x
Učitavanje

1.3 Jednadžbe i nejednadžbe s kompleksnim brojevima

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Možemo li kompleksne brojeve uspoređivati? Možemo li reći kada je jedan manji od drugoga ili kada su jednaki kao što možemo za realne brojeve?

Jednakost kompleksnih brojeva
Dvokraka vaga. Na težoj (desnoj) strani piše c+di, a na lakšoj (lijevoj) strani piše a+bi

Realne brojeve možemo poredati po veličini, ali za kompleksne brojeve to ne vrijedi. Možemo samo govoriti o jednakosti dva kompleksna broja.


Jednakost kompleksnih brojeva

Jednakost kompleksnih brojeva

Dva su kompleksna broja z 1 = a + b i i z 2 = c + d i jednaka ako i samo ako su im jednaki realni dijelovi i jednaki imaginarni dijelovi, odnosno

z 1 = z 2 a = c , b = d .

Zadatak 1.

Koje su od sljedećih tvrdnja istinite?

null
null

Primjer 1.

Za koje će vrijednosti realnih brojeva x , y kompleksni brojevi z 1 = 5 x + 3 y + 7 i i z 2 = 10 - 2 i biti jednaki?

Iz jednakosti kompleksnih brojeva

5 x + 3 y + 7 i = 10 - 2 i

slijedi da su im realni dijelovi jednaki i imaginarni dijelovi jednaki, odnosno da vrijedi:

5 x = 10 3 y + 7 = - 2,

a odavde je x = 2 , y = - 3 .

Zadatak 2.

a.  Za koju će vrijednost realnog broja x vrijediti jednakost x + 9 i = x + 4 x i - 3 i ?

null
null

b. Za koje će vrijednosti realnih brojeva x i y vrijediti jednakost x + 3 y + 2 x + 2 y i = 13 + 10 i ?

null
null
c. Kompleksni brojevi z 1 = x - 3 y - y i i z 2 = 4 - 2 x i bit će jednaki za x =
i
y =
.
null
null

d. Koje je rješenje jednadžbe z 2 = - 3 - 4 i ?

null
null

Jednadžbe s modulom kompleksnoga broja

Podsjetimo se: modul kompleksnoga broja u Gaussovoj ravnini predstavlja udaljenost toga broja od ishodišta.

Primjer 2.

Odredimo sve kompleksne brojeve z za koje je z = 3 .

Traženi brojevi su oni čija je udaljenost od ishodišta Gaussove ravnine jednaka 3 . Dakle, riječ je o točkama kružnice polumjera 3 sa središtem u ishodištu.

Modul kompleksnog broja jednak 3
Kružnica polumjera 3 sa središtem u ishodištu.

Primjer 3.

Odredimo sve kompleksne brojeve z za koje je z - 1 - 4 i = 2 .

Čemu je jednak modul razlike dvaju kompleksnih brojeva z 1 - z 2 ? To je udaljenost između brojeva z 1 i z 2 prikazanih u Gaussovoj ravnini. Znači da je z - 1 - 4 i = z - 1 + 4 i udaljenost između brojeva z i z 0 = 1 + 4 i pa su traženi brojevi oni čija je udaljenost od broja z 0 = 1 + 4 i jednaka 2 . Dakle, riječ je o točkama kružnice polumjera 2 sa središtem u z 0 = 1 + 4 i .

Modul razlike kompleksnih brojeva jednak 2
Kružnica polumjera 2 sa središtem u 1+4i.

Riješite zadatke.

Kutak za znatiželjne

Odredite analitički zapis rješenja jednadžbe z - 1 - 4 i = 2 .

Uvrstite z = x + y i .

x + y i - 1 - 4 i = 2

x - 1 + y - 4 i = 2

x - 1 2 + y - 4 2 = 2

Kvadriranjem dobivamo:

x - 1 2 + y - 4 2 = 4 , što je jednadžba kružnice polumjera 2 sa središtem u točki S 1,4 .


Primjer 4.

Što je skup svih kompleksnih brojeva z za koje je z - 1 - i = z + 3 + i ?

Pogledajmo!

Nejednadžbe s modulom kompleksnoga broja

Primjer 5.

Znamo da je skup svih kompleksnih brojeva z za koje je z - 2 + 3 i = 3 kružnica polumjera 3 sa središtem u točki z 0 = 2 + 3 i . Što je skup svih kompleksnih brojeva za koje je z - 2 + 3 i 3 ?

To je krug polumjera 3 sa središtem u točki z 0 = 2 + 3 i .

Krug polumjera 3 za središtem u točki z0=2+3i
Krug polumjera 3 sa središtem u (2,3)

Primjer 6.

Prikažimo u Gaussovoj ravnini skup svih kompleksnih brojeva z za koje je z - 1 + 3 i < 4 .

Uočimo da udaljenost točaka mora biti manja od 6 pa u traženi skup neće biti uključena kružnica, odnosno rješenje je otvoreni krug.

Otvoreni krug
Otvoreni krug polumjera 4 sa središtem u (1,-3)

Zadatak 3.

Uparite nejednadžbu s odgovarajućim rješenjem.

z + 9 - 2 i < 5
krug, r = 7 , središte z 0 = 4 i
z - 3 < 2  
otvoreni krug, r = 2 , središte z 0 = 3  
z - 4 i 7
krug, r = 1 , središte z 0 = 5 + 2 i  
z - 5 - 2 i 1  
otvoreni krug, r = 5 , središte z 0 = - 9 + 2 i  
null
null

Primjer 7.

Zapišimo sada skup kompleksnih brojeva prikazan u Gaussovoj ravnini.


Točke izvan kruga
Izvan kruga

To su točke izvan kruga, odnosno one predočuju brojeve za koje je udaljenost do središta veća od polumjera. U ovome je primjeru polumjer 2 , a središte kruga u ishodištu pa je rješenje skup svih kompleksnih brojeva z za koje je z > 2 .

...i na kraju

Nacrtajte u bilježnici skup svih kompleksnih brojeva

z za koje vrijedi z 2 i z 3 . Kako zovemo taj skup točaka u ravnini?

Rješenje je kružni vijenac sa središtem u ishodištu. Polumjeri kružnica koje ga omeđuju su 2 i 3.


Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh