Pojmovnik

Niz brojeva $\left(a_n\right)$ je aritmetički niz ako postoji realni broj $d$ takav da je $a_n-a_{n-1}=d$, za $n\ge 2$. Broj $d$   nazivamo razlika ili diferencija. $\mathrm{<!--StartFragment-->}$

Limes niza $a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ nazivamo $e$.

$\underset{n\to \infty }{\lim }={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$

Funkcija koja svakoj točki $x$ iz nekog intervala pridruži derivaciju funkcije $f$ u toj točki zove se derivacija funkcije $f$.

:Kažemo da je derivacija funkcije $f$ u točki $x\in D\left(f\right)$ broj $\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}$ ako taj limes postoji. Pišemo:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆f}{∆x}=\underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}$.

Za funkciju kažemo da je derivabilna u točki $x$ ako ima derivaciju u $x$. Funkcija je derivabilna na intervalu $⟨a,b⟩$ ako je derivabilna u svakoj točki tog intervala.

Za derivabilne funkcije $f$ i $g$, $g\ne 0$ vrijedi ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\text{'}}=\frac{f^{\text{'}}g-f{g}^{\text{'}}}{g^2}$.

Za derivabilne funkcije $f$ i $g$ vrijedi ${\left(f·g\right)}^{\text{'}}=f^{\text{'}}g+f{g}^{\text{'}}$.  

Za derivabilne funkcije $f$ i $g$ vrijedi ${\left(f+g\right)}^{\text{'}}=f^{\text{'}}+g^{\text{'}}$.

Funkciju $f:\mathbf{R}\to {\mathbf{R}}^{+}$ s pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=a^x,a>0,a\ne 1$ zovemo eksponencijalna funkcija.

Funkciju $g:{\mathbf{R}}^{\mathrm{+}}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja $g\left(x\right)={\log }_{a}x,a>0,a\ne 1$ zovemo logaritamska funkcija.

Neka su​ $D$ i $K$ dva neprazna skupa. Funkcija sa skupa $D$ u skup $K$ pravilo je koje svakom elementu skupa ​ $D$ pridružuje jedan i samo jedan element skupa $K$.

Funkciju označavamo $f:D\to K$ i čitamo $f$ s  $D$ u $K$.

Skup​ $D$ zovemo domena ili područje definicije funkcije, skup $K$ kodomena ili područje vrijednosti funkcije, a $f$ pravilo pridruživanja.

Elemente domene $x$ kojima pridružujemo zovemo argumenti funkcije ili nezavisne varijable, a pridružene elemente kodomene $y$ zovemo vrijednosti funkcije ili zavisne varijable. Pišemo  $y=f\left(x\right)$, odnosno $x\mapsto f\left(x\right)$.

Funkciju $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\left|x\right|$ zovemo funkcija apsolutne vrijednosti.

Funkciju $f:{\mathbf{R}}_0^{+}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ zovemo funkcija drugog korijena.

Gaussova ili kompleksna ravnina je ravnina u kojoj prikazujemo kompleksne brojeve. Realni dio kompleksnog broja prikazujemo na osi apscisa, a imaginarni dio na osi ordinata.

Za niz $\left(a_n\right)$ u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak umnošku prethodnog člana i konstante $q\ne 0$ kažemo da je geometrijski niz. Pišemo

$a_n=a_{n-1}·q$, $n\in \mathbf{N}$, $n>1$.

Kvocijent svakog člana geometrijskog niza i člana neposredno ispred je konstantan i jednak $q$. Pišemo

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=...=\frac{a_n}{a_{n-1}}$, $n>1$.

Za konstantu $q$ kažemo da je količnik ili kvocijent geometrijskog niza.

Broj $i$ sa svojstvom da je $i^2=-1$ zove se imaginarna jedinica .

Broj oblika $bi$ gdje je $b$ realan broj različit od $0$, a $i$ je imaginarna jedinica sa svojstvom da je $i^2=-1$ zove se  imaginarni broj .

