Matematika 4 - 6.7 Uvjetna vjerojatnost

Na početku...

Vjerojatnost da će padati kiša je $0.2 .$ Ako pada kiša, vjerojatnost da će Marko igrati nogomet je $0.15 .$ Ako ne pada kiša, vjerojatnost da će Marko igrati nogomet je $0.9 .$

Neka je događaj $A = \{pada kiša\}$ i događaj $B = \{Marko igra nogomet\} .$

Nacrtajte vjerojatnosno stablo za događaje $A$ i $B .$

Jesu li događaji $A$ i $B$ nezavisni?

Kolika je vjerojatnost da Marko ne igra nogomet ako pada kiša?

Očito događaji $A$ i $B$ nisu nezavisni, vjerojatnost da Marko igra nogomet ovisi o tome pada li kiša ili ne.

Vjerojatnost da Marko ne igra nogomet ako pada kiša je $0.85 .$

Definicija uvjetne vjerojatnosti

Vjerojatnost događaja $B$ uz uvjet da se dogodio događaj $A$ označavamo $p (B |A)$ i zovemo uvjetna vjerojatnost.

Označimo uvjetne vjerojatnosti na vjerojatnosnome stablu.

Množimo li duž grane vjerojatnosti za događaj $A$ i događaj $B$ dobivamo

$p (A) \cdot p (B |A) = p (A \cap B),$

odnosno

$p (B |A) = \frac{p (A \cap B)}{p (A)} .$

Neka su $A$ i $B$ proizvoljni događaji takvi da je $p (A) > 0 .$ Uvjetna vjerojatnost događaja $B$ uz uvjet da se ostvario događaj $A$ jest $p (B |A) = \frac{p (A \cap B)}{p (A)} .$

Primjene uvjetne vjerojatnosti

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer 1.

U posudi je $12$ zelenih i $10$ plavih kuglica. Na slučajan način izvlačimo dvije kuglice, jednu po jednu. Nacrtajmo vjerojatnosno stablo. Kolika je vjerojatnost da je druga izvučena kuglica plava ako je prva isto bila plava?

Moramo razlikovati dva slučaja.

1. Ako prvu kuglicu nakon izvlačenja vraćamo u posudu, onda su to dva nezavisna događaja.

$p (P |P) = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}$

2. Ako prvu kuglicu nakon izvlačenja ne vraćamo u posudu, onda u drugom izvlačenju imamo ukupno jednu kuglicu manje. Ako smo u prvom izvlačenju izvukli jednu plavu kuglicu, za drugo je izvlačenje preostalo $9$ plavih kuglica.

$p (P |P) = \frac{9}{21}$

Vjerojatnosno stablo - 1. slučaj

Vjerojatnosno stablo - 2. slučaj

U sljedećem ćemo primjeru primijeniti formulu.

Primjer 2.

U jednom je razredu od ukupno $28$ učenika njih $12$ dobilo odličan na maturi iz Matematike, a $9$ je dobilo odličan iz Matematike i Hrvatskog jezika. Kolika je vjerojatnost da je slučajno odabrani učenik toga razreda dobio odličan iz Hrvatskog jezika ako je poznato da je dobio odličan iz Matematike?

Označimo događaje:

$A = \{učenik je dobio odličan iz matematike\}$ i $B = \{učenik je dobio odličan iz hrvatskog jezika\} .$

Sada je po formuli za uvjetnu vjerojatnost:

$\begin{array}{l} p (B |A) = \frac{p (A \cap B)}{p (A)} = \frac{\frac{9}{28}}{\frac{12}{28}} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \end{array} .$

Za računanje uvjetne vjerojatnosti možemo se koristiti Vennovim dijagramima.

Primjer 3.

Sonja je istraživala postoji li veza između visine učenika i njihove ljubavi prema košarci. Anketirala je $60$ učenika, $24$ učenika su viša od $185 cm,$ $38$ učenika voli košarku, a $13$ je učenika niže od $185 cm$ i ne vole košarku.

Nacrtajmo Vennov dijagram.

Kolika je vjerojatnost da nasumice izabrani učenik voli košarku ako se zna da je viši od $185 cm ?$

Označimo događaje $A = \{učenik je viši od 185 cm\}$ i $B = \{učenik voli košarku\} .$

Neka je $x$ broj učenika koji su viši od $185 cm$ i voli košarku.

$card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$

$60 - 13 = 24 + 38 - x$

$x = 15$

Nacrtajmo Vennov dijagram.

Vjerojatnost da učenik voli košarku ako se zna da je viši od $185 cm$ iznosi

$p (B |A) = \frac{p (A \cap B)}{p (A)} = \frac{\frac{card (A \cap B)}{card (Ω)}}{\frac{card (A)}{card (Ω)}} = \frac{card (A \cap B)}{card (A)} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} .$

Zadatci s kockama

Zadatak 1.

Bacamo kocku. Kolika je vjerojatnost da je pao paran broj ako znamo da je pao broj manji od $5 ?$

$A = \{2,4,6\},$ $B = \{1,2,3,4\},$ $A \cap B = \{2,4\}$

$p (A |B) = \frac{p (A \cap B)}{p (B)} = \frac{\frac{2}{6}}{\frac{4}{6}} = \frac{1}{2}$

Zadatak 2.

