Matematika 4 - Aktivnosti za samostalno učenje

$h^{'} (t) = \frac{1.9}{{(0.1 t + 1.1)}^{2}}$

$h^{'} (1.5) = \frac{1.9}{{(0.1 \cdot 1.5 + 1.1)}^{2}} \approx 1.22 m/god$

$h^{'} (10) = \frac{1.9}{{(0.1 \cdot 10 + 1.1)}^{2}} \approx 0.43 m/god$

$h^{'} (1.5)$ znači da alepski bor raste brzinom od $1.22$ metra godišnje godinu i pol dana nakon što je posađen, a $h^{'} (10)$ brzinom od $0.43$ metra godišnje deset godina nakon što je posađen.

Podsjetimo se: derivacija funkcije u nekoj točki predstavlja brzinu promjene te funkcije u toj točki.

Ako funkciju u maloj okolini oko te točke aproksimiramo pravcem, taj će pravac biti

grafa te funkcije. A koeficijent smjera pravca govori nam o

rasta/pada pa je

funkcije u nekoj točki jednaka

tangente na graf funkcije u toj točki.

brzini

derivacija

koeficijentu smjera

tangenta

null

Koliki je koeficijent smjera tangente na graf funkcije $f (x) = 3 x - 2 x^{2}$ u točki $T (- 1, y) ?$

- 5

- 2

3

7

null

Za koju će vrijednost realnog broja $a$ koeficijent smjera tangente na graf funkcije $g (x) = x^{3} + a x + 1$ u točki $T (2, 5)$ biti jednak $10 ?$

a = - 5

a = - 2

a = 3

a = 10

null

Koeficijent smjera tangente na graf funkcije $f (x) = 3 - x^{2}$ u točki $T (1, y)$ iznosi $2 ?$

- 2

null

Pravac s koeficijentom smjera $k = 20$ tangenta je na graf funkcije $g (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ u točki $P (2, 4) ?$

null

$30$ minuta je $0.5$ sati pa je $s (0.5) = 57 \cdot 0.5 + 20 = 48.5 km$ . Položaj automobila je $48.5 km$ u odnosu na početnu točku.
Trenutnu brzinu računamo kao derivaciju funkcije, točnije trebamo izračunati $s^{'} (0.25)$ i $s^{'} (0.5) .$ $s^{'} (t) = 57$ pa je $s^{'} (0.25) = s^{'} (0.5) = 57,$ što znači da je brzina automobila u oba trenutka jednaka $57 km/h .$

Po danoj je funkciji brzina automobila cijelo vrijeme $57 km/h$ , znači možemo zaključiti da se automobil giba jednoliko.

Kako se giba tijelo? Tijelo je

od 1. do 2. sekunde prešlo put
a od 4. do 5. sekunde
$s (5) - s (4) = 32 - 21 = 11 cm .$
$s (2) - s (1) = 5 - 0 = 5 cm,$

null

Trenutna brzina tijela u trenutku $t = 1$ iznosi

cm/s,

a u trenutku

t = 4

trenutna brzina tijela iznosi

cm/s .

null

$a (t) = v^{'} (t) = {(2 t + 2)}^{'} = 2 {cm/s}^{2}$

Tijelo se giba po pravcu. Funkcija $s$ opisuje položaj tijela, a funkcija $v$ opisuje brzinu tijela u odnosu na točku $O$ u trenutku $t,$ $t \geq 0 .$

Limes $\lim_{h \to 0} \frac{s (5 + h) - s (5)}{h}$ predstavlja

tijela

a limes

\lim_{h \to 0} \frac{v (3 + h) - v (3)}{h}

predstavlja

tijela

null

Čestica se giba po pravcu. Njezin položaj u odnosu na točku $O$ opisuje funkcija $s (t) = t^{3} - 2 t + 1 cm,$ pri čemu je $t, t \geq 0$ vrijeme u sekundama. Njezina trenutna brzina u trenutku $t = 3 s$ je $25 cm/s .$

null

Njezina trenutna akceleracija u trenutku $t = 5 s$ iznosi $25 {cm/s}^{2} .$

null

Tijelo se giba pravocrtno u odnosu na točku $O$ prema pravilu $s (t) = 12 t - t^{3} + 21 cm,$ $t \geq 0 .$ Koja od navedenih funkcija opisuje trenutnu brzinu tijela?

