Matematika 4 - 3.4 Periodičnost

Na početku...

Definirajmo pravilo koje svakome danu u godini pridružuje jedno od četiriju godišnjih doba.

Je li takvo pridruživanje funkcija? Što je domena, a što slika funkcije? Nacrtajte graf.

Takvo pridruživanje jest funkcija jer svakome danu u godini pridružuje samo jedno godišnje doba.

Domena funkcije su dani u godini počevši, primjerice, od 1. 1. 2019. godine, a slika funkcije skup $\{proljeće, ljeto, jesen, zima\} .$

Graf 4 godišnja doba — Graf Godišnja doba

Što znamo o godišnjim dobima tijekom jedne godine? A što tijekom više godina?

Tijekom jedne godine godišnja se doba redom izmijene, a tijekom više godina ponavlja se isti slijed.

Definicija periodičnosti funkcije

Periodična funkcija, temeljni period

Za funkciju $f$ kažemo da je periodična s periodom $T > 0$ ako je za svaki $x$ iz domene funkcije $f$ i $x + T$ u domeni i vrijedi $f (x + T) = f (x) .$

Najmanji broj $T$ (ako postoji) zove se temeljni period funkcije $f .$

Pogledajmo sada uvodni primjer.

Godišnja doba imaju uvijek isti slijed i isto trajanje. Možemo reći da je funkcija periodična.

Koliki je period?

12 mjeseci ili 365 dana, uz pretpostavku da smo zanemarili prijestupne godine.

Zadatak 1.

Promotrite elementarne funkcije: $f (x) = | x |,$ $g (x) = \sqrt{x},$ $h (x) = \frac{1}{x},$ $i (x) = a^{x},$ $j (x) = \log_{a} x,$ $k (x) = \sin x,$ $l (x) = \cos x,$ $m (x) = tg x .$ Ima li među njima periodičnih? Ako da, koliki im je temeljni period?

Periodične su $k (x) = \sin x,$ $l (x) = \cos x,$ $m (x) = tg x$ . Temeljni period funkcija $k (x) = \sin x$ i $l (x) = \cos x$ je $2 π,$ a funkcije $m (x) = tg x$ je $π .$

Primjer 1.

Odredimo temeljni period funkcije $f (x) = \sin (a x) .$

Budući da je ova funkcija definirana za sve realne brojeve, onda je zasigurno zadovoljen prvi uvjet iz definicije periodičnosti, tj. za svaki $x$ je i $x + T$ u domeni funkcije.

Mora vrijediti i da je $f (x + T) = f (x) .$ Pogledajmo.

$f (x + T) = \sin (a (x + T)) = \sin (a x + a T)$

Da bi to bilo jednako $f (x),$ odnosno $\sin (a x),$ zbog periodičnosti funkcije sinus mora biti

$|a T| = 2 π,$ odnosno $T = \frac{2 π}{|a|} .$

Analogno možemo dokazati da je temeljni period funkcije $f (x) = \cos (a x)$ jednak $T = \frac{2 π}{|a|},$ a temeljni period funkcije $f (x) = tg (a x)$ jednak $T = \frac{π}{|a|} .$

Zadatak 2.

Temeljni period funkcije $f (x) = 2 \cos (- \frac{2}{3} x + π)$ iznosi

, a temeljni period funkcije

g (x) = 3 tg (\frac{1}{2} x - \frac{π}{2})

iznosi

2π

3 π

null

Primjer 2.

Koliki je temeljni period funkcije $f (x) = \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{3} ?$

Rješenje pogledajmo u sljedećem videu.

Riješite sljedeće zadatke.

Kutak za znatiželjne

Neka su $f, g : R \to R$ dvije funkcije. Ako je $g$ periodična funkcija, dokažite da je kompozicija funkcija $g \circ f$ periodična.

Periodičnost iz grafa

Funkcija $⌈x⌉ : R \to Z$ svakome realnom broju $x$ pridružuje najmanji cijeli broj koji nije manji od $x .$ Tako je primjerice $⌈- 2.3⌉ = - 2, ⌈4.6⌉ = 5$ .

Nacrtajmo graf funkcije $h : R \to R,$ $h (x) = ⌈x⌉ - x .$

Graf funkcije najveće cijelo od x minus x

Iz grafa funkcije možemo zaključiti da je funkcija periodična.

Koliki joj je temeljni period?

Temeljni period funkcije iznosi

null

Riješite sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #2

Je li funkcija čiji je graf prikazan na slici periodična, uz pretpostavku da se tijek funkcije ne mijenja na cijelom skupu realnih brojeva?

Ako jest, odredite joj period.

4

null

Je li funkcija čiji je graf prikazan na slici periodična, uz pretpostavku da se tijek funkcije ne mijenja na cijelom skupu realnih brojeva?

Ako jest, odredite joj period.

null

Je li funkcija čiji je graf prikazan na slici periodična, uz pretpostavku da se tijek funkcije ne mijenja na cijelom skupu realnih brojeva?

Ako jest, odredite joj period.

null

Je li funkcija čiji je graf prikazan na slici periodična, uz pretpostavku da se tijek funkcije ne mijenja na cijelom skupu realnih brojeva?

Ako jest, odredite joj period.

2

null

...i na kraju

Koje su od sljedećih stvarnih situacija periodične?

Izmjena dana i noći.
Pojava plime i oseke.
Visina na koju odskače lopta nakon što je bačena.
EKG.
Količina padalina.

Visina lopte (c.) nije, jer se tijekom vremena smanjuje. Ostale možemo smatrati periodičnima.

Na početku...

Definicija periodičnosti funkcije

Periodična funkcija, temeljni period

Zadatak 1.

Primjer 1.

Zadatak 2.

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #1

Kutak za znatiželjne

Periodičnost iz grafa

Kolekcija zadataka #2

...i na kraju