Jednadžba tangente na graf funkcije $f$ u točki $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ je $y-f\left(x_1\right)=f^{\text{'}}\left(x_1\right)\left(x-x_1\right)$.

Dva su kompleksna broja $z_1=a+bi$ i $z_2=c+di$ jednaka ako i samo ako su im jednaki realni dijelovi i jednaki imaginarni dijelovi, odnosno

$z_1=z_2\iff a=c$, $b=d$.

Jednostavni kamatni račun primjenjujemo kad se kamate računaju na nepromijenjeni iznos glavnice. Kamate računamo po formuli:

$k=Cpt$

pri čemu je $C$ iznos glavnice, $p$ godišnja kamatna stopa,  $t$ vrijeme u godinama, a $k$ iznos kamata.

Neka je $\text{Ω}$ konačni prostor elementarnih događaja i neka su svi elementarni događaji jednako mogući. Neka je $A\subset \text{Ω}$ događaj. Omjer broja elementarnih događaja povoljnih za $A$ i ukupnog broja elementarnih događaja zovemo vjerojatnost događaja $A$.

$p\left(A\right)=\frac{\text{card}\left(A\right)}{\text{card}\left(\mathrm{\Omega }\right)}$ 

Kompleksni broj je broj koji ima oblik $z=a+bi$, gdje su $a$ i $b$ realni brojevi, a $i$ je imaginarna jedinica, $i^2=-1$.

Broj $a$ nazivamo realni dio kompleksnog broja $z$ i označujemo $\mathrm{Re}z$.

Broj $b$ nazivamo imaginarni dio kompleksnog broja $z$ i označujemo $\mathrm{Im}z$.

Kompleksne brojeve čiji su realni dijelovi jednaki i imaginarni dijelovi suprotnog predznaka nazivamo konjugirano kompleksni brojevi. Označujemo ih sa $z$ i $\bar{z}$.

Ako je $z=a+bi$, onda je $\bar{z}$ $=a-bi$.

U Gaussovoj su ravnini prikazani točkama koje su simetrične s obzirom na os apscisa.

Za realni broj $L$ kažemo da je limes funkcije $f$ u beskonačnosti ako za svaki interval oko $L$ postoji realni broj $M$ takav da vrijednosti funkcije $f\left(x\right)$ pripadaju zadanom intervalu za sve brojeve $x$ veće od $M$.

Pišemo $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=L$.

Za realni broj $L$ kažemo da je limes funkcije $f$ u točki $c$ ako za svaki interval $l$ oko $L$ postoji interval $k$ oko $c$ koji se cijeli, osim možda točke  $c$, preslikava u interval $l$.

Za realni broj $L$ kažemo da je limes ili granična vrijednost niza ( $a_n$) realnih brojeva ako se izvan svakog, po volji malog, intervala oko broja $L$ nalazi samo konačno mnogo članova tog niza.

Zapisujemo $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L$ i čitamo "limes niza $a_n$ kad $n$ teži u beskonačnost je $L$".

Kažemo još da niz ( $a_n$) teži ili konvergira prema $L$ kad $n$ teži u beskonačnost.

Za niz brojeva koji ima limes kažemo da je konvergentan.

Ako niz brojeva nema limes, kažemo da je divergentan.

Neka je funkcija $f$ derivabilna na nekom intervalu oko točke $x=x_0$.

Točka $x_0$ je točka lokalnog maksimuma ako je  $x_0$  stacionarna točka, odnosno $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=0$ i ako derivacija $f^{\text{'}}$ u točki $x_0$ mijenja predznak iz plus u minus. Broj $f\left(x_0\right)$ je lokalni maksimum.

Točka $x_0$ je točka lokalnog minimuma ako je  $x_0$  stacionarna točka, odnosno $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=0$ i ako derivacija $f^{\text{'}}$ u točki $x_0$ mijenja predznak iz minus u plus. Broj $f\left(x_0\right)$ tada je lokalni minimum.

Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja je udaljenosti tog broja od ishodišta u Gaussovoj ravnini. Označuje se sa $\left|z\right|$.

Kažemo da je funkcija $f$ rastuća na nekom intervalu $I$ iz njezine domene ako za sve $x_1,x_2$ iz tog intervala takve da je $x_1<x_2$ vrijedi da je $f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$.

Kažemo da je funkcija $f$ padajuća na nekom intervalu $I$ iz njezine domene ako za sve $x_1,x_2$ iz tog intervala takve da je $x_1<x_2$ vrijedi da je $f\left(x_1\right)\ge f\left(x_2\right)$.

Zajedničkim se imenom rastuće, odnosno padajuće funkcije zovu monotone funkcije.

Neka je funkcija $f$ derivabilna na intervalu $I$.

Funkcija $f$ rastuća je na intervalu $I$ ako i samo ako je $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0$ za svaki $x\in I$.

Funkcija $f$ padajuća je na intervalu $I$ ako i samo ako je $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0$ za svaki $x\in I$.

Za funkciju $f$ kažemo da je neparna ako je za svaki $x$ iz domene funkcije $f$ i $-x$ u domeni i vrijedi $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ .

Za funkciju $f$ kažemo da je neprekidna u točki $c$ ako vrijedi

1. Funkcija $f$ definirana je u točki $c$.
2. Postoji $\underset{x\to c}{\lim }f\left(x\right)$.
3. $\underset{x\to c}{\lim }f\left(x\right)=f\left(c\right)$.

Funkcija je neprekidna ako je neprekidna u svakoj točki domene.

Za događaje $A$ i $B$ kažemo da su nezavisni ako vrijedi $p\left(A\cap B\right)=p\left(A\right)·p\left(B\right)$.

Funkciju $a\mathrm{:}\mathbf{N}\to \mathbf{R}$ zovemo niz realnih brojeva.

Broj $a\left(1\right)$ prvi je član niza. Označavamo ga kraće $a_1$.

Broj $a\left(2\right)$ drugi je član niza. Označavamo ga kraće $a_2$.

Broj $a\left(n\right)$ $n$-ti je član niza. Označavamo ga kraće $a_n$ i zovemo opći član niza.

Niz $a$ označavamo $\left(a_n\right),n\in \mathbf{N}$.

Za funkciju $f$ kažemo da je omeđena ili ograničena ako postoje realni brojevi $m$ i $M$ takvi da je $m\le f\left(x\right)\le M$ za sve brojeve  $x$ iz domene funkcije $f$.

Broj $m$ je donja međa, a broj $M$ je gornja međa.

Ako takvi brojevi ne postoje, funkcija je neomeđena.

Kažemo da je niz  $\left(a_n\right)$ omeđen ako postoje realni brojevi $m$ i $M$ tako da za sve članove niza vrijedi $m\le a_n\le M$.

Kažemo da je funkcija $f$ omeđena odozdo ako postoji $m\in \mathbf{\text{R}}$ tako da je $f\left(x\right)\ge m$ za sve brojeve $x$ iz domene funkcije $f$.

Kažemo da je funkcija $f$ omeđena odozgo ako postoji $M\in \mathbf{\text{R}}$ tako da je $f\left(x\right)\le M$ za sve brojeve $x$ iz domene funkcije $f$.

Opći član geometrijskog niza ima oblik $a_n=a_1·q^{n-1}$, $n\ge 1$ .

Za funkciju $f$ kažemo da je parna ako je za svaki $x$ iz domene funkcije $f$ i $-x$ u domeni i vrijedi $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

Za funkciju $f$ kažemo da je periodična s periodom $T>0$ ako je za svaki $x$ iz domene funkcije $f$ i $x+T$ u domeni i vrijedi $f\left(x+T\right)=f\left(x\right)$.

Najmanji broj $T$ (ako postoji) zove se temeljni period funkcije $f$.

Položaj točke $T$ u ravnini možemo odrediti koristeći se brojevima $r$ i $\phi$, gdje je $r=\left|OT\right|$, njezina udaljenost od ishodišta, a $\phi$ je mjera kuta koji dužina $\stackrel{}{}$ $\stackrel{}{}$ $\overline{OT}$ zatvara s pozitivnim smjerom osi $x$ i $0\le \phi <2\pi$.

