kutove u 1. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

    .
    Za kutove u 1. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
    .
    null
    null
  2. Za kutove u 2. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

    .
    Za kutove u 2. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
    .
    null
    null
  3. Za kutove u 3. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

    .
    Za kutove u 3. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
    .
    null
    null
  4. Za kutove u 4. kvadrantu vrijednosti sinusa uvijek su

    .
    Za kutove u 4. kvadrantu vrijednosti kosinusa uvijek su
    .
    null
    null

Određivanje vrijednosti kuta

Primjer 6.

Odredimo kut čija je vrijednost sinusa 1 2 .

Potražite rješenje pomičući točku T kružnice.

Možemo uočiti da na jediničnoj kružnici postoje 2 broja (2 kuta) čiji je sinus 1 2 .

To su π 6 i π - π 6 = 5 6 π . Prođemo li jedanput po kružnici, i brojevi 13 6 π i 17 6 π imaju isti sinus, krenemo li u suprotnom smjeru po kružnici, i brojevi - 7 6 π , - 11 6 π imaju sinus 1 2 ...

Sve moguće vrijednosti čiji je sinus 1 2 čine skup π 6 + 2 k π , 5 6 π + 2 k π , k Z . Prikažemo li kutove u stupnjevima, rješenje čini skup 30 ° + 360 ° k , 150 ° + 360 ° k , k Z .

Kutovi za koje je vrijednost sinusa 0.5
Kutovi za koje je vrijednost sinusa 0.5

Primjer 7.

Odredimo kut čija je vrijednost kosinusa 1 2 .

Potražite rješenje pomičući točku T kružnice.

Možemo uočiti da na jediničnoj kružnici postoje 2 broja (2 kuta) čiji je kosinus 1 2 .

To su π 3 i 5 3 π . Prođemo li jedanput po kružnici, i brojevi 7 3 π i 11 3 π imaju isti kosinus, krenemo li u suprotnom smjeru po kružnici, i brojevi - 1 3 π , - 5 3 π imaju kosinus 1 2 ...

Sve moguće vrijednosti čiji je kosinus 1 2 čine skup π 3 + 2 k π , 5 3 π + 2 k π , k Z . Ako kutove prikažemo u stupnjevima, rješenje čini skup 60 ° + 360 ° k , 300 ° + 360 ° k , k Z .

Kutovi za koje je vrijednost kosinusa 0.5
Kutovi za koje je vrijednost kosinusa 0.5

Zadatak 5.

Odredite sve kutove čiji je sinus 3 2 .

60 ° + 360 ° k , 120 ° + 360 ° k , k Z

π 3 + 2 k π , 2 3 π + 2 k π ,   k Z


Zadatak 6.

Odredite sve kutove čiji je kosinus 2 2 .

π 4 + 2 k π , 7 4 π + 2 k π , k Z

45 ° + 360 ° k , 315 ° + 360 ° k , k Z .


Veza između sinusa i kosinusa

Istražimo

Pogledajmo ponovno brojevnu kružnicu.

Uočite pravokutni trokut O T T 1 . Odgovorite na sljedeća pitanja.

Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana
Definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos pomoću radijana

Koje su jednakosti točne?

null
null

Temeljna veza između sinusa i kosinusa

Ako znamo vrijednost sinusa, možemo izračunati vrijednost kosinusa i obratno, iz poznate vrijednosti kosinusa možemo odrediti vrijednost sinusa pomoću formula:

sin t = ± 1 - cos 2 t

cos t = ± 1 - sin 2 t .

Predznak biramo prema kvadrantu u kojem se nalazi točka E t .

Primjer 8.

Odredimo vrijednost sin t ako je cos t = - 4 5 , a kut t se nalazi u 3. kvadrantu.

sin t = ± 1 - cos 2 t = ± 1 - - 4 5 2 = ± 1 - 16 25 = ± 9 25 = ± 3 5

Budući da se kut t nalazi u 3. kvadrantu, a vrijednosti sinusa u cijelom su kvadrantu negativne, kao rješenje uzimamo sin t = - 3 5 .

Zadatak 7.

Odredite vrijednost cos t  ako je sin t = 24 25 , a kut t se nalazi u 2. kvadrantu.

cos t = ± 1 - sin 2 t = ± 1 - 24 25 2 = ± 1 - 576 625 = ± 49 625 = ± 7 25

Budući da se kut t nalazi u 2. kvadrantu, a vrijednosti kosinusa u cijelom su kvadrantu negativne, kao rješenje uzimamo cos   t = - 7 25 .


...i na kraju

Pogledajmo što smo naučili u ovoj jedinici.

Povratak na vrh