Matematika 4 - 2.6 Kamatni račun

Jednostavni kamatni račun

Prisjetite se jednostavnog kamatnog računa. Koji su pojmovi vezani uz jednostavni kamatni račun? Riješite zadatke.

Kolekcija zadataka #1

Formula za računanje kamata pri jednostavnom kamatnom računu je $k = C p t,$ pri čemu je

$C$
$p$
$t$
$k$

null

Roditelji su svojoj djeci Marku, Maji i Janku posudili po

500

kn i dogovorili godišnju kamatnu stopu od

11 % .

Marko je dug vratio nakon godinu dana pa je platio

k = C p t = 500 \cdot 0.11 \cdot 1 = 55

kn kamata. Maja je dug vratila nakon dvije godine i platila

k = C p t = 500 \cdot 0.11 \cdot 2 = 110

kamata. Janko je dug vratio za mjesec dana pa je platio samo

k = C p t = 500 \cdot 0.11 \cdot \frac{1}{12} = 4.58

kamata.

Pomoć:

Kamatnu stopu treba uvrstiti kao decimalni broj: $11 % = 0.11 .$

Vrijeme treba uvrstiti u godinama. Jedan mjesec je $\frac{1}{12}$ godine.

null

Godišnja kamatna stopa za prekoračenje na tekućem računu iznosi

9.4 % .

Iva je bila

2 500

kn u minusu od 1. 1. 2019. do 15. 3. 2019. pa je platila

kamata.

Pomoć:

Jedan dan je $\frac{1}{360}$ godine. U promatranom je razdoblju bilo $74$ dana.

null

Jednostavni kamatni račun

Jednostavni kamatni račun primjenjujemo kad se kamate računaju na nepromijenjeni iznos glavnice. Kamate računamo po formuli:

$k = C p t$

pri čemu je $C$ iznos glavnice, $p$ godišnja kamatna stopa, $t$ vrijeme u godinama, a $k$ iznos kamata.

Složeni kamatni račun

Istražimo

Tena je oročila $10 000$ kn na rok od $5$ godina uz kamatnu stopu od $10 % .$ Kamate se na oročenu štednju svake godine obračunavaju i dodaju na glavnicu. Koliko će novca Tena imati na računu nakon pet godina? Riješite zadatke.

Kolekcija zadataka #2

Iznos kamata računamo formulom $k = C p t .$

Kamate nakon jedne godine iznose

\cdot

\cdot

=

kn.

10 000

1

1 000

0.1

Pomoć:

Uvrstite vrijednosti redom onako kako su zapisane u formuli.

null

Dodajmo kamate na glavnicu. Nakon jedne godine Tena će imati

C_{1} =

kn.

null

Druge će godine glavnica iznositi $C_{1} = 11 000$ pa je iznos kamata koje će Tena dobiti druge godine

\cdot

\cdot

=

kn.

1 100

1

11 000

0.1

null

Dodajmo kamate na glavnicu. Nakon druge godine Tena će imati

C_{2} =

kn.

null

Nakon treće godine Tena će imati $C_{3} =$

+ 12 100 \cdot

kn.

12 100

0.1

13 310

null

Nakon četvrte godine Tena će imati $C_{4} =$

+ C_{3} \cdot

= C_{3} \cdot

= 13 310 \cdot 1.1 =

kn.

1.1

14 641

C_{3}

0.1

null

Nakon pete godine Tena će imati $C_{5} =$

+ C_{4} \cdot

= C_{4} \cdot

= 14 641 \cdot 1.1 =

kn.

C_{4}

16 105.1

0.1

1.1

null

Primjer 1.

Iznos od $10 000$ kn oročen je na rok od $5$ godina uz kamatnu stopu od $10 % .$ U prethodnom smo zadatku izračunali iznose na računu za svaku godinu te tako dobili iznos koji će biti na računu nakon pet godina. Možemo li računati brže?

Pogledajmo.

Označimo početni iznos s $C_{0},$ a s $C_{n}$ iznos na računu nakon $n$ godina.

$C_{1} = C_{0} + C_{0} \cdot 0.1 = C_{0} \cdot 1.1$

$C_{2} = C_{1} + C_{1} \cdot 0.1 = C_{1} \cdot 1.1 = C_{0} \cdot 1.1 \cdot 1.1 = C_{0} \cdot {1.1}^{2}$

$C_{3} = C_{2} + C_{2} \cdot 0.1 = C_{2} \cdot 1.1 = C_{0} \cdot {1.1}^{2} \cdot 1.1 = C_{0} \cdot {1.1}^{3}$

$C_{4} = C_{3} + C_{3} \cdot 0.1 = C_{3} \cdot 1.1 = C_{0} \cdot {1.1}^{3} \cdot 1.1 = C_{0} \cdot {1.1}^{4}$

$C_{5} = C_{4} + C_{4} \cdot 0.1 = C_{4} \cdot 1.1 = C_{0} \cdot {1.1}^{4} \cdot 1.1 = C_{0} \cdot {1.1}^{5} .$

Izračunajte iznos na računu nakon pet godina koristeći se formulom $C_{5} = C_{0} \cdot {1.1}^{5} .$ Jeste li dobili istu vrijednost kao u prethodnom zadatku? Što možete reći o nizu brojeva $C_{0}, C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{5} ?$

Dobivamo istu vrijednost na oba načina. Niz brojeva je geometrijski s kvocijentom $1.1 .$

Provedimo ovaj postupak općenito. Označimo:

$C_{0}$ – početni iznos

$p$ – godišnja kamatna stopa

$n$ – vrijeme u godinama

$C_{n}$ – iznos nakon $n$ godina.

Neka se kamate obračunavaju po složenom kamatnom računu uz godišnju kamatnu stopu $p$ izraženu u postotcima. Početni iznos $C_{0}$ nakon $n$ godina narast će na iznos $C_{n} = C_{0} {(1 + p)}^{n} .$

Primjer 2.

Izračunajmo na koji će iznos narasti iznos od $100 000$ kn na kraju osme godine i kolike su ukupne kamate ako je godišnja kamatna stopa $3 %,$ a obračun kamata godišnji. Koji su podatci zadani? Zadan je početni iznos $C_{0} = 100 000,$ $n = 8,$ $p = 3 % = 0.03 .$

Treba izračunati $C_{8} :$

$C_{8} = C_{0} {(1 + p)}^{8} = 100 000 {(1 + 0.03)}^{8}$

$C_{8} = 100 000 \cdot {1.03}^{8} = 126 677.01$ kn.

Ukupne su kamate razlika između iznosa na kraju osme godine i početnog iznosa:

$126 677.01 - 100 000 = 26 677.01$ kn.

Zadatak 1.

Vratimo se na uvodni primjer koji sada znamo riješiti.

Roditelji žele oročiti $50 000$ kn dječje štednje na rok od $7$ godina. Banka nudi kamatnu stopu od $1.04 %,$ a račun kamata je složen. Koliko će novca biti na računu nakon $7$ godina?

$C_{7} = C_{0} {(1 + p)}^{7} = 50 000 \cdot {1.0104}^{7} = 53 755.56$ kn

Riješite zadatke.

Kolekcija zadataka #3

Iznos od $70 000$ kn oročen je na $10$ godina. Obračun kamata je složen uz kamatnu stopu od $1.5 % .$ Uparite odgovarajuće elemente.

$C_{0}$
$n$
$p$

null

Iznos od $70 000$ kn oročen je na $10$ godina. Obračun kamata je složen uz kamatnu stopu od $1.5 % .$ Kojim će se iznosom raspolagati nakon $10$ godina?

80 500

81 237.86

283 189.04

null

Zadatak 2.

Marko je uštedio $30 000$ kn i želi kupiti električni bicikl. Cijena bicikla je $40 000$ kn. Pronašao je banku koja za oročenu štednju nudi kamatnu stopu od $2 % .$ Na koliko bi godina morao oročiti svoju ušteđevinu?

$40 000 = 30 000 \cdot {1.02}^{n}$

${1.02}^{n} = \frac{4}{3}$

$n = \log_{1.02} \frac{4}{3} = 14.53$

Ušteđevinu bi morao oročiti na $15$ godina.

Zadatak 3.

Prepišite tablicu u bilježnicu, izračunajte vrijednosti koje nedostaju pa ih upišite u tablicu u bilježnici.

$C_{0}$	$p$	$n$
$2 000$	$3 %$	$15$
$4 000$	$3 %$	$15$
$2 000$	$6 %$	$15$
$2 000$	$3 %$	$30$

Što možete zaključiti na osnovi dobivenih vrijednosti u tablici?

$C_{0}$	$p$	$n$	$C_{n}$	Ukupne kamate
$2 000$	$3 %$	$15$	$3 115.93$	$1 115.93$
$4 000$	$3 %$	$15$	$6 231.87$	$2 231.87$
$2 000$	$6 %$	$15$	$4793.12$	$2 793.12$
$2 000$	$3 %$	$30$	$4 854.52$	$2 854.52$

Višestruko pripisivanje kamate

U prethodnim se primjerima godišnja kamatna stopa pripisivala jedanput godišnje. Koristili smo se formulom za računanje iznosa nakon $n$ godina: $C_{n} = C_{0} {(1 + p)}^{n} .$ Pripisivanje kamate može biti i polugodišnje, kvartalno ili mjesečno. U tom slučaju možemo se koristiti formulom $C_{n} = C_{0} {(1 + \frac{p}{k})}^{n k}$ u kojoj je $k$ godišnji broj pripisivanja kamate, a godišnja kamatna stopa $p$ svedena je na odgovarajuću polugodišnju, kvartalnu ili mjesečnu. Pogledajmo na primjeru.

Zadatak 4.

Iznos od $1 000$ kn uložen je na $10$ godina uz godišnju kamatnu stopu od $6 %$ i složeni kamatni račun. Riješite zadatke.

Kolekcija zadataka #4

a. Kamate se pripisuju godišnje. Tada je:

C_{0} =

\frac{p}{k} =

k = 1, \frac{p}{k} = 6 % = 0.06

n k =

Kamata se pripisuje jednom godišnje pa će ukupno biti deset pripisivanja.

C_{10} =

null

b. Kamate se pripisuju polugodišnje. Tada je:

C_{0} =

\frac{p}{k} =

Računamo polugodišnju kamatnu stopu, dva su pripisivanja kamata pa je:

k = 2,

p = \frac{6 %}{2} = 0.03 .

n k =

U jednoj su godini dva pripisivanja pa će ih u deset godina biti dvadeset.

C_{10} =

null

c. Kamate se pripisuju kvartalno. Tada je:

C_{0} =

\frac{p}{k} =

Računamo kvartalnu kamatnu stopu, u jednoj su godini četiri pripisivanja pa je:

k = 4,

\frac{p}{k} = \frac{6 %}{4} = 0.015 .

n k =

U jednoj su godini četiri pripisivanja kamata pa ih je u deset godina ukupno četrdeset.

C_{10} =

null

d. Kamate se pripisuju mjesečno. Tada je:

C_{0} =

\frac{p}{k} =

Računamo mjesečnu kamatnu stopu, godišnje je dvanaest ukamaćivanja pa je:

k = 12,

\frac{p}{k} = \frac{6 %}{12} = 0.005 .

n k =

U jednoj se godini dvanaest puta pripisuju kamate pa je u deset godina ukupno

120

pripisivanja.

C_{10} =

null

2.6 Kamatni račun

Na početku...

Jednostavni kamatni račun

Kolekcija zadataka #1

Jednostavni kamatni račun

Složeni kamatni račun

Istražimo

Kolekcija zadataka #2

Primjer 1.

Primjer 2.

Zadatak 1.

Kolekcija zadataka #3

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Višestruko pripisivanje kamate

Zadatak 4.

Kolekcija zadataka #4

...i na kraju