Matematika 4 - Aktivnosti za samostalno učenje

Optimizacija

Riješite zadatke vezane uz uvodni primjer.

Kolekcija zadataka #1

Limenka je oblika

.

null

Promotrite na slici mrežu valjka.

Mreža valjka sastoji se od dva kruga i jednog pravokutnika.

Površina kružnih dijelova računa se formulom

, a površina bočne strane formulom

. Trošak proizvodnje kružnih dijelova je

, a trošak proizvodnje bočne strane je

.

0.01004 \cdot 2 r π h

0.00535 \cdot 2 r^{2} π

P = 2 r π h

B = r^{2} π

Pomoć:

Trošak proizvodnje dobit ćemo množenjem površine troškom po ${cm}^{2} .$

null

Volumen konzerve je zadan pa možemo izraziti visinu konzerve. Označite točnu formulu.

h = \frac{125}{r π}

h = \frac{250}{r^{2}}

h = \frac{125}{r}

h = \frac{250}{r^{2} π}

Pomoć:

Zapišite formulu za obujam valjka.

Postupak:

Obujam valjka računamo formulom $V = r^{2} π h .$

Zadano je $V = 250$ pa imamo $250 = r^{2} π h .$

Izrazimo visinu $h = \frac{250}{r^{2} π} .$

Zbrojite cijene proizvodnje kružnih dijelova i bočne strane konzerve te uvrstite dobiveni izraz za visinu $h .$ Dobili ste formulu za trošak $T$ proizvodnje konzerve u ovisnosti o polumjeru $r .$

$T (r) = 0.0107 π r^{2} + \frac{5.02}{r}$

Odredite polumjer konzerve za koji će trošak proizvodnje $T (r) = 0.0107 π r^{2} + \frac{5.02}{r}$ biti minimalan.

Derivacija je $T^{'} (r) = 0.0214 π r - \frac{5.02}{r^{2}} .$ Stacionarna točka je rješenje jednadžbe $0.0214 π r - \frac{5.02}{r^{2}} = 0$ pa je $r = \sqrt[3]{\frac{5.02}{0.0214 π}} \approx 4.21095 .$ Provjerimo predznake derivacije na domeni funkcije.

$0$		$4.21$		$∞$

$f^{'}$	$-$		$+$
$f$	$↘$		$↗$

Zaključujemo da je $4.21$ točka minimuma, minimalna vrijednost je $T (4.21) = 1.79,$ a pripadna vrijednost visine je $h = \frac{250}{{4.21}^{2} \cdot π} = 4.49 .$

Trošak proizvodnje će biti minimalan za konzervu čiji je polumjer $4.21 cm,$ a visina $4.49 cm .$ Minimalni trošak proizvodnje je $1.79 kn .$

Trostrana prizma čija je osnovka pravokutni trokut. — Prizma

Zadatak 1.

Oplošje prizme na slici je $720 {cm}^{3} .$ Odredite dimenzije prizme tako da obujam bude maksimalan.

Osnovka prizme je pravokutni trokut. Obujam prizme je $V = \frac{12 x \cdot 5 x}{2} \cdot y = 30 x^{2} y,$ a oplošje $O = 2 B + P = 2 \frac{12 x \cdot 5 x}{2} + (12 x + 5 x + 13 x) y = 60 x^{2} + 30 x y .$ Oplošje je zadano pa je $60 x^{2} + 30 x y = 720 .$ Izrazimo visinu $y = \frac{24}{x} - 2 x$ i uvrstimo u formulu za obujam. Dobivamo: $V (x) = 720 x - 60 x^{3} .$ Derivacija je $V^{'} (x) = 720 - 180 x^{2}$ pa je stacionarna točka $x = 2 .$ Odredimo domenu funkcije $V :$ $x > 0,$ $y = \frac{24}{x} - 2 x > 0 \Rightarrow x < \sqrt{12}$ pa je domena $⟨0,2 \sqrt{3}⟩ .$ Provjerimo predznake derivacije na domeni.

$0$		$2$		$2 \sqrt{3}$

$f^{'}$	$+$		$-$
$f$	$↗$		$↘$

Zaključujemo da je $x = 2$ točka maksimuma, maksimalna vrijednost je $V (2) = 960,$ a pripadni $y = 8 .$ Maksimalni je obujam $960 {cm}^{3},$ a dobijemo ga za prizmu visine $8 cm,$ čija je osnovka trokut sa stranicama $26 cm,$ $24 cm$ i $10 cm .$

Primjena u ekonomiji

Zadatak 2.

