Stacionarne točke

Za određivanje intervala monotonosti neke funkcije potrebne su nam točke u kojima derivacija te funkcije mijenja predznak. U prethodnom smo primjeru vidjeli da se to može dogoditi u točkama u kojima je derivacija funkcije jednaka $0 .$ No isto smo tako vidjeli da derivacija funkcije može biti $0$ i u točkama u kojima derivacija ne mijenja predznak, a funkcija nastavlja rasti ili padati.

Stacionarne točke

Za točke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli kažemo da su stacionarne točke.

Primjer 1.

Odredimo stacionarne točke funkcije $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$ . U kojima se od njih predznak derivacije mijenja, a u kojima se ne mijenja?

Prvo odredimo derivaciju funkcije.

$f^{'} (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2} = 15 x^{2} (x - 1) (x + 1)$

Stacionarne točke su nulišta derivacije, što su u ovom slučaju točke $x_{1} = - 1, x_{2} = 0, x_{3} = 1 .$

Iz tablice predznaka derivacije odredit ćemo u kojima se od njih predznak mijenja, a u kojima se ne mijenja.

$- \infty$		$- 1$		$0$		$1$		$\infty$

$f'$	$+$		$-$		$-$		$+$
$f$	$↗$		$↘$		$↘$		$↗$

Iz tablice vidimo da funkcija u stacionarnoj točki $x_{1} = - 1$ prelazi iz rastuće u padajuću, u točki $x_{3} = 1$ prelazi iz padajuće u rastuću, dok u točki $x_{2} = 0$ nastavlja padati.

Na slici je graf funkcije za koju ćemo računati stacionarne točke. — Stacionarne točke

Zadatak 1.

Neka je $f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 10 .$ Odgovorite na sljedeća pitanja vezana uz funkciju $f .$

Ekstremi

Ekstrem, prema latinskom extremum, znači: krajnja točka, krajnost, pretjeranost. Ljudska je priroda sklona pretjerivanju, krajnostima. Čovjek često traži nešto najmanje, najveće, najviše...

U matematici je ekstremna vrijednost sinonim za najmanju ili najveću vrijednost.

Na slici je prikaz penjača po stjenama kao asocijacija na ekstrem. — Ekstrem

Primjer 2.

Promotrimo graf funkcije $f .$ Što se događa s vrijednosti funkcije na nekom malom intervalu oko stacionarnih točaka $x_{1}$ i $x_{2}$ ? U kojoj točki na tom intervalu funkcija poprima ekstremnu vrijednost?

Ekstremi

Ako promatramo mali interval oko točke $x_{1},$ lijevo od točke $x_{1}$ funkcija $f$ raste, a desno od točke $x_{1}$ pada pa u točki $x_{1}$ funkcija poprima najveću vrijednost $(y_{1})$ na tom intervalu. Tu vrijednost zovemo lokalni maksimum.

Isto tako, ako promatramo mali interval oko točke $x_{2},$ lijevo od točke $x_{2}$ funkcija $f$ pada, a desno od točke $x_{2}$ raste pa u točki $x_{2}$ funkcija poprima najmanju vrijednost $(y_{2})$ na tom intervalu. Tu vrijednost zovemo lokalni minimum.

Ako je $x$

funkcije

f

u kojoj

f^{'}

mijenja predznak onda je točka

x

lokalnog ekstrema.
Ako derivacija

f^{'}

ne mijenja

u stacionarnoj točki

x,

tada

x

lokalnog ekstrema.

predznak

nije točka

točka

stacionarna točka

null

Lokalni maksimum;lokalni minimum

Neka je funkcija $f$ derivabilna na nekom intervalu oko točke $x = x_{0} .$

Točka $x_{0}$ je točka lokalnog maksimuma ako je $x_{0}$ stacionarna točka, odnosno $f^{'} (x_{0}) = 0$ i ako derivacija $f^{'}$ u točki $x_{0}$ mijenja predznak iz plus u minus. Broj $f (x_{0})$ je lokalni maksimum.

Točka $x_{0}$ je točka lokalnog minimuma ako je $x_{0}$ stacionarna točka, odnosno $f^{'} (x_{0}) = 0$ i ako derivacija $f^{'}$ u točki $x_{0}$ mijenja predznak iz minus u plus. Broj $f (x_{0})$ tada je lokalni minimum.

Primjer 3.

Odredimo lokalne ekstreme funkcije $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ i točke u kojima se postižu.

Derivacija dane funkcije je $f^{'} (x) =$

. Rješavanjem jednadžbe

dobivamo stacionarne točke

. U točki

x = - 1

f^{'}

mijenja predznak

, a u točki

x = 3

Stoga je u točki

x = - 1

, a u točki

x = 3

. Lokalni je maksimum jednak

, a lokalni je minimum jednak

.

f (3) = - 25

f (- 1) = 7

3 (x - 3) (x + 1) = 0

lokalni minimum

lokalni maksimum

3 x^{2} - 6 x - 9

iz plus u minus

iz minus u plus

x = - 1 i x = 3

null

Zadatak 2.