v (t) = 12 t - 3 t^{2}

v (t) = 12 - 3 t

v (t) = 12 - 6 t

v (t) = 12 - 3 t^{2}

null

Položaj nekog tijela koje se giba po pravcu opisuje funkcija $s (t) = 3 t^{3} - 2 t^{2} + 15 cm,$ pri čemu je $t \geq 0$ vrijeme u sekundama. Za koje će realne brojeve $p$ i $q$ funkcija $a (t) = p t + q$ opisivati akceleraciju tog tijela?

p = - 9,

q = - 4

p = 9,

q = 4

p = 18,

q = - 4

p = 18,

q = 4

null

Postupak:

$s (t) = 3 t^{3} - 2 t^{2} + 15$

$s^{'} (t) = 9 t^{2} - 4 t$

$s^{"} (t) = 18 t - 4$

Kutak za znatiželjne

Znate li kako se računalo prije nego što su postojala računala?

Izvođenje osnovnih računskih radnji relativno je jednostavno, međutim korjenovanje, a naročito računanje vrijednosti eksponencijalnih, logaritamskih i trigonometrijskih funkcija nemoguće je ako želimo dobiti točne rezultate. Zbog toga računamo približno, a teorijska osnova za približno računanje jesu derivacije. Pogledajmo.

Ne koristeći se računalom, izračunajmo približnu vrijednost $\sqrt{1.1} .$

U tu svrhu promotrimo funkciju $f (x) = \sqrt{x + 1} .$ Ona za $x = 0.1$ daje odgovor koji tražimo, $f (0.1) = \sqrt{1.1} .$ Za tu funkciju znamo izračunati $f (0) = 1$ bez računala. Primijetimo da dalje računamo $f (0.1),$ a $x = 0.1$ je blizu $x = 0$ za koji je poznata vrijednost funkcije $f .$

Funkciju $f$ ćemo aproksimirati linearnom funkcijom $P_{1} (x) = a + b x$ koja prolazi točkom $(0, 1)$ i najbolje se "priljubljuje" grafu funkcije $f .$ To je očito tangenta na graf funkcije u točki $(0, 1) .$ Jednadžbu tangente znamo odrediti, njezin koeficijent smjera (vodeći koeficijent $b$ u pravilu pridruživanja funkcije) jednak je derivaciji u zadanoj točki

$f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} \Rightarrow f^{'} (0) = \frac{1}{2} .$

Provjerite sami da je $P_{1} (x) = 1 + 0.5 x .$

Sada ćemo lagano izračunati $\sqrt{1.1} = f (0.1) \approx P_{1} (0.1) = 1.05 .$

Slično možemo nastaviti i dalje, odredit ćemo kvadratnu funkciju koja će najbolje aproksimirati funkciju $f .$

Razumno je definirati kvadratnu aproksimaciju funkcije $f$ kao kvadratnu funkciju $P_{2} (x) = a + b x + c x^{2}$ za koju je $P_{2} (0) = f (0),$ ${P_{2}}^{'} (0) = f^{'} (0)$ i ${P_{2}}^{''} (0) = f^{''} (0) .$

Kolika je sada približna vrijednost $\sqrt{1.1} ?$

$P_{2} (x) = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} .$

$\sqrt{1.1} = f (0.1) \approx P_{2} (0.1) = 1.04875 .$

Protočno područje aorte krug je površine $P = {(r - h)}^{2} π .$ Uvrštavanjem danih podataka dobivamo funkciju

$P (t) = {(1 - \frac{0.1 t^{2}}{t^{2} + 10})}^{2} π .$

Sređivanjem i kvadriranjem izraza slijedi

$P (t) = \frac{0.81 t^{4} + 18 t^{2} + 100}{t^{4} + 20 t^{2} + 100} π .$

Funkciju $P$ deriviramo:

$\begin{array}{l} P^{'} (t) = \frac{(3.24 t^{3} + 36 t) (t^{4} + 20 t^{2} + 100) - (0.81 t^{4} + 18 t^{2} + 100) (4 t^{3} + 40 t)}{{(t^{2} + 10)}^{4}} π \end{array} .$

Uvrstimo $t = 4$ pa je $P^{'} (t) \approx - 0.0698 {cm}^{2} / god,$ odnosno protočno područje aorte za $4$ godine smanjivat će se brzinom od $0.0698 {cm}^{2}$ godišnje.

4.5 Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Tangenta na graf funkcije

Kolekcija zadataka #1

Položaj, brzina i akceleracija

Primjer 1.

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #2

Kutak za znatiželjne

...i na kraju