x
Učitavanje

2.5 Množenje prirodnih brojeva

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Petar je od kartona izradio polje za igru, a iz drveta dijelove slagalice. Igru je nazvao Algebris. Igra se tako da polje za igru treba u potpunosti i bez preklapanja prekriti drvenim dijelovima. Dijelovi slagalice prikazani su slikom. Od koliko se kvadratića sastoji polje za igru Algebris?

Algebris
Algebris dijelovi

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 120

Kraće možemo zapisati 12 · 10 = 120 .

Polje za Algebris sastoji se od 120  kvadratića.


Množenje prirodnih brojeva možemo shvatiti kao uzastopno zbrajanje jednakih pribrojnika.

Brojeve koje množimo zovemo faktori, a rezultat množenja zovemo umnožak ili produkt.

Zadatak 1.

Pomoću apleta ponovi tablicu množenja do 100 .

Istražimo

Niko i Vid osmislili su igru s igraćom kockicom. Igrači bacanjem novčića odabiru koji će igrač biti prvi, a koji drugi. Prvi igrač bira hoće li biti par ili nepar. Prvi igrač baca kockicu i zapisuje broj koji je dobio. Drugi igrač baca kockicu i zapisuje broj koji je dobio. Dobiveni brojevi tada se množe. Ako je umnožak paran, bod dobiva igrač koji je odabrao biti par. Ako je umnožak neparan, bod dobiva igrač koji je odabrao biti nepar. Je li igra pravedna? Istraži i objasni.

Igra nije pravedna.

Množenjem dvaju parnih brojeva dobit ćemo paran broj.

Množenjem parnog i neparnog te neparnog i parnog također ćemo dobiti paran broj.

Jedino u slučaju množenja dvaju neparnih brojeva dobit ćemo neparan broj.

To znači da u tri puta više slučajeva možemo dobiti paran broj.


Zadatak 2.

  1. Je li umnožak dvaju prirodnih brojeva uvijek prirodni broj?

    null
    null
  2. Kako se naziva rezultat množenja?
    null
    null
  3. Kako se nazivaju brojevi koje množimo?
    null
    null

Primjer 1.

Izračunajmo.

a) 234 · 1

b) 0 · 3   473

c) 54 · 10

d) 974 · 100

e) 46 · 1   000  

a) 234 · 1 = 243

b) 0 · 3   473 = 0

c) 54 · 10 = 540

d) 974 · 100 = 97   400

e) 46 · 1   000 = 46   000


Množimo li neki prirodni broj brojem 10 , umnožak dobivamo tako da početnom faktoru zdesna dopišemo jednu nulu. Kod množenja brojem 100 početnom broju zdesna dopišemo dvije nule, kod množenja brojem 1   000  broju zdesna dopisujemo tri nule itd.

Primjer 2.

Izračunajmo.

a) 34 · 20  

b) 250 · 30

c) 60 · 8   000

d) 320 · 400

a) Broj 34 množimo s brojem 20 tako da ga prvo pomnožimo s brojem 2 , a zatim s brojem 10 . To zapravo znači da 34 pomnožimo s brojem 2 i dopišemo jednu nulu.

34 · 20 = 680

b) Broj 250 množimo s brojem 30 tako da pomnožimo 25  s brojem 3 te dopišemo dvije nule ( 10 · 10 = 100 ).

250 · 30 = 7   500  

c) Broj 60 množimo s brojem 8   000 tako da pomnožimo 6  s brojem 8 te dopišemo četiri nule.

60 · 8   000 = 480   000  

d) Broj 320 množimo s brojem 400 tako da pomnožimo 32  s brojem 4 te dopišemo tri nule.

320 · 400 = 128   000  


Zadatak 3.

Poveži zadatak i njegovo rješenje.

210 · 400
840
210 · 40
8   400
210   000 · 4
840   000
21 · 40
84   000
null
null

Kvadrati prirodnih brojeva do 10

Primjer 3.

Izračunajmo površinu kvadrata sa stranicom duljine:

a) 5   cm

b) 7   m .

a) Površinu kvadrata računamo tako da pomnožimo duljine dviju susjednih stranica. Stranice kvadrata jednakih su duljina te stoga množimo 5 s 5 .

p = 5 · 5 = 25   cm 2  

b) p = 7 · 7 = 49   m 2

Dva kvadrata
Dva kvadrata. Prvi se sastoji od 25 manjih kvadratića, dok se drugi sastoji od 49 manjih kvadratića.

U svakom od zadataka množili smo broj sa samim sobom. Izraz poput 5 · 5 kraće možemo zapisati 5 2 te ga čitamo "pet na kvadrat".

Kvadriranje

Kvadrirati broj znači pomnožiti broj sa samim sobom.

a · a = a 2

Zadatak 4.

Poveži zadatak i njegovo rješenje.

9 2  
64
8 2  
81
10 2  
36
6 2  
100
null
null

Zadatak 5.

Uvježbaj određivanje kvadrata prirodnih brojeva do 100 igrajući igru memorije.

Množenje pomoću modela površine

Promotrimo množenje dvoznamenkastog broja s jednoznamenkastim brojem pomoću modela površine pravokutnika.

Prisjetimo se pritom da površinu možemo shvatiti kao broj jediničnih kvadratića kojima možemo prekriti neki geometrijski lik.

Primjer 4.

Izračunajmo 52 · 4 .

Prvo prikažimo množenje modelom pravokutnika.

Broj 52 sastoji se od 5 desetica i 2 jedinice. Možemo ga stoga rastaviti na 5   D +  2   J , tj. 50 + 2 .

Pomnožimo li 50 s 4 dobit ćemo 200 , a pomnožimo li 2 s 4 dobit ćemo 8 . Stoga je ( 50 + 2 )   4 = 200 + 8 = 208 .

Množenje modelom pravokutnika
Veliki pravokutnik koji je podijeljen na dva manja. Iznad lijevog pravokutnika piše broj 50 i unutar njega je jednadžba 50x4=200. Iznad drugog pravokutnika je broj 2 i unutar njega je jednadžba 2x4=8. Desno od velikog pravokutnika nalazi se broj 4.

Primjer 5.

Pisanim putem pomnožimo brojeve 52 i 4 .

Pisano množenje
S D J · J
5 2 4
2 2 0 8
2 0 8
ili kraće
S D J · J
5 2 4
2 0 8

Zadatak 6.

Pomoću apleta modela površine istraži množenje troznamenkastog i jednoznamenkastog broja.

Primjer 6.

Izračunajmo umnožak 41 · 32 .  

Drugi faktor, broj 32 možemo rastaviti na 30 + 2 . Površina prvog pravokutnika jednaka je 41 · 30 = 1 230 , a drugoga 41 · 2 = 82 te je ukupna površina 1   312 (jer je 1   230 + 82 = 1   312 ).

Pravokutnici 41*32
Veliki pravokutnik koji se sastoji od dva manja. Iznad ljubičastog pravokutnika piše broj 30, lijevo od tog pravokutnika je broj 41, a ispod njega je jednadžba 41x30=. Iznad plavog pravokutnika piše broj 2, a desno od tog pravokutnika je jednadžba 41x2= .

Primjer 7.

Pisanim putem pomnožimo brojeve 41 i 32 .

Pisano množenje 41 · 32
  S     D     J      ·      D     J  
4 1 · 3 2
1 2 3 0
+ 8 2
1 3 1 2

Zadatak 7.

Dodatno uvježbaj množenje dvoznamenkastih brojeva koristeći se sljedećim apletom i modelom površine kao pomoći pri radu. Aplet drugi faktor rastavlja na dva pribrojnika, svaki od njih treba pomnožiti s prvim pribrojnikom, a zatim dobivene umnoške zbrojiti. Ako trebaš pomoć, odaberi mogućnost prikazivanja međukoraka.

Postupak množenja prirodnih brojeva

Promotrimo postupak množenja promatrajući mjesne vrijednosti.

Primjer 8.

Pomnožimo broj 402  s brojem 312 .

