x
Učitavanje

1.5 Aktivnosti za učenje

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Samostalno učenje icon samostalno učenje
Procjena znanja icon procjeni znanje
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Postavi karticu iz prvog reda preko odgovarajuće kartice u drugome redu.

Povećaj interaktivni prikaz

Ponovimo

Poveži znanje o skupovima s geometrijom.  

Razlika skupova

Primjer 1.

Učenici 5.a razreda neke škole pitani su imaju li kućnog ljubimca i ako imaju, kojega kućnog ljubimca imaju. Prikupljeni podatci prikazani su Vennovim dijagramom. Skup A čine učenici koji imaju psa, a skup B učenici koji imaju mačku.

a. Koji učenici imaju samo psa?

b. Koji učenici imaju i mačku i psa?

c. Koliko učenika ima samo mačku?

d. Koliko učenika nema kućnog ljubimca?

e. Koliko je učenika u tom 5.a razredu?

Psi i mačke
Prikaz Vennova dijagrama. Skup A čine učenici koji imaju psa, a skup B učenici koji imaju mačku. U presjeku skupova su učenici koji za kućnog ljubimca imaju i psa i mačku, a izvan oba skupa su učenici koji nemaju kućnog ljubimca.

a. Dorian, Ariana, Marko i Mirza imaju samo psa.

b. Ana i Ivor imaju i psa i mačku.

c. Samo mačku imaju 4 učenika.

d. Jedanaest učenika nema kućnog ljubimca.

e. U tom 5.a razredu ukupno je 21 učenik.

Promotrimo još jedanput skupove A i B   pa izvdojimo one osobe koje imaju psa, ali ne i mačku. To su Dorian, Ariana, Marko i Mirza. U dijagramu su njihova imena upisana u onaj dio koji pripada skupu A , ali nije zajednički za oba skupa. Taj je skup sastavljen od učenika koji imaju psa, ali ne i mačku. Takav skup nazivamo razlika skupova A i B . Pišemo: 

A - B = Dorian,   Ariana,   Marko,   Mirza.

Razlika skupova A i B

Razlika skupova A i B je skup što ga čine svi članovi koji pripadaju skupu A,  ali ne pripadaju skupu B .

Razliku skupova A  i B označujemo A - B . Matematičkim simbolima zapisujemo: 

A - B = x : x ∈ A   i   x ∉ B .

Razlika skupova A i B
Vennov dijagram razlike skupova A i B.

Izdvojimo i osobe koje imaju mačku, ali ne i psa. To su Krešo, Petra, Tena i Nikolina. U dijagramu su njihova imena upisana u onaj dio koji pripada skupu B , ali nije zajednički za oba skupa. Taj je skup sastavljen od prijatelja koji imaju mačku, ali ne i psa. Takav skup nazivamo razlika skupova B i A . Pišemo:

B - A = Krešo,     Petra,     Tena,     Nikolina .

Razlika skupova B i A

Razlika skupova B i A je skup što ga čine svi članovi koji pripadaju skupu B, ali ne pripadaju skupu A .

Razliku skupova B i A označavamo B - A . Matematičkim simbolima zapisujemo:

B - A = x : x ∈ B   i   x ∉ A. .

Razlika skupova B i A
Vennov dijagram razlike skupova B i A.

Uočite da je A - B ≠ B - A .  

Primjer 2.

Učenici 5.b razreda odabrali su ili Njemački jezik ili Informatiku kao izborni predmet. Svi učenici odabrali su barem jedan izborni predmet. Od 25 učenika, njih 19 ide na Informatiku, a 5 na oba predmeta.

Koliko učenika ide samo na Njemački jezik?

Prikažimo podatke Vennovim dijagramom.

Izborni predmeti - samo njemački
Vennov dijagram izbornih predmeta u 5.b razredu iz Primjera.

Ako 19 učenika ide na informatiku, a 5 na oba predmeta, tada njih 14 ide samo na Informatiku. To znači da njih 6 , tj. 25 - 19 ide samo na Njemački jezik.

Broj elemenata unije i presjeka dvaju skupova

Broj elemenata konačnog skupa S označujemo k ( S ) .

Zanimljivost

Broj k ( S ) nazivamo kardinalni broj skupa S .

Primjer 3.

Učenici jednog razreda kao izborne predmete biraju Francuski i Talijanski jezik. Francuski jezik odabralo je 11 učenika, Talijanski jezik 14 učenika, a oba jezika 6 učenika tog razrednog odjela. Koliko je učenika u tom razrednom odjelu ako je  svaki učenik odabrao bar jedan od tih jezika?

Neka je F skup svih učenika koji su odabrali Francuski jezik. Prema uvjetu zadatka je k ( F ) = 11 .

Neka je T skup svih učenika koji su odabrali Talijanski jezik. Prema uvjetu zadatka je k ( T ) = 14 .

Skup učenika koji su odabrali oba jezika je F ∩ T i prema uvjetu zadatka je k ( F ∩ T ) = 6 .

Skup svih učenika toga razrednog odjela možemo shvatiti kao F ∪ T .

Promotrimo podatke raspoređene u Vennov dijagram.

Francuski ili talijanski
Vennov dijagram učenika koji su za izborni predmet odabrali francuski i/ili talijanski jezik.

Broj učenika u tome razrednom odjelu je k ( F ∪ T ) = 5 + 6 + 8 = 19 .

Zanimljivost

Broj elemenata u uniji (kardinalni broj unije) skupova A i B možemo izračunati tako da zbrojimo broj elemenata u oba skupa (kardinalne brojeve skupova A i B ), pa od tog zbroja oduzmemo broj zajedničkih elemenata (kardinalni broj presjeka skupova A i B ).

Vrijedi:

k ( A ∪ B ) = k ( A ) + k ( B ) - k ( A ∩ B ) .

Ta je formula poznata i kao formula uključivanja i isključivanja.

Zadatak 1.

U školi stranih jezika upisano je 105 učenika. Engleski jezik uči njih 28 , njemački 30 , francuski 42 , engleski i njemački 8 , engleski i francuski 10 , njemački i francuski 5 , a sva tri jezika uče 3 učenika. Ostali učenici uče samo kineski jezik.

Upiši odgovarajuće brojeve u Vennov dijagram.

Povećaj interaktivni prikaz

Brojevima dopuni rečenice.

  1. Samo engleski jezik uči
    učenika,
    samo njemački
    učenika,
    samo francuski
    učenika,
    a samo kineski
     učenika.
    null
    null
  2. Samo jedan jezik uči
    učenika.
    null
    null

Kutak za znatiželjne

Zadatak 2.

Koliko ima...?

Iz mjesta A u mjesto B vode tri ceste, a iz mjesta B u mjesto C dvije ceste.

Koristeći se interakcijom, istraži sve načine dolaska iz mjesta A u mjesto C pri čemu se mora proći mjestom B.

Povećaj interaktivni prikaz
Na koliko načina putnik može doći iz mjesta A u mjesto C, uz uvjet da prođe mjestom B?


Od mjesta A do mjesta C, preko mjesta B, moguće je doći na

različitih
načina.
null
null

Zadatak 3.

Uredi izlog novim proizvodima!

Povećaj interaktivni prikaz

Primjer 4.

Na koliko je načina moguće izbrati kapu koja će biti izložena u izlogu?

Na koliko je načina moguće izabrati jaknu? A hlače?

Kapu je moguće izabrati na tri načina.

Kape
3 različite kape. Prva je plava šilterica, drugi je smeđi šešir, treća je dječja žuta kapa sa malim propelerom na vrhu.

Jaknu je moguće izabrati na četiri načina.

Svakom izboru kape možemo pridružiti svaki izbor jakne, pa kapu i jaknu možemo izabrati na 3 · 4 = 12 načina.

Jakne
4 različite jakne. Prva je bijela sa plavim rukavima, druga je bijela sa plavim ovratnikom, treća je crvena sa bijelim rukavima i četvrta je potpuno bijela.

Hlače je moguće izabrati na dva načina.

Svakom izboru kape i jakne možemo pridružiti svaki izbor hlača, pa kapu, jaknu i hlače možemo izabrati na 3 · 4 · 2 = 24 načina.

Hlače
2 različitih hlača. Prve su siva sportska trenirka, a druge su plave kratke hlače.

Ovakav način prebrojavanja broja članova nekoga konačnog skupa možemo primijeniti i općenito.

Ako skup A ima n članova, a skup B ima m članova, onda jedan član skupa A i jedan član skupa B možemo izabrati na m · n načina.

Zadatak 4.

  1. Neka je A = { 2 ,   3 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 } i B = { 6 ,   8 ,   9 } . Postoji 18 dvoznamenkastih brojeva kojima je prva znamenka element skupa A , a druga znamenka element skupa B .

    null
    null

  2. Neka je A = { 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 } i B = { 3 ,   4 ,   8 } . Broj dvoznamenkastih brojeva kojima je prva znamenka element skupa A , a druga znamenka element skupa B je:

    null
    null
Povratak na vrh