x
Učitavanje

2.5 Limes niza

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Utvrda Rimskog limesa
Na slici je utvrda Rimskog limesa

Zanimljivost

Rimljani su se latinskom riječi limes koristili za granicu između dvaju posjeda, odnosno utvrđeni obrambeni sustav koji se prostirao graničnim područjima radi obrane Rimskog Carstva. Pritom je limes mogao biti umjetno podignuta granica u obliku bedema, nasipa, kule za promatranje, rovova i sl. Rimski su limesi bili: Antoninov zid i Hadrijanov zid u Britaniji, Limes Germanicus u Germaniji, Dunavski limes, Trajanov zid u istočnoj Europi, Limes Alutanus i Limes Transalutanus u Daciji, Limes Arabicus u Arabiji i Limes Tripolitanus u Libiji.

"Jedini način da se otkriju granice mogućeg jest ići iznad njih u nemoguće."

Arthur C. Clarke


Kao što vidimo, pojam limesa ili granice postoji od davnina i inspiracija je mnogima.

Otkrijmo što je limes niza.

Primjer 1.

Smjestite prvih sedam članova niza  zadanog općim članom a n = 1 2 n - 1 , n N na brojevni pravac. Ako nastavimo smještati članove niza na brojevni pravac, kojemu će se broju približavati?

Što je broj n veći, to se članovi niza sve više približavaju nuli. Pokušat ćemo preciznije matematički opisati što to znači.

Limes niza
Na slici su prikazani članovi niza jedan kroz dva na en minus prvu.

Promatrat ćemo što se događa oko nule, odnosno na nekom malom simetričnom intervalu oko nule, kao što je interval - 0.2 , 0.2 .

Limes niza - interval
Na slici su prikazani članovi niza jedan kroz dva na n minus prvu s označenim intervalom od minus 0.2 do 0.2.

Zadatak 1.

Koliko je članova zadanog niza izvan intervala - 0.2 , 0.2 ?
.

Koliko je članova niza unutar tog intervala?
.

Prvi član niza koji je od 0 udaljen za manje od 0.2 je broj
,
a to je
član
po redu.
null
null

Pokušajmo još malo smanjiti interval oko nule, primjerice na interval - 0.01 , 0.01 . Pogledajmo sliku.

Limes niza - interval 2
Na slici su prikazani članovi niza jedan kroz dva na n minus prvu s označenim intervalom od minus 0.01 do 0.01.

Odredimo broj članova niza koji su izvan i broj članova niza koji su unutar intervala - 0.01 , 0.01 .

Zadatak 2.

Za više od 0.01 od nule udaljeno je

članova
niza s općim članom a n = 1 2 n - 1 . Svi ostali članovi tog niza, počevši od člana s rednim brojem
,
od nule su udaljeni za manje od
.
To znači da se unutar intervala - 0.01 , 0.01 nalaze
članovi
niza, a izvan njega ih je samo
.

Pomoć:

Izvan zadanog intervala ih je 7 , što je konačno mnogo.

null

Nije teško zaključiti da će, koliko god da se približimo nuli, konačan broj članova niza a n = 1 2 n - 1 , n N ostati izvan tog malog intervala oko nule, a unutar njega bit će svi ostali članovi tog niza.

U tom slučaju kažemo da je nula granična vrijednost ili limes niza a n .

Primjer 2.

Pogledajmo još jedan primjer niza i njegovu graničnu vrijednost.

Neka je niz  a n n N zadan s općim članom a n = 2 n - 1 n + 2 . Promotrimo u sljedećoj interakciji grafički prikaz tog niza.

Kako se mijenja vrijednost članova niza a n = a ( n ) ovisno o broju  n ? Kojemu će se broju L približavati članovi tog niza?

Provjerite, kao i u prošlom primjeru, hoće li unutar svakog, po volji malog, intervala oko broja L biti gotovo svi članovi niza?

Mijenjajte udaljenost  d od broja L , odnosno interval L - d L + d , a zatim odredite broj ( n ) članova niza koji su izvan tog intervala.

Zadatak 3.

a. Granična vrijednost ili broj kojemu se približavaju članovi niza a n = 2 n - 1 n + 2 , n N s povećanjem broja n je broj

null
null

b. Koliko je članova tog niza izvan intervala 2 - 0.6 , 2 + 0.6 ?

null
null

c. Koji su članovi tog niza unutar intervala 2 - 0.6 , 2 + 0.6 ?  

null
null

d. Koliko je članova tog niza izvan intervala 2 - 0.1 , 2 + 0.1 ?

null
null

e. Koji su članovi tog niza unutar intervala 2 - 0.1 , 2 + 0.1 ?  

null
null

f. Koliko je članova tog niza unutar intervala 1 - 0.2 , 1 + 0.2 ?  

null

g. Koliko je članova tog niza izvan intervala 1 - 0.2 , 1 + 0.2 ?    

null

Uočimo da se izvan svakog malog intervala oko broja 2 nalazi samo konačan broj članova niza, a n = 2 n - 1 n + 2 , n N , a svi su ostali članovi niza, njih beskonačno mnogo, unutar tog intervala. Za broj 1 to ne vrijedi, izvan intervala 1 - 0.2 , 1 + 0.2  nalazi se beskonačno članova niza. Prema tome, graničnu vrijednost nekog niza definiramo na sljedeći način.

Limes ili granična vrijednost niza; konvergentan niz; divergentan niz

Za realni broj L kažemo da je limes ili granična vrijednost niza ( a n ) realnih brojeva ako se izvan svakog, po volji malog, intervala oko broja L nalazi samo konačno mnogo članova tog niza.

Zapisujemo lim n a n = L i čitamo "limes niza a n kad n teži u beskonačnost je L ".

Kažemo još da niz ( a n ) teži ili konvergira prema L kad n teži u beskonačnost.

Za niz brojeva koji ima limes kažemo da je konvergentan.

Ako niz brojeva nema limes, kažemo da je divergentan.

Zadatak 4.

U sljedećoj su interakciji grafički prikazani neki nizovi. Jesu li konvergentni ili divergentni? Obrazložite svoj zaključak.

Među prikazanim nizovima nalazi se konstantan niz 2 , 2 , 2 , 2 . ..  Očito je da izvan svakog, po volji malog, intervala oko broja 2 nema članova tog niza, odnosno da su svi članovi niza unutar tog intervala, pa vrijedi lim n 2 = 2 .

Konstantan niz s općim članom a n = c , c R   je konvergentan i vrijedi lim n c = c .

Limes aritmetičkog niza

Primjer 3.

Promotrimo aritmetički niz 1 , 4 , 7 , 10 , ... , 3 n - 2 , ... , ... Svaki njegov član, osim prvog, veći je od prethodnog za tri, pa je niz rastući i njegovi članovi teže u beskonačnost. Stoga je to divergentan niz.

Koliko je njegovih članova manje od 10 ? Koliko ih je veće od 10 ? Koliko je članova manje, a koliko veće od 1 000 ?

Koliko je članova manje, a koliko veće od nekog velikog broja M ?

Tri su člana zadanog niza manja od 10 , a svi su ostali veći od 10 .

Usporedimo opći član niza s 1 000 .

3 n - 2 < 1 000 n < 334

Dakle, manja od 1 000  su  333 člana, a većih od 1 000 je beskonačno mnogo.

Usporedimo opći član niza s M .

3 n - 2 < M n < M + 2 3 .

Takvih je prirodnih brojeva n  samo konačno mnogo, pa je konačno mnogo članova niza manjih, a beskonačno mnogo onih većih od M .


Za niz a n , n N kažemo da teži u beskonačnost ako za svaki, po volji veliki, odabrani realni broj, postoji samo konačno mnogo članova niza koji su od njega manji. Da niz teži u beskonačnost, pišemo lim n a n = .

Analogno se definira i niz koji teži u minus beskonačno. Pokušajte sami zapisati što bi značilo da je lim n a n = - . Možda će vam pomoći sljedeći zadatak.

Zadatak 5.

Niz - 2 , - 4 , - 6 , - 8 , . . . - 2 n . . . je

i
teži u
.
To znači da koliko god veliki realni broj M > 0 uzmemo, članova koji su veći od broja  - M   je
mnogo.
Na primjer, ako je M = 25 000 , članova tog niza koji su manji od - 25 000 ima
,
a članova koji su veći od - 25 000 ima
.
null
null

Istražimo

Navedite primjere nekoliko različitih aritmetičkih nizova i opišite njihovu konvergenciju. Što zaključujete?

Aritmetički niz s općim članom a n i razlikom d > 0  divergentan je i vrijedi lim n a n = . Ako je razlika d < 0 , onda je lim n a n = - .

Zadatak 6.

a. Koji od sljedećih nizova teže u beskonačnost?

null
null

b. Koji od sljedećih nizova teže prema nuli?

null
null

c. Koji od sljedećih nizova teže u minus beskonačno?  

null
null

Uočimo da vrijedi lim n n = , lim n 1 n = 0 ,   lim n 5 n - 2 = , lim n 1 5 n - 2 = 0 .

Zaključujemo:

Ako je lim n a n = , tada je lim n 1 a n = 0 .

Kutak za znatiželjne

Je li istinita sljedeća tvrdnja?

Ako je lim n 1 a n = 0 , tada je lim n a n = .

Ako vrijedi, obrazložite zbog čega vrijedi.

Ako ne vrijedi, pronađite primjer i pokušajte popraviti tvrdnju tako da vrijedi.

Dana tvrdnja općenito ne vrijedi. Vrijedi za niz s pozitivnim članovima.

Primjer niza za koji ne vrijedi je niz a n  kojemu su članovi 1 , - 2 , 4 , - 8 , 16 . . .  Tada niz 1 a n s članovima 1 , - 1 2 , 1 4 , - 1 8 , 1 16 . . . teži prema nuli. Niz a n nije konvergentan, neparni članovi po redu teže u ,   a parni u - .

Ispravna tvrdnja glasi: Ako je lim n 1 a n = 0 , tada je lim n a n = .


Zadatak 7.

Razvrstajte sljedeće nizove, zadane s općim članom, ovisno o tome konvergiraju li u , - , 0 ili ostalo.

a n = n 2

-

0

ostalo

null
null

Limes geometrijskog niza

Istražimo

U prvom smo primjeru imali geometrijski niz s općim članom a n = 1 2 n - 1 i pokazali da je njegov limes jednak nuli. Zanima nas što je s konvergencijom bilo kojeg geometrijskog niza.

Istražite konvergenciju geometrijskog niza u sljedećim primjerima i odgovorite na pitanja koja slijede.

Niz a: 2 3 , 4 9 , 8 27 , . . . , 2 3 n . . .

Niz b: 3 , 6 , 12 , 24,...,3 · 2 n - 1 . . .

Niz c: 1 , - 3 , 9 , - 27,... , - 3 n - 1 . . .

Niz d: 3 , - 2 , 4 3 , - 8 9 , . . . , 3 · - 2 3 n - 1 . . .

Niz e: 1 2 , - 1 2 , 1 2 , - 1 2 , . . . , 1 2 · - 1 n - 1 . . .  

Postoji li geometrijski niz koji teži broju 5 ? Ili broju 1 ?

Ne postoji, osim ako se ne radi o konstantnom nizu kojemu je kvocijent jednak 1 .

Uočimo da vrijede sljedeće tvrdnje.

Geometrijski niz s kvocijentom q  konvergentan je i teži u nulu ako je q < 1 . Za q > 1 geometrijski je niz divergentan.

Pritom za q > 1 niz teži u beskonačnost, za q - 1 limes ne postoji, a za q = 1 niz je konstantan.

Zadatak 8.

Uparite limes niza i njegov iznos.

lim n 5 7 n =
ne postoji
lim n - 2 n + 5 =
-
lim n 2 - 7 5 n - 1 =
lim n 7 5 n =
0
null
null

Računanje limesa

Do sada smo uglavnom naslućivali limes nizova ispisivanjem njihovih članova ili na temelju grafičkog prikaza. Nakon što naslutimo limes nekog niza, poželjno je dokazati da je taj broj limes koristeći se definicijom.

Kutak za znatiželjne

Dokažite da je lim n 1 n = 0 .

Prema definiciji treba pokazati da se izvan svakog, po volji malog, intervala oko nule nalazi samo konačno mnogo članova tog niza, a svi ostali članovi su unutar tog intervala.

Uobičajeno se neki mali interval oko 0 označava s 0 - ε , 0 + ε = - ε , ε , pri čemu je ε > 0 .

