x
Učitavanje

1.4 Trigonometrijski oblik kompleksnog broja

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Udaljenost opasnosti
Dvije jednake slike prikazuju kako su locirane peraje morskog psa. Jedna lokacija je 40 metara istočno i 40 metara sjeverno, a druga - ravno 56,5 metara i pod kutom od 45 stupnjeva
Udaljenost opasnosti
Dvije jednake slike prikazuju kako su locirane peraje morskog psa. Jedna lokacija je 40 metara istočno i 40 metara sjeverno, a druga - ravno 56,5 metara i pod kutom od 45 stupnjeva

Položaj neke točke u ravnini možemo odrediti na različite načine. U Gaussovoj ili kompleksnoj ravnini kompleksne brojeve  z = x + y i prikazujemo točkama T kojima smo pridružili koordinate pravokutnoga koordinatnog sustava x , y .

Kao što smo vidjeli, položaj točke T možemo opisati i  pomoću drugih brojeva, a onda i kompleksni broj z zapisati u drukčijem obliku.

Pogledajmo kako.

Polarne koordinate

Primjer 1.

Broj z = 1 + 3 i prikazan ​je u kompleksnoj ravnini.

Broj z prikazan u kompleksnoj ravnini
Na slici je kompleksni broj u kompleksnoj ravnini

Udaljenost kompleksnog broja z od ishodišta je z =

 
. Tangens označenog kuta je
 
.
Položaj kompleksnog broja z određen je pravokutnim koordinatama
 
ili
 
.
z i kutom φ
2
1 , 3
tg φ = 3
null
null
Pravokutni koordinatni sustav
Na slici je kompleksni broj zadan kutom pi trećina i udaljenošću dva od ishodišta u kompleksnoj ravnini.

Zadatak 1.

Koje koordinate u pravokutnome koordinatnom sustavu ima točka z koja je od ishodišta udaljena za 2 , a dužina O z   zatvara s pozitivnim dijelom osi x kut od π 6 ? Odgovorite na sljedeća pitanja.

Pridružite koordinatama x  i y izraz s pomoću kojeg se mogu izračunati.

x =  
2 cos π 6
y =
2 sin π 6   ​
null

Označite koordinate točke z .

null
Pravokutni koordinatni sustav
Na slici je kompleksni broj zadan kutom četiri pi trećina i udaljenošću dva od ishodišta u kompleksnoj ravnini.

Zadatak 2.

U pravokutnome koordinatnom sustavu točka z je od ishodišta udaljena za 2 , a dužina O z zatvara s pozitivnim dijelom osi x kut od 4 π 3 .

a. Koji od sljedećih izraza računaju apscisu točke z ?

null
null

b. Koji od sljedećih izraza računaju ordinatu točke z ?

null
null

Polarne koordinate

Položaj točke T u ravnini možemo odrediti koristeći se brojevima r i φ , gdje je r = O T , njezina udaljenost od ishodišta, a φ je mjera kuta koji dužina O T ¯  zatvara s pozitivnim smjerom osi x i 0 φ < 2 π .

Brojeve r i φ nazivamo polarne koordinate točke T .

Zanimljivost

U fizici, mehanici, navigaciji i sličnim područjima često se koristi polarni koordinatni sustav. Sustav je određen jednim polupravcem (polarna os) koji ide iz ishodišta O (pol). Položaj točke  određuje se dvama brojevima r i φ koje nazivamo polarne koordinate.

Kao što smo vidjeli, r je udaljenost promatrane točke od ishodišta. φ  je mjera kuta (u stupnjevima ili radijanima) kojipolarna os opiše u pozitivnom smjeru do promatrane točke. Broj φ nazivamo  argument.

Polarni koordinatni sustav
Na slici je prikazan oblik polarnog koordinatnog sustava.

Trigonometrijski oblik

Kompleksni broj z zapisan u standardnom obliku je z = x + y i .

Kako ćemo zapisati kompleksni broj ako smo za njegov prikaz umjesto pravokutnih koordinata x , y upotrijebili polarne koordinate r i φ ?

Slično, kao u primjeru 1., promotrite pravokutni trokut na slici i riješite zadatak koji slijedi.

Pravokutni koordinatni sustav
U Gaussovoj ravnini je prikazan proizvoljan kompleksan broj z, s označenim argumentom fi i modulom r

Zadatak 3.

Uparite tako da dobijete točne jednakosti.

y =
r sin φ
x =  
x 2 + y 2   
x + y i =   ​
r cos φ + i r sin φ  
r = z =  
y x   
tg φ =   
r cos φ
null
null

Trigonometrijski oblik, polarni oblik, argument

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja z je ​

z = r ( cos φ + i sin φ ) , gdje je

r modul kompleksnog broja z , a φ argument kompleksnog broja z ,   φ 0,2 π .

Pišemo φ = arg z .

Taj se oblik još naziva i polarni oblik kompleksnog broja.

Ako je kompleksni broj zadan algebarski sa z = x + y i , tada r   i φ određujemo iz jednadžbi

r = x 2 + y 2 , tg φ = y x .

Zadatak 4.

Kompleksni brojevi su prikazani u trigonometrijskom obliku. Pridružite ih točkama označenima u koordinatnom sustavu.

z 1 = 2 cos 11 π 6 + i sin 11 π 6 , z 2 = 3 cos π 3 + i sin π 3 , z 3 = 2 cos 3 π 2 + i sin 3 π 2 , z 4 = 3 cos 0 + i sin 0 , z 5 = cos π 2 + i sin π 2 , z 6 = cos 4 π 3 + i sin 4 π 3 , z 7 = 2 cos π + i sin π , z 8 = 3 cos 3 π 4 + i sin 3 π 4
Povlačenje na sliku kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku
z 1  
z 2  
z 3  
z 4  
z 5  
z 6  
z 7  
z 8  
null

Pogledajmo na primjeru kako ćemo kompleksni broj, zadan u standardnom obliku, zapisati u trigonometrijskom obliku.

Zadatak 5.

Poredajte sljedeće korake prema redosljedu u postupku prikazivanja kompleksnog broja u trigonometrijskom obliku ako je z = - 2 - 2 i .

  • r = 4 + 4 = 2 2 ​i tg φ = - 2 - 2 = 1  
  • z = - 2 - 2 i   je u III. kvadrantu​
  • φ 0,2 π φ = π 4   i l i   φ = 5 π 4  
  • z = 2 2 cos 5 π 4 + i sin 5 π 4   
  • φ je u III. kvadrantu φ = 5 π 4
null

Zadatak 6.

  1. Broj ​ z = 3 - 4 i nalazi se u:

    null
    null
  2. Modul broja ​ z = 3 - 4 i je:

    null
    null
  3. Argument broja z = 3 - 4 i je:

    Postupak:

    φ = tg - 1 - 4 3 + 2 π = - 0.927295 + 2 π = 5.35589

  4. Trigonometrijski oblik broja ​ z = 3 - 4 i je:

Na koordinatnim osima

Primjer 2.

Odredite trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva z 1 = 2 i , z 2 = - i .

Kompleksni brojevi na y osi
U koordinatnom su sustavu prikazani brojevi 2i i -i.

z 1 = 2 cos π 2 + i sin π 2 , z 2 = cos 3 π 2 + i sin 3 π 2  


Primjer 3.

Odredite trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva z 1 = - 0.5 , z 2 = 2 .  

Kompleksni brojevi na x osi
U koordinatnom su sustavu prikazani realni brojevi -0.5 i 2.

z 1 = 0.5 cosπ+ i sin π , z 2 = 2 cos 0 + i sin 0


Zadatak 7.

Razvrstajte kompleksne brojeve prema njihovu argumentu u trigonometrijskom obliku.

z = 16

0

π 2

3 π 2

π

null
null
Kompleksni brojevi na koordinatnim osima
Poopćeni kompleksni brojevi koji su na koordinatnim osima, prikazani u trigonometrijskom obliku.

...i na kraju

Katkad se trigonometrijski ili polarni oblik kompleksnog broja zapisuje u Eulerovu obliku, odnosno kao

r ( cos φ + i sin φ ) = r e i φ s mjerom kuta φ u radijanima.

Ako tu uvrstimo r = 1 , φ = π , dobivamo jednakost

e i π + 1 = 0

koja povezuje pet važnih brojeva u matematici: e , i , π , 1 , 0 .

Zadatak 8.

U igri pamtilice tražite parove kompleksnih brojeva prikazanih u standardnom obliku i u polarnom obliku.

Povratak na vrh