Neka je $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 2 .$

Derivacija funkcije je:

f^{'} (x) =

x^{3} +

x^{2} =

x^{2} (x +

) .

null

Popunite tablicu predznaka za $f^{'} .$

Stacionarne točke (od manje prema većoj) funkcije

f

su:

x =

i

x =

.

U točki

x =

funkcija

nema ekstrem, a u točki

x =

funkcija

ima lokalni minimum koji iznosi

y =

.

null

Zadatak 3.

a. Koja je od sljedećih tvrdnji točna za funkciju $f (x) = \frac{3}{x}$ ?

Funkcija ima stacionarnu točku.

Funkcija ima stacionarnu točku, ali nema ekstrem.

Funkcija nema stacionarnu točku, ali ima ekstrem.

Funkcija nema ni stacionarnu točku ni ekstrem.

null

Postupak:

$f^{'} (x) = - \frac{3}{x^{2}} \neq 0$ za sve realne brojeve iz domene funkcije $f .$ Stoga derivacija dane funkcije nema nultočke, odnosno nema stacionarne točke, a tada ne može imati ni ekstreme.

b. Koje su od sljedećih tvrdnji točne za funkciju $f (x) = 3 x^{5} + 5 x^{3} - 5 ?$

f^{'} (x) = 15 x^{4} + 15 x^{2}

Funkcija ima lokalni ekstrem.

Funkcija nema stacionarnu točku.

Funkcija ima jednu stacionarnu točku.

Funkcija je rastuća na cijeloj domeni.

null

Postupak:

Derivacija funkcije može se zapisati u obliku $f^{'} (x) = 15 x^{2} (x^{2} + 1),$ iz čega zaključujemo da je jedina stacionarna točka $x = 0 .$ No uočimo da derivacija, osim u nuli, uvijek ima pozitivan predznak pa je funkcija rastuća na cijeloj domeni i nema lokalnih ekstrema.

...i na kraju

Bilo bi dobro upamtiti...

Na ilustraciji je prikazan dijagram u kojem su navedene sve važne činjenice iz jedinice. — Dijagram

Procijenite svoje znanje

Nulišta prve derivacije zovemo

točke.

null

Neka je funkcija

f

derivabilna na nekom intervalu oko točke

x_{0} .

Ako je

x_{0}

točka lokalnog ekstrema, tada je

f^{'} (x) =

.

null

Ako $f^{'}$ u stacionarnoj točki $x_{0}$ mijenja predznak iz minus u plus, onda je $x_{0}$ točka lokalnog minimuma.

Da

Ne

Ako $f^{'}$ u stacionarnoj točki $x_{0}$ ne mijenja predznak, onda je $x_{0}$ točka lokalnog maksimuma.

Da

Ne

null

Koje su od sljedećih tvrdnji točne za $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 32 ?$

x = - 2, x = 2

stacionarne su točke funkcije

f .

x = - 2

točka je lokalnog minimuma, a

x = 2

točka lokalnog maksimuma.

x = - 2

točka je lokalnog maksimuma, a

x = 2

točka lokalnog minimuma.

Lokalni minimum je

0 .

Pomoć:

$f^{'} (x) = 6 (x - 2) (x + 2)$

Postupak:

Lokalni minimum je $- 64,$ a lokalni maksimum je $0 .$

Neka je $f (x) = \frac{x^{2} + x - 2}{x - 2} .$

Funkcija nije definirana za

.
Stacionarne su točke

.
Točka lokalnog minimuma i njegov iznos jesu

.
Točka lokalnog maksimuma i njegov iznos jesu

.

x = 2

x = 4,

f (4) = 9

x = 0,

f (0) = 1

x = 0

i

x = 4

Pomoć:

$f^{'} (x) = \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Funkcija $f$ raste na intervalu	$⟨3, \infty⟩ .$
Funkcija $f$ pada na intervalu	$⟨- \infty, 3⟩ .$

Lokalni maksimum iznosi	$- 6 .$
Lokalni minimum iznosi	$6 .$

Točka $x = - 1$	nije u domeni funkcije.
Točka $x = 1$	je točka lokalnog minimuma.

5.3 Stacionarne točke i ekstremi funkcije

Na početku...

Istražimo

Kolekcija zadataka #1

Stacionarne točke

Stacionarne točke

Primjer 1.

Zadatak 1.

Ekstremi

Primjer 2.

Lokalni maksimum;lokalni minimum

Primjer 3.

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Ekstremi racionalnih funkcija

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka #2

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: