x
Učitavanje

5.1 Graf i svojstva funkcije sinus

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Disperzija svjetlosti kroz prizmu
Svjetlost se može odvojiti u boje zbog svojih valnih svojstava

Bijela svjetlost, poput sunčeve svjetlosti, zapravo nije bijela. Unutar bijele svjetlosti nalazi se spektar duginih boja u obliku valova. Pojedinačne se boje vide se kad bijela svjetlost prolazi kroz optičku prizmu koja razdvaja valove prema njihovoj valnoj duljini i tvori dugu. Svjetlosni valovi mogu se prikazati grafom funkcije sinus.

Grafički prikaz funkcije sinus pomoću brojevne kružnice

Funkciju sinus definirali smo pomoću brojevne kružnice. Podsjetimo se definicije funkcije sinus.

Točka na brojevnoj kružnici ima koordinate (

 
,
 
), pri čemu je α kut određen tom točkom.
cos α
sin α
null
null

Neka je t proizvoljan realan broj. T = E t njemu odgovarajuća

 
na brojevnoj kružnici. Tada je T = (
 
,
 
) .
cos t
točka
sin t
null
null

Vrijednost je funkcije kosinus

 
, a vrijednost je funkcije sinus
 
točke T = E ( t ) .
ordinata
apscisa
null
null

Možemo li pomoću definicije nacrtati graf funkcije sinus?

Pogledajte sljedeću simulaciju.

Točka C na kružnici je pomična. Pomicanjem točke  C točka F  ostavljat će trag. Taj je trag graf funkcije sinus. Svaka točka na tom grafu ima koordinate x , sin x .

Pomoću simulacije pokušajte odgovoriti na niz pitanja o ponašanju grafa funkcije sinus.

Brojevi oblika k π , k Z nultočke su funkcije sinus.

null
null
Maksimum funkcije sinus iznosi
,
a minimum je funkcije
.
null
null

Funkcija sinus maksimum poprima za

 
, a minimum za
 
za svaki k Z .
x = π 2 + 2 k π
x = 3 π 2 + 2 k π
null
null

Na intervalu od 3 π 2 , 2 π funkcija sinus

null
null

Na intervalu od π 2 , 3 π 2 funkcija sinus

null
null

Period je funkcije sinus:

null
null

Svojstva funkcije sinus

Funkcija f x = sin x ima sljedeća svojstva:

  1. Nultočke funkcije brojevi su k π , k Z .
  2. Za sve brojeve oblika x = π 2 + 2 k π , k Z funkcija poprima maksimalnu vrijednost jednaku 1 . Za sve brojeve oblika x = 3 π 2 + 2 k π , k Z funkcija poprima minimalnu vrijednost jednaku - 1.
  3. Period funkcije iznosi 2 π .
  4. Tijek je funkcije na intervalu 0 , 2 π sljedeći:
x 0 π 2 π 3 π 2 2 π
sin x 0 1 0 - 1 0

Zadatak 1.

Odredite je li funkcija f x = sin x na intervalu 19 π 2 , 10 π rastuća ili padajuća.

Ponašanje funkcije jednako je onom na intervalu 3 π 2 , 2 π pa je funkcija na tom dijelu rastuća.


Praktična vježba

Nacrtajte funkciju sinus pomoću sljedećih uputa:

Skica grafičkog prikaza funkcije sinus uz pomoć brojevne kružnice
Skiciranje grafa funkcije sinus uz pomoć brojevne kružnice

Grafički prikaz funkcije sinus pomoću tablice

Graf funkcije sinus možemo nacrtati koristeći njezina svojstva.

Popunite tablicu.

Crtanje grafa funkcije sinus uz pomoć brojevne kružnice
0.26
0.5
0.71
0.87
0.97
1
null

Vrijednosti iz tablice ucrtajte u koordinatni sustav i povežite glatkom krivuljom. Nacrtali ste prvi dio krivulje.

Sada se prisjetimo identiteta sin π 2 - α = sin π 2 + α , α > 0 .

Kako nam to pomaže pri crtanja grafa?

Vrijednosti funkcije sinus podudaraju se za različite argumente.

Dio grafa

 
od pravca x = π 2
 
je dijelu grafa
 
od pravca x = π 2 .
lijevo
desno
simetričan
null
null

Sada nacrtajte dio grafa od π 2 do π koristeći se simetrijom.

Kako izgleda funkcija sinus lijevo od točke 0 , 0 ?

Sjetimo se još jednog svojstva funkcije sinus.