Pogledajmo koliko je članova niza izvan tog intervala. Budući da su članovi niza pozitivni brojevi, dovoljno je vidjeti za koliko članova tog niza vrijedi da je a n > ε , odnosno 1 n > ε .

Tada je n < 1 ε , za sve ε > 0 . Prirodnih brojeva za koje ova nejednakost vrijedi ima samo konačno mnogo, pa je tvrdnja dokazana.

Na primjer, ako je ε = 0.0001 , n < 1 0.0001 n < 10 000 . To znači da je samo konačno mnogo članova niza koji su izvan intervala - 0.0001 , 0.0001 , a svi ostali ili njih beskonačno, unutar je tog intervala.


Nije za sve nizove jednostavno naslutiti i dokazati da je neki broj njihov limes. Stoga se pri računanju limesa niza koriste neki od limesa jednostavnih nizova koje smo do sada opisali i sljedeća pravila za računanje limesa.

Neka su ( a n ) i ( b n ) konvergentni nizovi, a c R konstanta. Tada vrijedi:

  • lim n a n ± b n = lim n ( a n ) ± lim n ( b n ) (limes zbroja ili razlike)
  • lim n c · b n = c · lim n ( b n ) (limes umnoška niza s konstantom)
  • lim n a n · b n = lim n ( a n ) · lim n ( b n ) (limes umnoška)
  • lim n a n b n = lim n a n lim n b n , pri čemu su svi b n 0 i lim n b n 0 (limes kvocijenta)

Ova pravila nećemo dokazivati, ali ćemo pokazati na primjerima kako se koriste pri računanju limesa niza. Pogledajmo sljedeći video.

Zadatak 9.

a. Poredajte korake u redoslijedu računanja limesa lim n 3 n - 4 2 n + 1 .

  • = lim n 3 - lim n 4 n lim n 2 + lim n 1 n   
  • = 3 2 .   
  • lim n 3 n - 4 2 n + 1
  • = lim n 3 - 4 n 2 + 1 n  
  • = 3 - 0 2 + 0   
null
null

b.  Poredajte korake u redoslijedu računanja limesa lim n n - 4 2 n 2 + 1 .

  • = 0 - 0 2 + 0  
  • = lim n 1 n - 4 n 2 lim n 2 + 1 n 2  
  • lim n n - 4 2 n 2 + 1   
  • = lim n n - 4 : n 2 2 n 2 + 1 : n 2
  • = 0 .
null
null

Omeđenost niza

Ponekad je jednostavnije dokazati da je neki niz konvergentan, nego izračunati njegov limes. Pritom se obično koristi omeđenost niza.

Omeđen niz

Kažemo da je niz  a n omeđen ako postoje realni brojevi m i M tako da za sve članove niza vrijedi m a n M .

Primjer 4.

Jesu li sljedeći nizovi omeđeni?

  1. a n = n - 1 n
  2. a n = 1 2 · 3 n
  3. a n = 2 · - 1 n

a. a n = n - 1 n = 1 - 1 n . Uočite da je opći član niza uvijek manji od 1 i da je niz rastući.

Vrijedi - 1 < a n < 1 za sve članove niza, pa je niz omeđen.

b. Niz je rastući geometrijski niz, nije omeđen.

c. Niz je omeđen jer su mu jedine vrijednosti članova - 2 i 2 .


Koji su od tih nizova konvergentni? Jesu li omeđeni nizovi uvijek konvergentni?

Niz a n = n - 1 n konvergira, lim n n - 1 n = lim n 1 - 1 n = 1 - 0 = 1 .

Niz a n = 1 2 · 3 n je geometrijski s kvocijentom većim od jedan, pa teži u beskonačnost.

Niz a n = 2 · - 1 n nije konvergentan, a omeđen je.

Dakle, omeđeni niz ne mora biti konvergentan. Ali, ako je omeđeni niz rastući ili padajući, onda će biti i konvergentan.


Omeđeni niz koji je monoton (rastući ili padajući) jest konvergentan.

Zadatak 10.

Označite točne tvrdnje. Niz a n = 3 n + 15 n je

null

...i na kraju

Kroz sljedeću igru provjerite koliko ste dobro svladali limes niza.

Povratak na vrh