Prihod u kunama opisan je funkcijom $R (x) = 1 000 - \frac{6 400}{x + 1} - x,$ gdje je $x$ broj proizvedenih predmeta. Pronađite broj proizvoda za koji je prihod maksimalan.

Prihod je maksimalan za $79$ proizvoda.

Zadatak 3.

Odredite maksimalni profit i broj proizvoda uz koje će se ostvariti maksimalni profit ako je profit prikazan funkcijom $P (x) = - x^{3} + x^{2} + 5 x - 1,$ gdje je $x$ broj proizvoda u tisućama, a $P (x)$ profit u tisućama kuna.

Maksimalni profit je $5 481.48 kn,$ a ostvarit će se uz $1 667$ proizvoda.

Primjer 1.

Granični je prihod povećanje prihoda kada se broj prodanih proizvoda poveća za jedan. Ako je prihod opisan funkcijom $R,$ onda je granični prihod za $x$ proizvoda $R (x + 1) - R (x) .$ Promotrite sliku i obrazložite zašto se granični prihod može aproksimirati s $R^{'} (x) .$

Granični prihod

Koeficijent smjera tangente na graf u točki $(x, R (x))$ je $R^{'} (x) .$ Koeficijent smjera pravca pokazuje za koliko se promijeni vrijednost funkcije kad se $x$ poveća za $1$ pa je $R^{'} (x)$ kateta istaknutog trokuta na slici. Razlika $R (x + 1) - R (x)$ približno je jednaka duljini te katete.

Zadatak 4.

Dnevni prihod u kunama od prodaje $x$ proizvoda određen je funkcijom $R (x) = 0.5 x^{3} + x^{2} + 30 x$ , za $x \in ⟨0,70] .$ Aproksimirajte granični prihod ako je prodano $70$ proizvoda.

Derivacija je $R^{'} (x) = 1.5 x^{2} + 2 x + 30$ pa je granični prihod približno $R^{'} (70) = 7 520 kn .$

Zadatak 5.

Zadane su funkcije prihoda i troškova po prodanom proizvodu: $R (x) = - 0.02 x^{3} + 0.3 x^{2} + 0.1 x$ i $T (x) = 0.03 x^{2} - 0.5 x + 1,$ gdje je $x$ broj prodanih proizvoda, $x \in ⟨0,14⟩,$ a $R (x)$ i $T (x)$ u tisućama kuna.

Funkcija profita definira se kao razlika prihoda i troškova: $P (x) = R (x) - T (x) .$

a. Odredite intervale u kojima profit raste.

b. Odredite maksimalni profit.

c. Nacrtajte graf funkcije profita.

d. Aproksimirajte granični profit uz $14$ prodanih proizvoda (granični se profit definira na isti način kao i granični prihod).

e. Koristeći se graničnim profitom pretpostavite profit uz $15$ prodanih proizvoda.

Na osnovi toga riješite sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #2

Upišite koeficijente funkcije profita:

P (x) =

x^{3} +

x^{2} +

x +

.

null

Stacionarna točka funkcije profita

P

je broj

Stacionarna točka je nultočka derivacije

P^{'} (x) = - 0.06 x^{2} + 0.54 x + 0.6

koja pripada intervalu

⟨0,14⟩ .

To je broj

10 .

.

null

Kolekcija zadataka #3

Profit raste na intervalu

⟨0,10⟩

⟨10,14⟩

null

Maksimalni se profit postiže uz

prodanih

proizvoda i on iznosi

Profit je u tisućama kuna pa

P (10) = 12

znači profit od

12 000

kuna.

.

null

Na slici je prikazan graf funkcije profita.

Da

Ne

null

Granični profit uz

14

prodanih proizvoda možemo aproksimirati s

Granični profit uz

14

prodanih proizvoda aproksimiramo s

P^{'} (14) .

kn .

Pretpostavljamo da je profit uz

15

prodanih proizvoda

P (15) \approx P (14) + P^{'} (14)

kn .

null

Newtonova metoda tangente

Naučili ste rješavati linearne, kvadratne, neke eksponencijalne i logaritamske te neke trigonometrijske jednadžbe. Ali kako riješiti jednadžbu u kojoj se pojavljuje nekoliko različitih funkcija, na primjer potencija i korijen, ili jednadžbu s potencijama od $x$ koje su veće od dva. Približne vrijednosti možemo odrediti s pomoću tangenti.

Primjer 2.

