Matematika 3 - 10.6 Problemski zadaci iz kombinatorike

U 1. zadatku izračunali ste na koliko različitih načina možemo dobiti tri ista broja na kockicama. Imamo permutacije s ponavljanjem te prema načelu umnoška izračunamo sve moguće načine dobivanja triju istih brojeva i preostalih dvaju koji se razlikuju od tih triju.

Dakle,

card (A) = 6 \cdot 5^{2} \cdot (\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}) =

null

Kako računamo kardinalni broj skupa elementarnih događaja, $card (Ω) ?$

permutacijama bez ponavljanja

permutacijama s ponavljanjem

varijacijama bez ponavljanja

varijacijama s ponavljanjem

komibnacijama bez ponavljanja

kombinacijama s ponavljanjem

null

Imamo

n =

koje

kombiniramo u uređene

-orke,

pa je

card (Ω) =

null

Uvrštavanjem u formulu klasične vjerojatnosti dobijemo vjerojatnost da u prvom bacanju padnu tri ista broja (zaokružite na

4

decimale),

p (A) =

ili

izraženo u postocima, vjerojatnost da će pasti tri ista broja od pet je

% .

null

Kolekcija zadataka #3

Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju triju kockica pojave dvije šestice?

$card (A) = 1 \cdot 5 \cdot \frac{3!}{2!}$ i $card (Ω) = 6^{3}$

$p (A) = \frac{5}{72} \Rightarrow 6.94 %$

U bubnju se nalaze $4$ bijele, $4$ crvene i $8$ crnih kuglica. Izvlačimo jednu kuglicu. Kolika je vjerojatnost da ćemo izvući bijelu? Kolika je vjerojatnost da nećemo izvući crvenu?

$card (Ω) =$

16!

4 \cdot 4 \cdot 8

(\begin{array}{l} 16 \\ 1 \end{array})

(\begin{array}{l} 8 \\ 4 \end{array})

null

Na koliko načina možemo izvući bijelu kuglicu?

(\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array})

(\begin{array}{l} 16 \\ 4 \end{array})

16^{1}

16^{4}

null

Crvenu kuglicu možemo izvući na

(\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array})

načina.

null

Prisjetimo se vjerojatnosti suprotnih događaja: $A \cup \bar{A} = Ω \Rightarrow p (A) + p (\bar{A}) = p (Ω) .$

Broj mogućih izvlačenja kuglice koja nije crvena jest

4 + 8

(bijela ili crna)

vjerojatnost da izvučena kuglica nije crvena jest

\frac{12}{16} \cdot 100

% .

Postotak izvlačenja crvene kuglice je

% .

null

Dobili ste trideset pitanja koja trebate naučiti za provjeru znanja. Uspjeli ste naučiti dvadeset. Provjera se sastoji od pet pitanja.

Kolika je vjerojatnost da ćete znati odgovore na svih pet pitanja?
Kolika je vjerojatnost da ćete znati odgovoriti točno na dva pitanja?
Kolika je vjerojatnost da ćete znati odgovoriti na barem dva pitanja?

Što ćete upotrijebiti za računanje kardinalnih brojeva događaja i skupa elementarnih digađaja?

null

Povežite rješenje s oznakom potpitanja zadatka.

$\frac{(\begin{array}{l} 20 \\ 5 \end{array})}{(\begin{array}{l} 30 \\ 5 \end{array})}$
$\frac{(\begin{array}{l} 20 \\ 2 \end{array}) (\begin{array}{l} 10 \\ 3 \end{array})}{(\begin{array}{l} 30 \\ 5 \end{array})}$
$1 - \frac{(\begin{array}{l} 20 \\ 0 \end{array}) (\begin{array}{l} 10 \\ 5 \end{array})}{(\begin{array}{l} 30 \\ 5 \end{array})} + \frac{(\begin{array}{l} 20 \\ 1 \end{array}) (\begin{array}{l} 10 \\ 4 \end{array})}{(\begin{array}{l} 30 \\ 5 \end{array})}$

null

Zadan je skup elemenata $\{e, d, u, t, o, r, i, j\} .$

Koliko različitih riječi (smislenih i malo manje smislenih) možete napisati od tih slova? Kolika je vjerojatnost da nasumičnim odabirom slova dobijete riječ EDUTORIJ?

Ukupno je moguće napisati $8!$ različitih riječi od svih slova.

Vjerojatnost pojavljivanja riječi EDUTORIJ jest $0.00248 % .$

Kolika je vjerojatnost da se iz skupa elemenata $\{1, 2, 3, 5, 8\}$ nasumičnim odabirom redoslijeda znamenki dobije peteroznamenkasti paran broj?

$\frac{2 \cdot 4!}{5!} = 0.4$ pa je vjerojatnost parnog broja $40 % .$

Dirichletovo pravilo

Zanimljivost

Pierre Gustave Lejeune Dirichlet (1805. – 1859.), njemački je matematičar francuskog podrijetla. Najveći doprinos u matematici dao je na području teorije brojeva i matematičkoj analizi. Njegov suvremenik, jedan od najvećih matematičara, Gauss, bio mu je uzor, kojeg je nakon smrti i naslijedio na Göttingenskom sveučilištu.

Jedna od varijanti formulacije Dirichletova pravila jest sa zečevima: Ako $n + 1$ zečeva rasporedimo bilo kako u $n$ kaveza, onda su barem u jednom kavezu smještena barem dva zeca.

Dirichletovo pravilo

Ako $n + 1$ predmeta bilo kako rasporedimo u $n$ kutija, onda barem jedna kutija sadržava bar dva predmeta.

Ta je tvrdnja očita kao i dokaz tvrdnje. Pogledajte sljedeću animaciju kojom se dokazuje spomenuto pravilo.

Primjer 4.

Jedan tipični primjer primjene tog pravila je s rođendanima. Podijelimo svaki mjesec na kvartale. Neka je prvi kvartal mjeseca od 1. do 7. dana; drugi kvartal je od 8. do 15., treći od 16. do 23. te od 24. do kraja je zadnji kvartal u mjesecu.

Hoće li između pet prijatelja barem dva imati rođendan u istom kvartalu mjeseca?
Koliko će u razredu od 25 učenika minimalno biti onih koji su rođeni u istom kvartalu mjeseca?

Prema Dirichletovu će pravilu od 5 prijatelja barem dva biti u istom dijelu mjeseca rođeni.
Promatramo slučaj da će rođendani biti ravnomjerno raspoređeni pa će od 25 učenika sigurno 6 biti barem u jednoj četvrtini mjeseca. Ostaje 25. učenik koji mora pripadati nekoj četvrtini dijela mjeseca. Dakle, barem će u jednoj četvrtini biti 7 učenika. Ne možemo reći u kojoj, ali znamo da takva četvrtina postoji.

Pomoću Dirichletovog principa riješite još dva problema.

Kolekcija zadataka #4

Koliko je potrebno učenika u grupi u kojoj postoje barem dva koja imaju u istom mjesecu rođendan?

Koliko je potrebno ljudi u grupi u kojoj barem dvoje imaju isti dan rođendan?

Među

učenika

postoje barem dva koja imaju u istome mjesecu rođendan.
U grupi od

ljudi,

barem dvoje imat će rođendan na isti dan. Uzima se u obzir i prijestupna godina.

Pomoć:

Primijeniti DIrichletovo pravilo na 12, odnosno 366 pretinaca.

null

Može li se unutar kvadrata $3 m \times 3 m$ nacrtati $10$ točaka tako da je minimalna udaljenost između barem dviju manja ili jednaka $\sqrt{2} m ?$

null

Podijelimo kvadrat na manje kvadrate dimenzije $1 m \times 1 m .$

Položaj devet točaka u prostoriji 3 m × 3 m

Takvih kvadrata na površini $3 m \times 3 m$ ima točno

Dakle, deset točaka treba rasporediti u devet kvadrata. Devet točaka rasporedimo u različite kvadrate. Uočimo da je

\sqrt{2}

kvadrata

1 m \times 1 m .

Dakle, desetu točku stavimo u jedan od već popunjenih kvadrata. Vidimo da udaljenost od susjednih četiriju točkaka koje čine kvadrat mora biti manja od dijagonale, odnosno od

\sqrt{2}

null

...i na kraju

Riješite za kraj sljedeći problem.

Iz bubnja s brojevima

\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}

izvlačimo nasumično 6 brojeva.

Na koliko je načina to moguće učiniti bez vraćanja broja u bubanj?

Na koliko je načina to moguće učiniti s vraćanjem broja u bubanj nakon svakog izvlačenja?

Dokažite da između 6 različitih izvučenih brojeva moraju postojati barem dva čiji je zbroj

11 .

$(\begin{array}{l} 10 \\ 6 \end{array})$
$(\begin{array}{l} 10 + 6 - 1 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{l} 15 \\ 6 \end{array})$
Uočimo $5$ parova brojeva: $1$ i $10$ ; $2$ i $9$ ; $3$ i $8$ ; $4$ i $7$ ; $5$ i $6$ koji zbrojeni daju $11 .$ Primijetimo da je riječ o Dirichletovu pravilu. Odabranih $6$ brojeva trebamo smjestiti u $5$ kutija (mogućih parova). Ako šesti broj pridružimo jednom od prethodno odabranih pet (npr. $1,$ $9,$ $3,$ $7,$ $6$ ), i to onom čiji je par (ako već ne postoji izvučen par brojeva sa zbrojem $11$ ), jedna kutija mora sadržavati barem dva broja čiji je zbroj barem $11 .$

10.6 Problemski zadaci iz kombinatorike

Na početku...

Igrajmo se

Zanimljivost

Primjer 1.

Kolekcija zadataka #1

Izradi vježbu

Zanimljivost

Kolekcija zadataka #2

Zanimljivost

Primjer 2.

Zadatak 1.

Kombinatorika i vjerojatnost

Zanimljivost

Primjer 3.

Kolekcija zadataka #3

Kutak za znatiželjne

Dirichletovo pravilo

Zanimljivost

Dirichletovo pravilo

Primjer 4.

Kolekcija zadataka #4

...i na kraju