Matematika 3 - 1.4 Primjena pravila potencija racionalnog eksponenta u složenijim zadatcima

Na početku...

Zaigrajmo memory. Spojite parove jednakih formula zapisanih pomoću potencija i korijena. U formulama su zadani $a, b \in R,$ $a \geq 0,$ i $m, n, p \in N$ .

Povećaj interaktivni prikaz

Primjenjujući navedene formule riješite sljedeće zadatke.

Izračunajte vrijednost izraza

\sqrt{\sqrt[4]{3}} .

Izračunajte vrijednost izraza

{(\frac{1}{625})}^{\frac{1}{4}} : 8^{- \frac{2}{3}} .

Izračunajte vrijednost izraza

100^{- \frac{1}{2}} : 25^{- \frac{3}{2}} .

null

Izračunajte vrijednost izraza

\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt[4]{3^{3}}}

i rezultat zapišite u decimalnom obliku.

null

Ovako se korijeni ne skraćuju!

Primjer 1.

Odredimo vrijednost izraza $\frac{\sqrt[5]{2 x^{6} y^{9}}}{\sqrt[5]{64 x y^{6}}}$ za $x = 4$ i $y = - 2 .$

Najprije pojednostavnimo izraz primjenjujući svojstvo dijeljenja korijena. Cijeli razlomak možemo svesti pod zajednički korijen $\sqrt[5]{\frac{2 x^{6} y^{9}}{64 x y^{6}}} .$ Skratimo li brojnik i nazivnik i djelomično korjenujemo, dobit ćemo $\sqrt[5]{\frac{x^{5} y^{3}}{32}} .$

Sada uvrstimo vrijednosti za $x$ i $y$ i dobivamo $\frac{4}{2} \sqrt[5]{y^{3}} \approx 2 \cdot (- 1.5157) = - 3.0314 .$

Zadatak 1.

Odredite vrijednosti izraza ako je $x = 3 .$

$\sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[6]{8 x^{5}}$
$\frac{\sqrt[11]{8 x^{5}}}{\sqrt[22]{2 x}}$
$\sqrt{\sqrt[3]{2 x}} \cdot \sqrt[3]{6 x^{2}}$
$\sqrt[3]{- 2 \cdot x^{2}} \cdot \sqrt[6]{16 x}$

$\sqrt[6]{x^{4} \cdot 8 \cdot x^{5}} = \sqrt[6]{2^{3} \cdot x^{9}} = x \sqrt{2 x} = 3 \sqrt{6} \approx 7.3485$
$\sqrt[22]{\frac{64 x^{10}}{2 x}} = \sqrt[22]{32 \cdot x^{9}} = \sqrt[22]{32 \cdot 3^{9}} \approx 1.8346$
$\sqrt[6]{2 x} \cdot \sqrt[6]{36 x^{4}} = \sqrt[6]{72 \cdot x^{5}} = \sqrt[6]{72 \cdot 3^{5}} \approx 5.0951$
$- \sqrt[6]{4 x^{4}} \cdot \sqrt[6]{16 x} = - \sqrt[6]{64 x^{5}} = - \sqrt[6]{64 \cdot 3^{5}} \approx - 4.9961$

Zadatak 2.

Izračunajte vrijednosti izraza:

$16^{- 0.25} - {(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}}$
${(a^{- \frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{3}{4}})}^{3} \cdot a^{\frac{3}{4}}$ za $a = 2$
${(27 x^{7} y)}^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{3}{4}}} \cdot {(y^{3})}^{\frac{1}{4}}$ za $x = 2,$ $y = 1 .$

$- \frac{5}{2}$
$2$
$6$

Pogledajmo sada kako bismo mogli riješiti isti zadatak na dva načina: upotrebom potencija s racionalnim eksponentima i pomoću korijena.

Primjer 2.

Izračunajmo $\frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{10} \cdot 15^{- \frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{18}}{48^{- \frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot 2^{4}} .$

1. način - upotreba potencija

Zapišimo korijene u obliku potencija:

$\frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{10} \cdot 15^{- \frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{18}}{48^{- \frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot 2^{4}} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 10^{\frac{1}{3}} \cdot 15^{- \frac{1}{3}} \cdot 18^{\frac{1}{3}}}{48^{- \frac{3}{4}} \cdot 27^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{4}} .$

Rastavimo baze potencija na proste faktore:

$\frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{- \frac{1}{3}} \cdot 5^{- \frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{3}}}{{(2^{4})}^{- \frac{3}{4}} \cdot 3^{- \frac{3}{4}} \cdot {(3^{3})}^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{4}} .$

Sada ćemo pomnožiti i podijeliti potencije istih baza. Pritom primjenjujemo pravila za množenje i dijeljenje potencija istih baza te potenciranje potencija. Primijenit ćemo i svojstvo da je vrijednost potencije s eksponentom $0$ jednaka $1 .$ I konačno dobijemo:

$2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{1}{3}} .$

2. način - upotreba korijena

Zapišimo potencije s racionalnim eksponentima u obliku korijena:

$\frac{\sqrt[3]{2^{2}} \cdot \sqrt[3]{10} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{15}} \cdot \sqrt[3]{18}}{\sqrt[4]{\frac{1}{48^{3}}} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[4]{2^{16}}} .$

Pomnožimo radikande korijena koji imaju iste eksponente:

$\frac{\sqrt[3]{\frac{2^{2} \cdot 10 \cdot 18}{15}}}{\sqrt[4]{\frac{27 \cdot 2^{16}}{48^{3}}}} .$

Rastavimo radikande oba korijena na proste faktore:

$\frac{\sqrt[3]{\frac{2^{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3^{2}}{3 \cdot 5}}}{\sqrt[4]{\frac{3^{3} \cdot 2^{16}}{2^{12} \cdot 3^{3}}}} .$

Nakon sređivanja izraza dobivamo:

$\frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{2} = \sqrt[3]{6} .$

Ipak, u ovakvim zadatcima najekonomičnije je koristiti i račun s potencijama i s korijenima.

Istražimo

Razmislite:

Koje su prednosti, a koji nedostatci računanja s potencijama?

Koje su prednosti, a koji nedostatci računanja s korijenima?

Koji je vama "lakši" način i zašto?

Zadatak 3.

Koristeći se potencijama ili korijenima odredite vrijednosti izraza:

$\frac{{0.125}^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{4^{- 3}}}{16^{- \frac{3}{2}}}$
${({0.25}^{- \frac{1}{2}} + 6)}^{- \frac{1}{3}} \cdot \sqrt{2} - {(2)}^{- \frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{{(a^{- \frac{3}{4}} \cdot b^{- \frac{3}{4}})}^{2}}$

$4$
$0$
$\frac{1}{\sqrt{a b}}$

Primjena potencija i korijena

Računanje s korijenima ili potencijama s racionalnim eksponentima ima primjenu u raznim područjima života.

Primjer 3.

Brzina vjetra za pojedini stupanj Beaufortove ljestvice računa se po formuli:

$v = 0.836 \cdot B^{\frac{3}{2}} m/s,$ pri čemu je $v$ brzina vjetra na visini $10 m$ iznad morske površine, a $B$

je Beaufortov broj (iz skale). Za umjeren vjetar vrijedi $B = 4 .$

Kolika je tada brzina vjetra?

$v = 0.836 \cdot 4^{\frac{3}{2}} = 6.688 m/s$

Oluja je osmi stupanj Beaufortove ljestvice. Kolika je tada brzina vjetra?

$v = 0.836 \cdot 8^{\frac{3}{2}} \approx 18.9165 m/s$

Izrazimo tu brzinu u $km/h .$

$18.9165 \cdot \frac{\frac{1}{1 000}}{\frac{1}{3 600}} = 18.9165 \cdot 3.6 = = 68.0994 km/h.$

Mjerenje jačine vjetra

Fotografija koja prikazuje naranču. — Oblik kugle u prirodi

Zadatak 4.

Naranča ima oblik kugle polumjera $4 cm .$ Odredite oplošje i obujam naranče. Oplošje kugle računa se po formuli $O = 4 \cdot r^{2} \cdot π,$ a obujam $V = \frac{4}{3} r^{3} \cdot π .$
Odredite obujam naranče čije je oplošje $150 {cm}^{2} .$
Odredite oplošje naranče čiji je obujam $200 {cm}^{3} .$

$O = 4 \cdot 4^{2} \cdot π = 64 π \approx 201.0619 {cm}^{2}$

$V = \frac{4}{3} \cdot 4^{3} π = \frac{256}{3} π \approx 268.0826 {cm}^{3}$
$V = \frac{O}{6} \sqrt{\frac{O}{π}} = \frac{150}{6} \sqrt{\frac{150}{π}} \approx 172.7471 {cm}^{3}$
$O = 4 \cdot \sqrt[3]{\frac{9 V}{16} π} = 4 \cdot \sqrt[3]{\frac{9 \cdot 200}{16} π} \approx 165.388 {cm}^{2}$

Zanimljivost

Geometrijska sredina brojeva $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ računa se po formuli $G = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}} .$ Primjenjuje se u analizi vremenskih nizova podataka, odnosno kada podatci slijede geometrijsku progresiju.

Odredimo geometrijskom sredinom prosječan porast broja stanovnika u nekom naselju ako je: 2015. godine ondje živjelo $2 000$ stanovnika,

2016. godine $9 000$ stanovnika,

a 2017. godine $18 000$ stanovnika.

Indeks porasta s 2015. na 2016. iznosi $\frac{9 000}{2 000} = 4.5 .$

Indeks porasta s 2016. na 2017. iznosi $\frac{18 000}{9 000} = 2 .$

Tada prosječni porast stanovništva iznosi: $G = \sqrt{4.5 \cdot 2} = 3 .$

...i na kraju

Ponovimo pravila za računanje s korijenima i potencijama

Spojite lijevu i desnu stranu pripadne formule.

$\sqrt[m \cdot n]{a^{m}}$	$\sqrt[n]{a b}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$	$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$	${(\sqrt[n]{a})}^{m}$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$	$\sqrt[n]{a}$
$\sqrt[n]{a^{m}}$	$\sqrt[m \cdot n]{a}$

null