Odredimo približnu vrijednost rješenja jednadžbe $0.1 x^{2} + \sqrt{x} - 2 = 0 .$ Neka je $f (x) = 0.1 x^{2} + \sqrt{x} - 2 .$ Treba odrediti nulište funkcije $f,$ odnosno apscisu sjecišta grafa funkcije i osi apscisa. Promotrite postupak u animaciji.

Poredajte korake iz animacije.

početna vrijednost $x_{0}$
sjecište $(x_{1}, 0)$ tangente i $x$ osi
tangenta u točki $(x_{0}, f (x_{0})) .$
ponavljamo postupak
sjecište $(x_{2}, 0)$ tangente i $x$ osi
tangenta u točki $(x_{1}, f (x_{1}))$

null

Projekt

Postupak kojim dobivamo približnu vrijednost nulišta funkcije ili rješenje jednadžbe, koji je prikazan u prethodnoj animaciji, naziva se Newtonova metoda tangente. Računski odredite približnu vrijednost nulišta funkcije $f (x) = 0.1 x^{2} + \sqrt{x} - 2 .$

$x \approx 2.24202$

Grafovi

Zadatak 6.

Nacrtajte graf funkcije $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 1.$

Kutak za znatiželjne

Za zadanu smo funkciju $f$ određivali intervale rasta i pada i ekstreme. Koristeći se tim podatcima crtali smo graf funkcije. Pritom nismo odredili kakav je oblik grafa. Promotrite u interakciji tangente na grafove funkcija. Kako se mijenja koeficijent smjera tangente na graf kad se $x$ povećava? Odgovorite na pitanja.

Na slici je graf funkcije za koju kažemo da je konveksna.

Kad se $x$ povećava, koeficijent smjera tangente se

.

Koeficijent smjera tangente je

pa

je derivacija konveksne funkcije

funkcija.

Onda je njezina derivacija

.

To znači da je

derivacija

konveksne funkcije pozitivna.

null

Funkcija po obliku može biti konveksna ili konkavna. Odredite intervale na kojima je funkcija $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x + 1$ konveksna i intervale na kojima je konkavna. U kojoj se točki oblik mijenja? Što vrijedi za tu točku?

Funkcija je konveksna na intervalu $I$ ako je $f^{"} (x) \geq 0,$ konkavna je ako je $f^{"} (x) \leq 0 .$ S pomoću tih uvjeta dobivamo interval konveksnosti $⟨1, \infty⟩,$ interval konkavnosti $⟨- \infty, 1⟩ .$ Oblik se mijenja za $x = 1,$ a za tu točku vrijedi $f^{"} (1) = 0 .$

...i na kraju

Možemo li s pomoću derivacija odrediti jednadžbu tangente u točki kružnice? Pogledajmo.

Promotrimo kružnicu zadanu jednadžbom $x^{2} + y^{2} = 25 .$ U jednadžbi su dvije varijable $x$ i $y$ pa treba odabrati po kojoj ćemo varijabli derivirati. Neka to bude varijabla $x .$ Da deriviramo po $x,$ označit ćemo ovako $\frac{d}{d x} .$ Član koji sadrži samo $x$ i broj derivirat ćemo kao i prije:

$\frac{d x^{2}}{d x} = 2 x,$ $\frac{d 25}{d x} = 0 .$ Ali kako derivirati $y^{2}$ po $x ?$ U tom slučaju vrijedi formula: $\frac{d y^{2}}{d x} = \frac{d y^{2}}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 y \cdot y^{'} .$ Deriviranjem smo dobili

$2 x + 2 y \cdot y^{'} = 0$ pa je $y^{'} = - \frac{x}{y} .$ Odredimo jednadžbu tangente na kružnicu u točki $(3,4) .$ Vrijednost derivacije u točki $(x_{0}, y_{0}) = (3,4)$ je koeficijent smjera tangente u toj točki, $k = - \frac{x_{0}}{y_{0}} = - \frac{3}{4}$ pa je jednadžba tangente $y - 4 = - \frac{3}{4} (x - 3),$ $y = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{4} .$ Provjerite rješenje na slici.

Formula kojom smo se koristili za derivaciju $y^{2}$ po $x$ može se dokazati, a koristi se za deriviranje funkcija koje su sastavljene od više jednostavnih.

5.6 Aktivnosti za samostalno učenje

Na početku...

Optimizacija

Kolekcija zadataka #1

Zadatak 1.

Primjena u ekonomiji

Zadatak 2.

Zadatak 3.

Primjer 1.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Kolekcija zadataka #2

Kolekcija zadataka #3

Newtonova metoda tangente

Primjer 2.

Projekt

Grafovi

Zadatak 6.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju