x
Učitavanje

3.5 Aktivnosti za samostalno učenje

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Plutonij je kemijski element koji u periodnom sustavu elemenata ima simbol Pu. Atomski (redni) broj mu je 94 , a njegova atomska masa iznosi 244 . Ime je dobio po patuljastom planetu Plutonu. To je srebrno-bijeli metal, koji potamni u dodiru sa zrakom, stvarajući tanki sloj oksida. Taj kemijski element ima šest alotropskih modifikacija i četiri oksidacijska stanja. Reagira s ugljikom, halogenim elementima, dušikom i silicijem. Kada je izložen vlažnom zraku, stvara okside i hidride, koji povećavaju volumen uzorka i do 70  % . Plutonij se taloži u tijelu u koštanoj srži i ostalim organima, gdje je vrlo opasan zbog emitiranja alfa-čestica.

Umjetni izotop plutonij-239 mora se spremati u nekompaktnim, odvojenim komadima manjima od  300 g .   Inače bi se mogle osloboditi opasne količine ionizirajućeg zračenja i topline. Plutonij se koristi i kao nuklearno gorivo za nuklearne elektrane, te ima visoku radioaktivnost. Komad plutonija topao je na dodir zbog energije oslobođene alfa-raspadom.  

Plutonij 239
Plutonij 239 u rukama čovjeka

Modeliranje problema uz eksponencijalnu jednadžbu

Primjer 1.

Plutonij-239, izotop je jedna od najopasnijih poznatih tvari.

Sigurna razina plutonija-239, koju ljudski organizam može apsorbirati bez ozbiljnih posljedica, je 0,64 mikrograma ili 6.4 · 10 - 7 grama.

Plutonij-239 raspada se eksponencijalno i ima vrijeme poluraspadanja od 243 000 godina.

U siječnju 1968. godine atomska bomba izgubljena je na Grenlandu, a procjenjuje se da je 400 grama plutonija-239 ispušteno u morski okoliš.

Izračunajmo vrijeme koje mora proteći da se 400 gram plutonija-239 raspadne na količinu koja se smatra sigurnim za apsorpciju ljudskog organizma.

Početna količina plutonija-239 u vremenu t = 0  je N 0 = 400 .

Za opis raspadanja koristit ćemo se jednadžbom koju smo već upoznali:

N t = N 0 e - k t .

Najprije trebamo izračunati koeficijent raspadanja. Uvrstimo poznate veličine i iskoristimo poznato vrijeme poluraspadanja.

200 = 400 · e k · 243 000   e k · 243 000 = 1 2     243 000 · k = ln 1 2     k = ln 1 2 243 000

Sada imamo koeficijent raspadanja i možemo računati traženo vrijeme. Postavimo jednadžbu:

N t = 400 · e ln 1 2 · t 243 000 .

Znamo da je količina koju trebamo 6.4 · 10 - 7 , pa ćemo je uvrstiti u gornju jednadžbu i izračunati.

6.4 · 10 - 7 = 400 · e ln 1 2 · t 243 000     ln 1 2 243 000 · t = ln 6.4 · 10 - 7 400   t 7.1 · 10 6 godina.


Modelirajte primjer s pomoću sljedeće interakcije.

Za rješavanje prethodnog problema upotrijebili smo znanje rješavanja eksponencijalnih jednadžbi. Za vježbu riješite sljedeći zadatak.

Ugljik-14
Ugljik-14, radioaktivni izotop ugljika

Zadatak 1.

Ugljik-14 je radioaktivni izotop ugljika koji nastaje u gornjoj atmosferi, a raspada se prema zakonu radioaktivnog raspadanja koji sadržava eksponencijalnu funkciju. Vrijeme poluraspadanja ugljika-14 je približno 5 730 godina.

Živi organizami sadržavaju ugljik-14, i on je za žive organizme konstantan. Kad organizam umre, razina ugljika-14  počne se smanjivati. Mjerenje razine ugljika-14 u mrtvim organskim tvarima, te usporedba razine s onom sadržanom u sličnoj živoj tvari, daje procjenu starosti mrtve tvari.

Analiza nekih ljudskih posmrtnih ostataka pronađenih u pustinji Kalahari pokazuje da je razina ugljika-14 u kostima  0,358 razine koju pronalazimo u živom organizmu. Koja je približna dob tih ostataka?

Pronađeni ostatci stari su otprilike 8491.68 godina.

Pokušajte upotrijebiti interakciju za pronalazak rješenja.


Modeliranje problema uz logaritamsku jednadžbu

U prošlim smo jedinicama već vidjeli primjere u kojima smo modelirali različite probleme i rješavali logaritamske jednadžbe.  U nastavku rješimo jedan primjer vezan za zvuk i njegovu jakost.

Ljudsko uho registrira zvukove različite jačine od 10 - 12 W / m 2 do 10 W/m 2 . To je raspon od donje granice čujnosti do zvuka koji izaziva bol. Raspon je vrlo velik pa je lakše prikazati vrijednosti definirane kao intenzitet zvuka L .

Intenzitet zvuka s jačinom zvuka povezuje jednakost:

L = 10 log I I 0 .

L – intenzitet zvuka u 30 dB (decibelima)

I  – jačina zvuka

I 0 – prag čujnosti 10 - 12 W m 2  

Primjer 2.

Odredimo koliko je puta intenzitet prometne ulice 80 dB jači od praga čujnosti.

L = 10 · log I I 0

80 = 10 log I I 0   8 = log I I 0   I I 0 = 10 8 = 100 000 000


Gradska vreva
Provjerimo koliko je intenzitet zvuka jači u vrlo prometnoj i bučnoj ulici od praga čujnosti.

Zadatak 2.

Koliki je intenzitet zvuka nekog izvora izražen u decibelima ako je on od praga čujnosti jači 1 000  puta?

Intenzitet zvuka je 30 dB .


Eksponencijalne nejednadžbe

Eksponencijalna nejednadžba

Nejednadžbe u kojima je nepoznanica u eksponentu nazivamo eksponencijalne nejednadžbe. Riješiti eksponencijalnu nejednadžbu znači pronaći sve realne brojeve za koje uvrštavanjem u nejednadžbu dobijemo istinitu tvrdnju.

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi bit će nam važna svojstva eksponencijalne funkcije.

Zadatak 3.

Mijenjajući vrijednost a klizačem na interakciji,  mijenjate vrijednost baze eksponencijalne funkcije. Ako je baza veća od 1 , funkcija raste, a za bazu između 0 i 1 funkcija pada. Što to znači?

Promatrajte dvije točke na funkciji.

Ako je baza veća od 1 , a x 1 < x 2,  u kojem su odnosu f x 1 i f x 2 ?

Ako je baza između 0 i 1 , a x 1 < x 2,  u kojem su odnosu vrijednosti funkcije za  x 1 i x 2 ?

S pomoću interakcije odgovorite na sljedeća pitanja.

Ako je baza eksponencijalne funkcije veća od 1, raste li funkcija ili pada?

null
null

Ako je baza eksponecijalne funkcije broj između 0   i 1, raste li funkcija ili pada?

null
null

Eksponencijalna funkcija ima bazu veću od 1 .

Povežite parove.

x 1 > x 2
a x 1 < a x 2
x 1 < x 2
a x 1 > a x 2
null
null

Eksponencijalna funkcija ima bazu između 0   i 1  .

Povežite parove.

x 1 < x 2  
a x 1 < a x 2   
x 1 > x 2  
a x 1 > a x 2  
null
null

Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi svojstvom monotonosti

Eksponencijalne nejednadžbe koje možemo svesti na nejednakost dviju potencija iste baze rješavamo primjenom svojstava monotonosti.

  • a f x < a g x f x < g x , a > 1  
  • a f x > a g x f x > g x , a > 1  
  • a f x > a g x f x < g x , 0 < a < 1  
  • a f x < a g x f x > g x ,   0 < a < 1

Primjer 3.

Riješimo eksponencijalne nejednadžbe s pomoću svojstva monotonosti.

  1. 2 2 x + 3 > 2 3 x
  2. 1 3 x 2 + 1 > 1 3 x + 2
  1. Prema svojstvu monotonosti za bazu veću od 1 možemo pisati:

    2 x + 3 > 3 x   2 x - 3 x > - 3   - x > - 3   / · - 1 ) x < 3.

  2. Prema svojstvu monotonosti za bazu između 0 i 1 možemo pisati:

    x 2 + 1 < x + 2 x 2 - x - 1.

    Prisjetite kako se rješava kvadratna nejednadžba.

    1 - 5 2 < x < 1 + 5 2  

Svojstvo monotonosti logaritamske funkcije

Za rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi s različitim bazama primjenjujemo monotonosti logaritamske funkcije.

Ako je

a > 1 i x > y     log a x > log a y

0 < a < 1   i x > y log a x < log a y,  

također vrijedi:

a > 1 i log a x < log a y x < y

0 < a < 1 i log a x < log a y x > y .

Primjer 4.

Riješimo eksponencijalnu nejednadžbu.

5 2 x < 2 5 x - 8

log 5 2 x < log 2 5 x - 8

2 x log 5 < 5 x - 8 log 2

2 x log 2 - 5 x log 2 < - 8 log 2

x > - 8 log 2 2 log 5 - 5 log 2

x > 22.46  

Svoje znanje provjerite s pomoću sljedećih nekoliko pitanja.

Ako je 1 2 x > 1 2 y , onda je:

null
null

Broj 2 pripada intervalu rješenja eksponencijalne nejednadžbe 4 x + 2 > 8 2 x .

null
null

Rješenja eksponencijalne nejednadžbe 16 x > 2 2 · 4 3 · 8 4 su svi brojevi za koje vrijedi:

null
null

Ako je 30 20 > 32 x, onda je x < 3 log 2 4 .

null
null

Logaritamske nejednadžbe

Logaritamska nejednadžba

Logaritamska nejednadžba je nejednadžba u kojoj je nepoznanica argument ili baza logaritma.

Logaritamske nejednadžbe možemo riješiti poznavajući graf i svojstva logaritamske funkcije.

  1. Ako je baza a > 1, onda vrijedi log a f x > log a g x f x
    g x .
  2. Ako za bazu vrijedi 0 < a < 1, onda log a f x > log a g x f x
    g x .
null
null

U sljedećem videozapisu pogledajte kako se rješavaju logaritamske nejednadžbe na dva jednostavnija primjera.

Primjer 5.

Vidjeli ste dva načina rješavanja: s pomoću inverzne funkcije i s pomoću svojstava logaritamske funkcije. Prvi primjer mogli smo riješiti i grafički.

Pogledajte grafičko rješenje prvog primjera log 2 x > 1 .

Grafičko rješenje logaritamske nejednadžbe
Prikaz rješenja logaritamske nejednadžbe pomoću grafa

Graf logaritamske funkcije s bazom 2 istaknut je ljubičastom bojom. Vrijednost logaritma po bazi 2 jednaka je 1 za x = 2 .

Možemo zaključiti da je vrijednost funkcije f x = log 2 x  veća od 1 za sve x > 2 .

...i na kraju

Ako je:

vrijedi li 12 50 < 7 64 ?

log 12 50 < log 7 64

50 log 12 < 64 log 7

100 log 2 + 50 log 3 < 64 log 7

53.955 < 54.0864

Da, vrijedi.


Povratak na vrh