Funkcija sinus je

,
pa vrijedi sin - x = - sin x  za svaki realni x . Neparne funkcije simetrične su s obzirom na
Nacrtajte
dio grafa na intervalu - π , 0 .
null
null

Funkcija sinus je periodična s periodom:

null
null

Već smo nacrtali funkciju sinus u intervalu - π , π . Zbog njezine periodičnosti, možemo nacrtati i ostatak.

Graf funkcije sinus
Crtanje grafa funkcije sinus uz pomoć tablice

f(x) = A sin(bx + c) + d- amplituda, fazni pomak i temeljni period funkcije

Sinusoida

Graf funkcije f x = A sin b x + c + d nazivamo sinusoida.

U sljedećoj simulaciji proučite graf funkcije f x = A sin x , pri čemu je A pozitivna konstanta koju zovemo amplituda.

Mijenjajući koeficijent A pokušajte pronaći odgovor na pitanja.

Amplituda funkcije f x = sin x jednaka je
.
null
null

Ako je 0 < A < 1 , onda je amplituda funkcije f x = A sin x

od
amplitude funkcije g x = sin x .
null
null

Ako je A > 1 , onda je amplituda funkcije f x = A sin x

od
amlitude funkcije g x = sin x .
null
null

Promjena vrijednosti amplitude za funkciju f x = A sin x ima utjecaj na promjenu:

null
null

Funkcija f ( x ) = 3 sin x maksimalnu vrijednost jednaku 3 (na intervalu 0 , 2 π ) postiže za: 

null
null

U sljedećoj simulaciji pogledajte graf funkcije f x = A sin b x , pri čemu je b kružna frekvencija, te odgovorite na pitanja.

Promjena koeficijenta b utječe na promjenu amplitude funkcije f x = A sin ( b x ) .

null
null

Promjena koeficijenta b utječe na promjenu perioda funkcije f x = A sin b x .

null
null

Period funkcije f x = A sin b x iznosi:

null

Ako je b > 1 , onda je period funkcije f x = A sin b x

od
perioda funkcije g x = A sin x .
null

Ako je 0 < b < 1 , period funkcije f x = A sin b x

je
od perioda funkcije g x = A sin x .
null
null

Zadana je funkcija f x = A sin b x + c , pr čemu koeficijent c zovemo fazni pomak.

Kroz simulaciju usporedbe funkcije f x = A sin b x + c i g x = sin x proučite sličnosti i razlike ovih dvaju grafova te odgovorite na pitanja.

Promjena parametra c u funkciji f x = A sin b x + c utječe na:

null
null

Nultočke funkcije f x = sin x + π 4 na intervalu 0 , 2 π iznose:

null
null

Pomak funkcije f x = sin x + c u odnosu na f x = sin x  jednak je - c .

null
null

Amplituda, period i pomak sinusoide

Graf funkcije f x = A sin b x + c skiciramo uz pomoć grafa g ( x ) = sin x .

Za funkciju f x = A sin b x + c potrebno je odrediti amplitudu, period i pomak.

  1. Maksimalna tj. minimalna vrijednost funkcije jednaka je A , tj. - A , pa se graf funkcije nalazi između pravaca y = A i y = - A .
  2. Period funkcije jednak je 2 π b , a nultočke se nalaze na početku i na kraju tog intervala i u polovištu.
  3. Nultočke funkcije rješenje su jednadžbe A sin b x + c = 0 .
    x = k π - c b , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . .
    Za k = 0 dobijemo x 0 = - c b , što je pomak funkcije.

Zadatak 2.

Istražite kako na graf funkcije f x = A sin b x + c + d utječe parametar d .

Parametar d određuje pomak grafa funkcije po osi y , tj. vertikalni pomak.


Pogledajte sada kako pomoću svega što smo naučili skicirati graf funkcije f x = 2 sin x - π 2 .

...i na kraju

Sinusoidom možemo prikazati promjene kod različitih pojava:

Zalazak sunca
Duljina vremena između izlaska i zalaska sunca tijekom godine može se opisati sinusoidom.

Zadatak 3.

Prema mjerenjima broj sati dnevne svjetlosti nekog području 21. lipnja 2016. godine bio je 17,48 sati, a broj sati dnevnog svjetla 21. prosinca 2016. godine bio je 7,08 sati.

Odredite sinusoidni model za broj sati dnevne svjetlosti y u 2016. kao funkcije vremena t .

  • 17.48 - 7.08 = 10.4 , pa je amplituda jednaka 5.2 .
  • Vertikalni pomak je 7.08 + 5.2 = 12.28 .
  • Period je 12 mjeseci, pa je b = 2 π 12 = π 6 .
  • Fazni pomak je 2 π 3 .

Funkcija je y t = 5.2 sin π 6 t + 2 π 3 + 12.28 .


Povratak na vrh