Matematika 5 - 6.3 Množenje decimalnih brojeva

Na početku...

Sanja i Petra su blizanke koje uskoro slave rođendan. Majka procjenjuje da će za pripremu svečanog obiteljskog ručka trebati nabaviti $4$ kilograma rajčica. Na tržnici je cijena kilograma rajčica $10 kn .$ U trgovini prodaju rajčicu u pakiranju po $1 kg,$ po $2 kg$ i po $4 kg .$ Cijena pakiranja od $1 kg$ je $8.99 kn,$ pakiranje od $2 kg$ prodaje se po cijeni od $17.79 kn,$ a ono od $4 kg$ po cijeni od $34.99 kn .$

Koliko bi majka rajčice platila na tržnici?

Hoće li u trgovini istu količinu rajčica platiti više ili manje nego na tržnici? Koje je pakiranje najpovoljnije?

$4 \cdot 10 = 40 kn$

Ako rajčice nabavi na tržnici, majka će platiti $40 kn .$

Ako majka rajčice kupuje u pakiranjima od $1 kg,$ trebat će joj 4 takva pakiranja.

$8.99 + 8.99 + 8.99 + 8.99 = 35.96 kn$

Ako majka rajčice kupuje u pakiranjima od $2 kg,$ trebat će joj 2 takva pakiranja.

$17.79 + 17.79 = 35.58 kn$

Ako majka rajčice kupuje u različitim pakiranjima, trebat će joj 2 pakiranja od $1 kg$ i jedno pakiranje od $2 kg .$

$8.99 + 8.99 + 17.79 = 35.77 kn$

Ako majka rajčice kupuje u pakiranjima od $4 kg .$ trebat će joj 1 takvo pakiranje.

Cijena pakiranja od $4 kg$ je $34.99 kn .$

$34.99 < 35.58 < 35.77 < 35.96 < 40$

Majka će količinu od $4 kg$ rajčica na tržnici platiti više nego u trgovini.

Najpovoljnija ponuda je kupnja pakiranja od $4 kg$ rajčica.

Za rješavanje početnog problema mogli smo uzastopno zbrajati jednake pribrojnike ili upotrijebiti množenje, kao skraćeni postupak za takvo zbrajanje. No, kao faktor javlja se decimalni broj.

U ovoj ćeš jedinici naučiti kako se množe decimalni brojevi.

Prije toga, podsjeti se veze među mjernim jedinicama za duljinu.

Mjerne jedinice

Mjerne jedinice za duljinu

1 km = 1 000 m

1 m = 10 dm

1 m = 100 cm

1 dm = 10 cm

1 cm = 10 mm

Zadatak 1.

Pretvori u manje mjerne jedinice.

a) $3 km =___________m$

b) $5 m =___________cm$

c) $12 dm =___________mm$

d) $234 cm =___________mm$

e) $17 km =___________cm$

a) $3 km = 3 \cdot 1 000 = 3 000 m$

b) $5 m = 5 \cdot 100 = 500 cm$

c) $12 dm = 12 \cdot 10 \cdot 10 = 1 200 mm$ (Napomena: $12$ decimetara je $120 cm,$ a $120 cm$ je $1 200 mm$ )

d) $234 cm = 234 \cdot 10 = 2 340 mm$

e) $17 km = 17 \cdot 1 000 \cdot 100 = 1 700 000 cm$ (Napomena: $17 km$ je $17 000 m,$ a $17 000 m$ je $1 700 000 cm$ )

Zadatak 2.

Pretvori mjerne jedinice.

3 km =

m =

dm =

cm .

null

7 m =

dm =

cm =

mm .

null

52 m =

mm .

null

U prethodnim smo zadatcima pri pretvaranju mjernih jedinica iz većih u manje zapravo množili prirodan broj s $10,$ $100,$ $1 000,$ $10 000$ itd.

Promotri,

$234 \cdot 10 = 2 340$

$5 \cdot 100 = 500$

$3 \cdot 1 000 = 3 000 .$

Prisjetimo se, množimo li prirodni broj s brojem $10,$ umnožak ćemo dobiti tako da početnom faktoru zdesna dopišemo jednu nulu. Pri množenju sa $100$ ,početnom broju zdesna dopisujemo dvije nule...

Također, znamo da svaki prirodan broj možemo prikazati kao decimalan tako da mu iza znamenke jedinica dopišemo decimalnu točku.

Istražimo

Istražimo

Napiši još nekoliko sličnih primjera za množenje prirodnog broja s brojevima $10 000,$ $100 000$ itd.

Što primjećuješ?

234x10=2340 (točka između brojeva 4 i 0 pomiče se iza 0)
5x100=500 (točka između brojeva 5 i 0 pomiče se iza zadnje 0)
3x1000=3000 (točka između brojeva 3 i 0 pomiče se iza zadnje 0) — Množenje prirodnog broja dekadskom jedinicom i pomak decimalne točke

Pri množenju ovih brojeva s brojevima $10,$ $100,$ $1 000,$ $10 0000$ itd. (tj. pri množenju dekadskim jednicama), decimalna je točka pomaknuta udesno za onoliko mjesta koliko dekadska jednica ima nula.

Vrijedi li isto i za decimalne brojeve?

Množenje decimalnog broja s dekadskim jedinicama

Primjer 1.

Čokoladice Čokomljac prodaju se po cijeni od $3.79 kn .$ Koliko treba platiti kutiju s $10$ takvih čokoladica? A pakiranje sa $100$ takvih čokoladica?

Jedna kuna sadržava $100$ lipa, zato možemo reći da je $3.79 kn = 379 lp .$

Za $10$ čokoladica treba platiti $10$ puta veći iznos. Dakle, $379 \cdot 10 = 3 790 lp$ što iznosi $37 kn$ i $90 lp$ tj. $37.90 kn .$

Za $100$ čokoladica treba platiti $100$ puta veći iznos. Dakle, $379 \cdot 100 = 37 900 lp$ što iznosi $379 kn .$

Iz navedenih primjera možemo zaključiti da vrijedi:

Decimalni broj množimo s dekadskom jedinicom tako da decimalnu točku u zadanom broju pomaknemo udesno za onoliko mjesta koliko je nula u dekadskoj jedinici.

3.79x10=37.9 (točka između brojeva 3 i 7 pomiče se za jedno mjesto - između brojeva 7 i 9)
3.79x100=379 (točka između brojeva 3 i 7 pomiče se za dva mjesta - sada je nakon broja 9) — Množenje decimalnog broja dekadskom jedinicom i pomak decimalne točke

Zadatak 3.

Izračunaj.

a) $3.27 \cdot 10$

b) $4.586 \cdot 10$

c) $4.17 \cdot 100$

d) $4.6 \cdot 1 000$

a) 3.27x10=32.7 (točka se pomaknula za jedno mjesto)
b) 4.586x10=45.86 (točka se pomaknula za jedno mjesto)
c) 4.17x100=417 (točka se pomaknula za dva mjesta)
d) 4.6x1000=4600 (točka se pomaknula za tri mjesta) — Množenje decimalnog broja dekadskom jedinicom i pomak decimalne točke 2

Kolekcija zadataka #1

Izračunaj.

$56.78 \cdot 100 =$
.

null

null
$9.02 \cdot 10 =$
.

null

null
$5.3 \cdot 1 000 =$
.

null

null
$2.983 \cdot 100 =$
.

null

Poveži zadatak i rješenje.

$0.487 \cdot 1 000 =$	$487$
$0.487 \cdot 10 000 =$	$4 870$
$0.487 \cdot 100 =$	$4.87$
$0.487 \cdot 10 =$	$48.7$

null

Dopuni.

$5.43 km =$

$m .$

null

null
$0.4 m =$

$cm .$

null

null
$45.678 m =$

$dm .$

null

null
$3.493 dm =$

$mm .$

null

null

Množenje decimalnog i prirodnog broja

Primjer 2.

Rebeka je kupila $3$ bombona. Cijena je svakog bombona $0.4 kn .$ Koliko je Rebeka platila kupljene bombone?

Slatkiši

$3 \cdot 0.4 = 1.2$

Rebeka je kupljene bombone ukupno platila $1.20 kn .$

Primjer 3.

Slaven je na tržnici kupio po $0.25 kg$ od pet različitih vrsta orašida: badema, lješnjaka, oraha, kikirikija i pistacija. Kolika je ukupna masa orašastih plodova koje je kupio?

Orašidi

Slaven je kupio $0.25 \cdot 5 kg$ orašastih plodova.

$0.25 \cdot 5 = 1.25$

Slaven je kupio $1.25 kg$ orašastih plodova.

Istražimo

Istražimo.

$3 \cdot 0.4 = 1.2$

$3 \cdot 4 = 12$

$0.25 \cdot 5 = 1.25$

$25 \cdot 5 = 125$

Što primjećuješ? Napiši nekoliko svojih primjera množenja prirodnog i decimalnog broja i pomnoži ih s pomoću džepnog računala. Zatim pomnoži ta dva broja pisanim putem kao da su oba prirodna (izostavi decimalnu točku). Jesu li rezultati ostali jednaki?

Pri množenju prirodnog i decimalnog broja brojeve pomnožimo kao da su prirodni. Ukupan broj decimala u umnošku jednak je ukupnom broju decimala u faktorima (tj. broju decimala decimalnog broja).

Primjer 4.

Izračunajmo.

a) $8 \cdot 1.6$

b) $12.3 \cdot 2$

c) $10.2 \cdot 7$

d) $15.01 \cdot 11$

Množenje potpisivanjem
8x1.6
+14
=12.8 — Množenje potpisivanjem 8 · 1.6

$8 \cdot 1.6 = 12.8$

Množenje potpisivanjem
12.3x2
=24.6 — Množenje potpisivanjem 12.3 · 2

$12.3 \cdot 2 = 24.6$

Množenje potpisivanjem
10.2x7
=71.4 — Množenje potpisivanjem 10.2 · 7

$10.2 \cdot 7 = 71.4$

Množenje potpisivanjem
15.01x11
=1501
+ 1501
=165.11 — Množenje potpisivanjem 15.01 · 11

$15.01 \cdot 11 = 165.11$

Zadatak 4.

Najprije procijeni rezultat, a zatim izračunaj točnu vrijednost umnoška.

a) $2.4 \cdot 27$

b) $150 \cdot 3.88$

a) Budući da je $2 < 2.4 < 3,$ tada umnožak mora biti veći od $2 \cdot 27 = 54,$ a manji od $3 \cdot 27 = 81 .$ Valjana procjena je broj veći od $54$ i manji od $81 .$

$2.4 \cdot 27 = 64.8$

Množenje potpisivanjem
2.4x27
=48
+168
=64.8 — Množenje potpisivanjem 2.4 · 27

b) Budući da je $3 < 3.88 < 4,$ tada umnožak mora biti veći od $3 \cdot 150 = 450,$ a manji od $4 \cdot 150 = 600 .$

Valjana procjena je broj veći od $450$ i manji od $600 .$

$150 \cdot 3.88 = 582$

Množenje potpisivanjem
150x3.88
=450
+1200
+ 1200
=582.00 — Množenje potpisivanjem 150 · 3.88

Kolekcija zadataka #2

Procijeni umnožak

5.4 \cdot 6

te ga zapiši na crtu.

null

Spoji zadatak i rješenje.

$0.008 \cdot 4 =$	$3.2$
$0.0008 \cdot 4 =$	$0.32$
$8 \cdot 0.04 =$	$0.032$
$4 \cdot 0.8 =$	$0.0032$

null

Izračunaj.

$5.3 \cdot 23 =$
.

null

null
$102 \cdot 2.22 =$
.

null

null
$10.7 \cdot 102 =$
.

null

null
$13.6 \cdot 5 =$
.

null

null

Množenje decimalnih brojeva

Cijena kilograma luka na sniženju iznosi $3.6 kn .$ Koliko će Ana platiti $0.5$ kilograma luka

Množenje potpisivanjem 3.6 · 0.5 (prikazano pomoći kvadrata i pravokutnika). 3 kvadrata (podijeljenih na 10 uskih pravokutnika) i 6 pravokutnika čine broj 3.6.
Pola od jednog kvadrata je 0.5 (odnosno 5 od 10 kvadrata). Formula glasi: 0.5x3.6=1.8 — Množenje potpisivanjem 3.6 · 0.5

Istražimo

Promotri rješenje prethodnog zadatka.

$0.5 \cdot 3.6 = 1.8$

Vrijedi li isto pravilo koje je vrijedilo za množenje decimalnog i prirodnog broja i za množenje dvaju decimalnih brojeva?

Osmisli nekoliko zadataka množenja dvaju decimalnih brojeva te odredi njihov umnožak s pomoću džepnog računala.

Vrijedi li i za te brojeve pravilo da ih pomnožimo kao da su prirodni, a pritom je ukupan broj decimala u umnošku jednak ukupnom broju decimala u faktorima?

Pri množenju dvaju decimalnih brojeva, brojeve pomnožimo kao da su prirodni. Ukupan broj decimala u umnošku jednak je ukupnom broju decimala u faktorima.

Primjer 5.

Izračunajmo.

a) $2.4 \cdot 3.2$

b) $0.46 \cdot 1.3$

c) $12.6 \cdot 0.04$

d) $4.25 \cdot 1.24$

Množenje potpisivanjem
2.4x3.2
=72
+ 48
=7.68 — Množenje potpisivanjem 2.4x3.2

$2.4 \cdot 3.2 = 7.68$

Množenje potpisivanjem
0.46x1.3
=046
+ 138
=0.598 — Množenje potpisivanjem 0.46 · 1.3

$0.46 \cdot 1.3 = 0.598$

Množenje potpisivanjem
12.6x0.04.
000
000
+ 504
0.504 — Množenje potpisivanjem 12.6 · 0.04

$12.6 \cdot 0.04 = 0.504$

Množenje potpisivanjem
4.25x1.24
425
850
+1700
5.2700 — Množenje potpisivanjem 4.25 · 1.24

$4.25 \cdot 1.24 = 5.2700 = 5.27$

Kolekcija zadataka #3

Spoji zadatak i rješenje.

$2.7 \cdot 0.03 =$
$2.7 \cdot 0.003 =$
$2.07 \cdot 0.3 =$
$2.07 \cdot 0.03 =$

null

Izračunaj.

$5.4 \cdot 1.2 =$
.

null

null
$0.03 \cdot 3.1 =$
.

null

null
$0.04 \cdot 0.06 =$
.

null

null
$10.1 \cdot 10.2 =$
.

null

null

Svojstva množenja decimalnih brojeva

Primjer 6.

Izračunajmo.

a) $3 \cdot 1.4$

b) $1.4 \cdot 3$

c) $1.1 \cdot 0.03$

d) $0.03 \cdot 1.1$

Što primjećuješ?

a) $3 \cdot 1.4 = 4.2$

b) $1.4 \cdot 3 = 4.2$

c) $1.1 \cdot 0.03 = 0.033$

d) $0.03 \cdot 1.1 = 0.033$

Primijeti, $3 \cdot 1.4 = 1.4 \cdot 3 = 4.2$ i $1.1 \cdot 0.03 = 0.03 \cdot 1.1 = 0.033 .$

Istražimo

Napiši još nekoliko primjera množenja decimalnog i prirodnog broja te množenja dvaju decimalnih brojeva. Što primjećuješ?

Vrijedi li svojstvo komutativnosti i za množenje decimalnih brojeva?

Za množenje decimalnih brojeva vrijedi svojstvo komutativnosti.

Ako faktori zamijene mjesta, umnožak će ostati isti.

$a \cdot b = b \cdot a$

Primjer 7.

Izračunajmo.

a) $(1.2 \cdot 1.4) \cdot 5$

b) $1.2 \cdot (1.4 \cdot 5)$

c) $(2.01 \cdot 0.1) \cdot 0.2$

d) $2.01 \cdot (0.1 \cdot 0.2)$

a) $(1.2 \cdot 1.4) \cdot 5 = 1.68 \cdot 5 = 8.4$

b) $1.2 \cdot (1.4 \cdot 5) = 1.2 \cdot 7 = 8.4$

c) $(2.01 \cdot 0.1) \cdot 0.2 = 0.201 \cdot 0.2 = 0.0402$

d) $2.01 \cdot (0.1 \cdot 0.2) = 2.01 \cdot 0.02 = 0.0402$

Primijeti, $(1.2 \cdot 1.4) \cdot 5 = 1.2 \cdot (1.4 \cdot 5) = 8.4$ i $(2.01 \cdot 0.1) \cdot 0.2 = 2.01 \cdot (0.1 \cdot 0.2) = 0.0402$

Istražimo

Napiši još nekoliko primjera množenja triju decimalnih brojeva s promjenom položaja zagrada. Što primjećuješ?

Vrijedi li svojstvo asocijativnosti i za množenje decimalnih brojeva?

Za množenje decimalnih brojeva vrijedi svojstvo asocijativnosti.

Ako faktore združimo na različite načine, umnožak će ostati isti.

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Primjer 8.

Izračunajmo na najjednostavniji način primjenjujući svojstva komutativnosti i asocijativnosti.

a) $0.25 \cdot 1.5 \cdot 0.4$

b) $0.5 \cdot 0.125 \cdot 8 \cdot 0.2$

a) $0.25 \cdot 1.5 \cdot 0.4 = (0.25 \cdot 0.4) \cdot 1.5 = 0.1 \cdot 1.5 = 0.15$

b) $0.5 \cdot 0.125 \cdot 8 \cdot 0.2 = (0.5 \cdot 0.2) \cdot (0.125 \cdot 8) = 0.1 \cdot 1 = 0.1$

Istražimo

Vrijedi li distributivnost množenja prema zbrajanju i oduzimanju i za decimalne brojeve? Saznaj više u sljedećem videoisječku.

Za decimalne brojeve vrijedi svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju i oduzimanju.

Kolekcija zadataka #4

Koje je združivanje najprimjerenije ako želimo zadatak $1.25 \cdot 0.5 \cdot 0.8 \cdot 20$ izračunati na najjednostavniji način?

(1.25 \cdot 0.5) \cdot (0.8 \cdot 20)

(0.5 \cdot 0.8) \cdot (20 \cdot 1.25)

(1.25 \cdot 0.8) \cdot (20 \cdot 0.5)

1.25 \cdot (0.5 \cdot 0.8) \cdot 20

null

Primjenjujući svojstvo komutativnosti i asocijativnosti, napamet združi, izračunaj umnoške dvaju i dvaju združeniih parova, a zatim i konačan rezultat.

0.25 \cdot 0.1 \cdot 10 \cdot 4 =

\cdot

=

null

Označi ispravno izlučen zajednički faktor u izrazu $1.2 \cdot 5.73 + 1.2 \cdot 4.27$

1.2 \cdot (5.73 \cdot 4.27)

1.2 \cdot (5.73 + 4.27)

1.2 + (5.73 \cdot 4.27)

1.2 + (5.73 + 4.27)

null

Dopuni brojevni izraz.

2.35 \cdot 1.7 + 2.35 \cdot 8.3 =

\cdot (1.7 +

) .

null

Primjena množenja decimalnih brojeva

Primjer 9.

Nenad se vratio s putovanja iz Austrije. Ostalo mu je $24.50$ eura koje je u mjenjačnici zamijenio za kune. Ako mjenjačnica za $1$ euro daje $7.44 kn,$ koliki je iznos u kunama Nenad dobio za preostale eure?

Ako za $1$ euro Nenad dobije $7.44 kn,$ tada će za $24.50$ eura dobiti $24.50$ puta više. Dakle.

$24.50 \cdot 7.44 = 182.28 kn .$

Nenad je za eure koji su mu preostali dobio $182.28 kn .$

Zadatak 5.

Marija trči brzinom od $10.8 km$ na sat. Koju će udaljenost prijeći za $0.2$ sata?

$10.8 \cdot 0.2 = 2.16$

Marija će za $0.2$ sata pretrčati udaljenost od $2.16 km .$

Zadatak 6.

Koliko je minuta $0.4$ sata?

$0.4 \cdot 60 = 24$

Nula cijelih četiri desetinke sata jednako je $24 \min .$

Kolekcija zadataka #5

Za jedan sat Tvrtko prepješači udaljenost od $4.7 km .$ Koliku će udaljenost prijeći za $1.4$ sata?

1.4

sata prijeći će

km .

null

Obitelj Renić kupila je $25$ metara tkanine za šivanje zastora. Ako je cijena jednog metra iznosila $102.58 kn,$ koliko su ukupno platili tkaninu za zastore?

Ukupno su platili

kn .

null

Marinka je kupila $5$ litara bijele boje po cijeni od $98.50 kn$ po litri te $3$ litre crne boje po cijeni od $105.75 kn$ po litri. Koliko je ukupno platila boju koju je kupila?

Boju je ukupno platila

kn .

null

Bojan želi kupiti lubenicu čija je masa $10.42 kg .$ Cijena kilograma lubenice je $2.50 kn .$ Kolika je cijena lubenice koju Bojan želi kupiti?

Cijena lubenice je

kn .

null

Lorena je kupila $1.4 kg$ jabuka i $2.6 kg$ krušaka. Cijena kilograma jabuka iznosi $8.90 kn,$ kruški $12.50 kn .$ Koliko je platila kupljeno voće?

Kupljeno voće platila je

kn .

null

Škola je za potrebe učenika sa specifičnim teškoćama u učenju za nastavu matematike odlučila nabaviti didaktičku matematičku slagalicu. Cijena jedne takve slagalice na sniženju iznosi 365.25 kn. Za 13 setova škola će izdvojiti

kn.

null

Na početku...

Mjerne jedinice

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Istražimo

Množenje decimalnog broja s dekadskim jedinicama

Primjer 1.

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka #1

Množenje decimalnog i prirodnog broja

Primjer 2.

Primjer 3.

Istražimo

Primjer 4.

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka #2

Množenje decimalnih brojeva

Istražimo

Primjer 5.

Kolekcija zadataka #3

Svojstva množenja decimalnih brojeva

Primjer 6.

Istražimo

Primjer 7.

Istražimo

Primjer 8.

Istražimo

Kolekcija zadataka #4

Primjena množenja decimalnih brojeva

Primjer 9.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kolekcija zadataka #5

...i na kraju