Brojeve $r$ i $\phi$ nazivamo polarne koordinate točke $T$.

Funkciju $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=ax+b,a,b\in \mathbf{R},a\ne 0$ zovemo linearna funkcija ili polinom prvog stupnja.

Funkciju $g:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja $g\left(x\right)=a{x}^2+bx+c,a,b,c\in \mathbf{R},a\ne 0$ zovemo kvadratna funkcija ili polinom drugog stupnja.

Funkciju $h:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja $h\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0,a_n,...,a_0\in \mathbf{R},a_n\ne 0$ zovemo polinom $n-$tog stupnja.

Ako se računanje vjerojatnosti temelji na slučajnosti i idealnim uvjetima izvođenja pokusa, tako da možemo pretpostaviti da je svaki od ishoda pokusa jednako moguć, onda govorimo o teorijskoj vjerojatnosti.

Za pokus kod kojeg ne znamo unaprijed koji će se od mogućih ishoda pojaviti, kažemo da je slučajni pokus, a njegove ishode zovemo elementarni događaji.

Skup svih elementarnih događaja slučajnog pokusa zovemo prostor elementarnih događaja i označavamo s $\mathrm{\Omega }$. Svaki njegov podskup zovemo događaj.

Funkciju $f:\mathbf{R\backslash }\left\{\mathbf{0}\right\}\to \mathbf{R}$ s pravilom pridruživanja $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ zovemo racionalna funkcija.

Kažemo da je niz $a$ zadan rekurzivno ako je zadano nekoliko prvih članova i pravilo po kojemu se $a_n$ računa pomoću nekoliko prethodnih članova niza.

Skup kompleksnih brojeva je skup $\mathbf{C}=\left\{a+bi:a,b\in \mathbf{R},i^2=-1\right\}$.

Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus definirane su na skupu $\mathbf{R}$

$\sin :\mathbf{R\to R}$, $\cos :\mathbf{R\to R}$. Slika je funkcije sinus i kosinus interval $\left[-\mathrm{1,1}\right]$.

Trigonometrijska funkcija tangens nije definirana za brojeve oblika $\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$

$\mathrm{tg}:\mathbf{R}\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}\mathbf{\to }\mathbf{R}$. Slika funkcije tangens je skup $\mathbf{R}$.

Za točke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli kažemo da su stacionarne točke.

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja $z$ je ​

$z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, gdje je

$r$ modul kompleksnog broja $z$, a $\phi$ argument kompleksnog broja $z$,  $\phi \in \left[\mathrm{0,2}\pi \right.⟩$.

Pišemo $\phi =\arg \left(z\right)$.

Taj se oblik još naziva i polarni oblik kompleksnog broja.

Ako je kompleksni broj zadan algebarski sa $z=x+yi$, tada $r$  i $\phi$ određujemo iz jednadžbi

$r=\sqrt{x^2+y^2}$, $\mathrm{tg}\phi \mathrm{=}\frac{y}{x}$.

Umnožak kompleksnih brojeva ​ $z=a+bi$ i $w=c+di$ je kompleksni broj

$z·w=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i$ .

Vjerojatnost komplementa računamo kao $p\left(\stackrel{-}{A}\right)=1-p\left(A\right)$.

Za proizvoljne skupove $A$ i $B$ vjerojatnost unije računamo kao $\begin{array}{l}p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cap B\right)\end{array}$.

Ako je $A\cap B=\varnothing$, onda vrijedi $p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)$.

Zbroj kompleksnih brojeva ​ $z=a+bi$ i $w=c+di$ je kompleksni broj

$z+w=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i$.

Zbroj prvih $n$ članova geometrijskog niza kojemu je prvi član $a_1$ i kvocijent $q$ jednak je

$S_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+...+a_1{q}^{n-1}=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$, $q\ne 1$.