Bacamo jednu kocku. Vjerojatnost da je pao broj

5

ako znamo da je pao broj veći od

4

iznosi

null

U sljedećim zadatcima s bacanjem dvije kocke upotrebljavate dani prikaz prostora elementarnih događaja.

$1,1$	$2,1$	$3,1$	$4,1$	$5,1$	$6,1$
$1,2$	$2,2$	$3,2$	$4,2$	$5,2$	$6,2$
$1,3$	$2,3$	$3,3$	$4,3$	$5,3$	$6,3$
$1,4$	$2,4$	$3,4$	$4,4$	$5,4$	$6,4$
$1,5$	$2,5$	$3,5$	$4,5$	$5,5$	$6,5$
$1,6$	$2,6$	$3,6$	$4,6$	$5,6$	$6,6$

Kolekcija zadataka #1

Bacamo dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da je zbroj brojeva na obje kocke jednak $8$ ako znamo da je na svakoj kocki pao najmanje broj $3 ?$

Neka je $A = \{zbroj brojeva je 8\}$ i $B = \{na obje kocke je pao najmanje broj 3\} .$

Iz prostora elementarnih događaja vidimo da za događaj $B$ ima $16$ povoljnih ishoda, od toga su $3$ povoljna za događaj $A .$

$p (A |B) = \frac{3}{16} .$

Bacamo dvije kocke. Vjerojatnost da je na obje kocke pala šestica ako znamo da su na obje kocke pali isti brojevi iznosi $\frac{5}{6} .$

\frac{1}{6}

null

Bacamo dvije kocke. Vjerojatnost da je na obje kocke pao najmanje broj $3$ ako znamo da je zbroj brojeva na obje kocke jednak $8$ iznosi $\frac{3}{5} .$

null

Bacamo dvije kocke. Vjerojatnost da je na jednoj kocki pao broj dvostruko veći od broja koji je pao na drugoj kocki ako je poznato da je na točno jednoj kocki pala šestica iznosi

null

Uvježbajte

Kolekcija zadataka #2

U jednome mjestu $82 %$ obiteljskih kuća ima garažu, a $65 %$ obiteljskih kuća ima garažu i veliki vrt. Kolika je vjerojatnost da nasumice odabrana kuća ima vrt ako se zna da ima garažu?

21%

43 %

79 %

Postupak:

$p (vrt |garaža) = \frac{0.65}{0.82} \approx 0.79$

U laboratoriju je prikupljeno $200$ uzoraka krvi od kojih je $90$ krvne grupe A, $80$ krvne grupe B i $30$ krvne grupe 0. Dva su uzorka krvi nasumice odabrana radi testiranja. Kolika je vjerojatnost da drugi uzorak nije krvne grupe B ako je poznato da je prvi uzorak krvne grupe B?

\frac{30}{199}

\frac{80}{199}

\frac{110}{199}

\frac{120}{199}

null

Provedena je anketa o navikama učenika vezana za ekologiju. U tablici su dani rezultati odgovora na pitanje "Zatvarate li vodu dok perete zube?"

	Da ( $D$ )	Ponekad ili ne ( $N$ )
Djevojke ( $A$ )	$56$	$32$
Mladići ( $B$ )	$73$	$89$

Kolika je vjerojatnost da slučajno odabrani učenik zatvara vodu dok pere zube ako je poznato da je odabrana djevojka?

Kolika je vjerojatnost da je slučajno odabrani učenik mladić ako je poznato da zatvara vodu dok pere zube?

$p (D |A) = \frac{56}{88} = \frac{7}{11}$

$p (B |D) = \frac{73}{129}$

U jednoj je gimnaziji $40 %$ djevojaka. Anketa je pokazala da su $5 %$ mladića i $2 %$ djevojaka ljevaci.

Koja je vjerojatnost da je nasumice izabrani učenik mladić ako se zna da je izabran ljevak?

$A = \{izabrani učenik je mladić\},$ $B = \{izabrani učenik je ljevak\}$

$p (A) = 0.6,$ $p (B) = 0.4 \cdot 0.02 + 0.6 \cdot 0.05 = 0.038$ (djevojka ljevak ili mladić ljevak)

$p (A |B) = \frac{0.6 \cdot 0.05}{0.038} = \frac{15}{19} .$

Bacamo tri simetrična novčića.

Vjerojatnost da

barem

ako je poznato da

barem

iznosi

\frac{4}{7} .

jedno pismo

su pala

je palo

dva pisma

null

...i na kraju

Monty Hall problem je poznat i kao problem s troja vrata:

U igranoj emisiji Let's Make a Deal nalaze se troja vrata. Iza jednih je vrata automobil, dok su iza preostalih dvoja vrata koze. Nakon što odaberete jedna vrata, otvaraju se jedna od preostalih vrata iza kojih je koza. Sada vam se daje mogućnost da se držite svog prvobitnog odabira ili se predomislite i odaberete druga vrata.

Što je vjerojatnije?

(a) Osvojiti automobil ako se držite prvobitnog odabira vrata?

(b) Osvojiti automobil ako promijenite svoje mišljenje i odaberete druga vrata?

Pogledajmo rješenje.