Na početku...

Osim definicija trigonometrijskih funkcija na brojevnoj kružnici, naučili ste da je svaka trigonometrijska funkcija parna ili neparna.

Kolekcija zadataka #1

Funkcija sinus je parna.

null

Funkcija kosinus je parna.

null

Funkcija tangens je neparna.

null

Funkcija kotangens je parna.

null

U ovoj ćemo jedinici otkriti još jedno važno svojstvo trigonometrijskih funkcija.

Pogledajte sljedeće četiri sličice. Što je zanimljivo na svakoj od njih?

Periodičnost na primjeru ponavljajućih uzoraka

Periodičnost na primjeru bordura

Periodičnost na primjeru Lego figurica

Periodičnost na primjeru plime i oseke

Posljednja slika prikazuje razinu mora (plimu i oseku) u Rijeci od 6. do 8. studenoga 2019. godine. Svjetliji dio označava vrijeme između izlaska i zalaska sunca.

Uočite u kojim se vremenskim intervalima izmjenjuju plima i oseka.

Periodičnost funkcije

Za funkciju $f$ kažemo da je periodična s periodom $T,$ ako vrijedi

$f (x) = f (x + T),$ $T \in R,$ $x,$ $x + T \in D_{f} .$

Najmanji takav pozitivan broj $T$ naziva se temeljni period.

Pomoću brojevne kružnice istražimo jesu li trigonometrijske funkcije periodične.

Trigonometrijske funkcije i glavna mjera kuta

Poigrajte se sa sljedećom interakcijom. Pomičite točku po kružnici tako da pomičete klizač u lijevom prozoru. Pratite što se događa s njezinim koordinatama. Zamislite da putujete kružnicom.

Što predstavlja prijeđeni put po kružnici?

Sinus kuta

∢ I O T .

Kosinus kuta

∢ I O T .

Radijansku mjeru kuta

∢ I O T .

Mjeru kuta

∢ I O T

u stupnjevima.

null

Razmislite!

Što se događa kada jedanput prođemo puni krug? Prolazimo li ponovno istim točkama? Što se mijenja? Pomoću prethodne interakcije odgovorite na sljedeća pitanja.

Zadatak 1.

Analogno tome zaključite što vrijedi za kosinus broja $t = - \frac{π}{6} .$

$\cos (- \frac{π}{6}) = \cos (- \frac{π}{6} + 2 π) = \cos \frac{11 π}{6}$

Vratite se na interaktivnu kružnicu. Neka je $t = - \frac{π}{6} .$ Nakon kretanja u pozitivnom smjeru za $2 π$ došli smo do iste točke, ali je vrijednost broja $t = \frac{11 π}{6} .$

Kolekcija zadataka #3

Koliko punih krugova sadrži dani realni broj koji pripada istoj točki kružnice kao i početni broj $t = - \frac{π}{6} ?$

$\frac{23 π}{6}$	1 puni krug ( $2 π$ )
$\frac{11 π}{6}$	2 puna kruga ( $4 π$ )

null

Ako se od vrijednosti za $t = - \frac{π}{6}$ krećemo u negativnom smjeru (umanjujemo vrijednost broja $t$ ), koji je prvi manji realni broj koji pridružujemo istoj točki? Za koliko smo umanjili početni $t ?$ Rješenje potražite na interaktivnoj kružnici.

$t = - \frac{13 π}{6}$

$- \frac{π}{6} - 2 π = - \frac{13 π}{6}$

Zaključimo! Zadanoj vrijednosti realnog broja $t$ pridružujemo istu točku brojevne kružnice kao i realnim brojevima koje dobijemo uvećavanjem ili umanjivanjem broja $t$ za višekratnik broja:

π

2 π

\frac{π}{6}

- π

null

Periodičnost trigonometrijskih funkcija

Budući da smo glavnu mjeru kuta povezali s točkom na kružnici čije su koordinate vrijednosti sinusa i kosinusa, možemo zaključiti da se te vrijednosti ne mijenjaju ako argument uvećamo ili umanjimo za višekratnik broja $2 π .$

Periodičnost sinusa i kosinusa

Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus periodične su s temeljnim periodom $2 π .$ Vrijedi:

$\sin (t + 2 π) = \sin t .$

$\cos (t + 2 π) = \cos t,$ $\forall t \in R .$

Općenito, $\forall t \in R,$ $\forall k \in Z$ vrijedi

$\sin (t + 2 k π) = \sin t .$

$\cos (t + 2 k π) = \cos t .$

U sljedećoj animaciji pogledajte jesu li trigonometrijske funkcije tangens i kotangens periodične i ako jesu, koja im je glavna mjera kuta.

a. Trigonometrijska je funkcija tangens periodična, s temeljnim periodom:

1

π

2 π

\frac{π}{2}

null

b. Trigonometrijska je funkcija kotangens periodična, s temeljnim periodom:

2 π

1

\frac{π}{2}

π

null

Periodičnost tangensa i kotangensa

Za trigonometrijske funkcije tangens i kotangens $\forall t \in R,$ $\forall k \in Z$ vrijedi:

$tg (t + k π) = tg t,$

$ctg (t + k π) = ctg t .$

Tangens i kotangens periodične su funkcije s temeljnim periodom $π .$

...i na kraju

Pogledajte ponovno sliku plime i oseke s početka jedinice. Pokušajte utvrditi koliki je period plime i oseke, odnosno nakon koliko se sati izmjenjuju plima i oseka.

To ćete lako napraviti ako uočite/pročitate u koje se vrijeme pojavljuje oseka (najniža razina mora) ili plima (najviša razina mora). Koji period treba proći da bi se ponovila oseka ili plima?

Izmjenjivanje plime i oseke u Rijeci 6. - 8. 11. 2019. — Periodično izmjenjivanje plime i oseke

Temeljni period trigonometrijskih funkcija

Upamtimo i ovo!

Neka su $t,$ $b,$ $c \in R,$ $b \neq 0 .$

Ako trigonometrijska funkcija sinus ili kosinus ima oblik $\sin (b t + c)$ ili $\cos (b t + c),$ njezin je temeljni period $T = \frac{2 π}{|b|} .$

Ako trigonometrijska funkcija tangens ili kotangens ima oblik $tg (b t + c)$ ili $ctg (b t + c),$ njezin je temeljni perod $T = \frac{π}{|b|}$ .

Više o određivanju temeljnog perioda naučit ćete prilikom crtanja trgonometrijskih funkcija.

Procijenite svoje znanje

Funkcija $f$ je periodična s temeljnim periodom $T,$ ako se

ne mijenja kada

povećamo za

T,

odnosno

, za

T \in R

k

proizvoljan cijeli broj.

argument funkcije

vrijednost funkcije

k \cdot T

null

Razvrstajte trigonometrijske funkcije s obzirom na pripadajući temeljni period.

ctg x

\sin x

\cos x

tg x

$T = 2 π$

$T = π$

null

Odredite glavnu mjeru zadanog kuta te povežite iste vrijednosti funkcije sinus.

$\sin (- \frac{19 π}{6})$	$\sin \frac{5 π}{6}$
$\sin (- \frac{11 π}{6})$	$\sin \frac{π}{6}$
$\sin \frac{31 π}{6}$	$\sin \frac{11 π}{6}$
$\sin \frac{23 π}{6}$	$\sin \frac{7 π}{6}$

null

Temeljni period funkcije $f (x) = \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) :$

\frac{π}{2}

π

2 π

4 π

null

Temeljni period funkcije $f (x) = tg (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) :$

\frac{π}{2}

π

2 π

4 π

null

$t = 7.854$	$2 π$
$t = - 7.0686$	$\frac{7 π}{4}$
$T (- 0.7071, - 0.7071)$	$\frac{π}{2}$
"Puni krug"	$\frac{5 π}{4}$

$\cos (\frac{11 π}{6}) = x$	$\cos (\frac{11 π}{6})$
$E (\frac{11 π}{6}) = T,$ $y (T) = ?$	$2 π$
$E (\frac{11 π}{6}) = T,$ $x (T) = ?$	$\sin (\frac{11 π}{6})$
$\frac{11 π}{6} = - \frac{π}{6} + x$	$- \frac{1}{2}$
$\sin (\frac{11 π}{6}) = x$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$

4.5 Svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija

Na početku...

Kolekcija zadataka #1

Periodičnost funkcije

Trigonometrijske funkcije i glavna mjera kuta

Kolekcija zadataka #2

Zadatak 1.

Kolekcija zadataka #3

Periodičnost trigonometrijskih funkcija

Periodičnost sinusa i kosinusa

Periodičnost tangensa i kotangensa

...i na kraju

Temeljni period trigonometrijskih funkcija

Procijenite svoje znanje

$T = 2 π$

$T = π$

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice:

$x (T)$
$y (T)$