Višeznamenkaste brojeve množimo tako da prvi faktor prvo pomnožimo sa znamenkom najveće mjesne vrijednosti drugog faktora. U ovom slučaju znamenkom stotica, 3 . S obzirom na to da množimo s 3 stotice, zapravo množimo s brojem 300 te je umnožak 120   600 . Nakon toga prvi faktor množimo sa znamenkom desetica, što je u ovom slučaju 1.  Pomnožiti s 1 deseticom zapravo znači pomnožiti s 10 te je umnožak 4   020 . Konačno, prvi faktor množimo sa znamenkom jedinica. U ovom slučaju to je 2 te je umnožak 804 . Konačno, zbrajamo dobivene brojeve.

120   600 + 4   020 + 804 = 125   424

Primijeti, nule koje pišemo na kraju ne mijenjaju ukupan zbroj na pojedinoj mjesnoj vrijednosti te ih obično ne pišemo, već se u svakom sljedećem redu pomičemo za jedno mjesto udesno.

Pisano množenje 402 · 312
       T     S     D     J      ·      S     D     J  
4 0 2 · 3 1 2
1 2 0 6
4 0 2
+ 8 0 4
1 2 5 4 2 4

Zadatak 8.

Lanac zadataka i rješenja

Poredaj kartice po redu tako da rješenje prve kartice odgovara broju pri vrhu druge kartice, rješenje druge kartice odgovara broju pri vrhu treće kartice itd.

  • Rješenje prethodne kartice: 22   044
    Zadatak: 53 · 33  
  • Rješenje prethodne kartice: 14   271
    Zadatak: 32 · 74  
  • Rješenje prethodne kartice: 9   369
    Zadatak: 102 · 217  
  • Rješenje prethodne kartice: 1   749
    Zadatak: 71 · 201  
  • POČETNA KARTICA
    Zadatak: 56 · 103  
  • Rješenje prethodne kartice: 22   134
    Zadatak: 7 · 423  
  • Rješenje prethodne kartice: 2   961
    Zadatak: 44 · 501  
  • Rješenje prethodne kartice: 5   768
    Zadatak: 27 · 347  
null
null

Primjena množenja prirodnih brojeva

Zadatak 9.

Petrina mama želi prestati pušiti. Ako Petrina mama dnevno kupi jednu kutiju cigareta po cijeni od 27   kn , koliko će uštedjeti nakon:

a) tjedan dana

b) mjesec dana ( 30 dana)

c) godinu dana od prestanka pušenja?

a) 27 · 7 = 189   kn

b) 27 · 30 = 810   kn

c) 27 · 365 = 9   855   kn


Procjena

Ponekad nam nije potrebno precizno rješenje nego nam je procjena dovoljna. Procjena nam također pomaže pri provjeri smislenosti naših rješenja.

Primjer 9.

Robertina želi kupiti poklone za svoje poslovne prijatelje. Treba joj 28 poklona. Na polici dućana ugledala je poklon kakav je željela. Cijena jednog poklona iznosi 148   kn . Kako će Robertina procijeniti koliko ukupno treba platiti poklone? Objasni.

Robertina može cijenu poklona zaokružiti na 150   kn , a broj poklona na 30 . Tada jednostavno može izračunati umnožak tih dvaju brojeva. 150 · 30 = 4   500   Robertina će poklone za svoje poslovne partnere platiti oko 4   500   kn .


Zadatak 10.

Marino se bavi organizacijom vjenčanja. S klijentom je odabrao cvjetne aranžmane koji će biti postavljeni na svaki od 27 stolova. Cijena svakog takvog cvjetnog aranžmana iznosi 122   kn . Klijent ga je pitao kolika će biti približna ukupna cijena aranžmana koje trebaju naručiti za stolove. Koju procjenu Marino treba dati svojem klijentu? Objasni.

Marino može broj stolova zaokružiti na 30 , a cijenu aranžmana na 120   kn . Množenjem brojeva 30 i 120 dobit će 3   600 . Ukupna cijena aranžmana iznosit će približno 3   600   kn .


...i na kraju

Ako želiš, možeš dodatno uvježbati postupak množenja prirodnih brojeva pomoću sljedeće igrice. Pomnoži zadane brojeve te umnožak napiši na crtu.

Povratak na vrh