x
Učitavanje

9.5 Modeliranje kružnicom

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Radar je elektronički uređaj koji se koristi za otkrivanje objekata koji su predaleko ili nevidljivi ljudskom oku. Prvi radari pojavili su se oko 1900. godine i razvijeni su u svrhu sprečavanja sudara brodova.

Danas radar imaju važnu ulogu u pomorskoj i zrakoplovnoj navigaciji. Radari se sastoje od antene, radioodošiljača, radioprijamnika i računala, te rade na načelu odašiljanja radiovalova. Domet radara u zračnoj kontroli iznosi oko 400 km.

Osim u pomorskoj i zrakoplovnoj navigaciji, radari se upotrebljavaju i u meteorologiji.

Granice područja koje radar može pratiti mogu se na zaslonu prikazati KRUŽNICOM.

Na stranicama Državnoga meterološkog zavoda pogledajte radarsku sliku oblaka u istočnoj Slavoniji.

Kružnice na radarskom zaslonu
Kružnice na radarskom zaslonu

Modeliranje uz pomoć kružnice

Primjer 1.

Zrakoplov i dvije zračne kontrolne točke nalaze se u položaju prikazanom na koordinatnom sustavu u ravnini (visina zrakoplova nam nije u ovom slučaju potrebna pa ju ne navodimo). Polumjer dometa prve zračne kontrole je 250 km , a druge 300 km . Kojoj od zračnih kontrola se posada zrakoplova treba javiti u danom trenutku?
Položaj zrakoplova u koordinatnom sustavu
Položaj zrakoplova u koordinatnom sustvau

Domet svakoga kontrolnog tornja zadan je polumjerom. Ako je udaljenost zrakoplova veća od polumjera kontrolnog tornja, zrakoplov se ne može javiti. Provjerimo udaljenost zrakoplova od tornjeva.

d A , K 1 = 450 - 250 2 + 50 - 150 2 = 40000 + 10000 223.61 km

Polumjer dometa tornja K1 je 250 km pa se zrakoplov može javiti tom tornju.

Provjerimo za toranj K2.

d A , K 2 = - 150 - 250 2 + 50 - 150 2 = 160000 + 10000 = 170000 412.31 km

Polumjer dometa drugog tornja K2 je 300 km pa se zrakoplov ne može javiti tom tornju.

Problem smo mogli riješiti i grafički.

Grafičko rješenje
Grafičko rješenje

Skica u koordinatnom sustavu
Skica u koordinatnom sustavu

Zadatak 1.

Marija se vozi autocestom. Stala je na odmorištu Tangenta te uhvatila signal radijske postaje grada X. Domet radiostanice je 220 km . Marija nastavlja putovanje na istok. Koliko daleko od stajališta Tangenta će još moći slušati istu radijsku postaju?
Na slici os apscisa predstavlja autocestu kojim Marija vozi.

Jednadžba kružnice je x + 30 2 + y - 90 2 = 48400 .

Rješenje je sjecište kružnice i osi apscisa y = 0 .

Dvije su točke: 170.75 , 0 i - 230.75 , 0 . Marija nastavlja put na istok, pa radijsku postaju može slušati još 170.75 km


U sljedećem videoisječku pogledajte kako jedan od gornjih problema rješava Toni Milun s pomoću digitalnih alata.

Još nekoliko zadataka

Zadatak 2.

Ispitajte leži li točka  1 , 2 2  na kružnici kojoj je središte u ishodištu i sadržava točku  0 , - 3 .

Točka leži na kružnici jer zadovoljava jednadžbu kružnice.


Zadatak 3.

Kružnica promjera 12 cm ima središte u drugom kvadrantu. Pravci y = - 4 i x = 1 tangente su kružnice. Napišite jednadžbu kružnice.

x + 5 2 + y - 2 2 = 36  


Krivulje koje su dobivene presjekom ravinine i stošca nazivaju se konike ili krivulje drugog reda. U konike pripadaju kružnica, elipsa, hiperbola i parabola.

Pogledajmo kako s pomoću koncentričnih kružnica nacrtati elipsu, hiperbolu i parabolu.

...i na kraju

Što su mandale?

Mandalu možete vidjeti u arhitekturi, umjetosti, filozofiji, na modnoj sceni (na mnogim odjevnim predmetima). Mandala se pojavljuje i u znanosti. Zaleđena kristalna struktura vode ima oblik mandale. U filogenetici se podatci istraživanja prikazuju u mandalnoj formi. Chladnijeve figure, čelične ploče koje posute pijeskom pod utjecajem zvučnih valova tvore mandalne oblike imaju veliku primjenu u znanosti.

Mandale počinjemo crtati s pomoću kružnice.

Pogledajte neke od primjera mandale.

Primjer mandale u nastavku nacrtan je s pomoću GeoGebre.

Mandala u nastavku je samo jedan primjer. Pokušajte i sami konstruirati mandalu.

Povratak na vrh