Matematika 4 - 4.1 Problem tangente

Na početku...

Skijaški skokovi

Tangenta u nekoj točki krivulje jest pravac koji u toj točki samo dodiruje tu krivulju. Pri tome pravac može sjeći krivulju u nekoj drugoj točki kao, primjerice, na sljedećoj slici.

Tangenta na krivulju u točki A koja siječe krivulju u točki B

Kako odrediti jednadžbu tangente na neku krivulju? Ponovimo prvo neke pojmove.

Prirast argumenta i prirast funkcije

Podsjetimo se.

Neka je zadana neka funkcija $f .$ Označimo početnu vrijednost nezavisne varijable, odnosno argumenta s $x,$ a novu vrijednost argumenta s $x + Δ x .$ Broj

zovemo

. Promjenu vrijednosti funkcije ili

označavamo

i računamo

Δ f =

-

prirast funkcije

prirast argumenta

Δ x

f (x)

f (x + Δ x)

△ f

null

Označite prirast argumenta i prirast funkcije na grafu.

Δ x

Δ f

null

Zanimljivost

Diferencijalni račun grana je matematike koja je nastala u 17 $.$ stoljeću. Sir Isaac Newton (1643. – 1727.) i Gottfried von Leibnitz (1646. – 1716.) zaslužni su za važan iskorak u razmišljanju potrebnom za razvoj diferencijalnog računa. Oba matematičara pokušavala su pronaći algebarsku metodu za računanje koeficijenta smjera tangente u proizvoljnoj točki krivulje i računanje brzine promjene jedne varijable u odnosu na drugu.

Zadatak 1.

Uparite funkciju i odgovarajući prirast funkcije.

$f (x) = 2 x - 3$	$Δ f = - 4 x Δ x - 2 Δ x^{2}$
$f (x) = x^{2} + 1$	$Δ f = - 5 Δ x$
$f (x) = - 5 x + 7$	$Δ f = 2 x Δ x + Δ x^{2}$
$f (x) = - 2 x^{2} + 3$	$Δ f = 2 Δ x$

null

Sekanta – tangenta

Pravac koji siječe krivulju u dvije točke zove se sekanta. Promotrimo dvije točke $A$ i $B$ na krivulji. Povucimo sekantu tim dvjema točkama.

Sekanta krivulje koja prolazi točkama A i B.

Odredimo koeficijent smjera prikazane sekante.

$k_{A B} = \frac{Δ f}{Δ x} = \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

Istražimo

Proučite sljedeću interakciju. Što se događa kada se točka $B$ približava točki $A ?$

Kada se točka

B

približava točki

A,

krivulje

postaje

krivulje,

Δ x \to

null

Zato je koeficijent smjera tangente jednak

lim

Δ x

Δ x \to 0

f (x + Δ x) - f (x)

null

Primjer 1.

Odredimo koeficijent smjera tangente na graf funkcije $f (x) = x^{2} - 1$ u točki $T (2, 3) .$

$k = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{{(2 + Δ x)}^{2} - 1 - (2^{2} - 1)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{4 + 4 Δ x + {(Δ x)}^{2} - 1 - 3}{Δ x} =$

$= \lim_{Δ x \to 0} (4 + Δ x) = 4$ .

Zadatak 2.

Koja je jednadžba te tangente?

Izračunali smo koeficijent smjera $k = 4$ i dana je točka $T (2, 3)$ pa lako izračunamo jednadžbu tangente $y = 4 x - 5 .$

Riješite sljedeće zadatke.

Kolekcija zadataka #1

Koeficijent smjera tangente na graf funkcije $f (x) = \frac{1}{x}$ u točki $T (2, \frac{1}{2})$ na grafu funkcije je $k = - \frac{1}{4} ?$

null

Koeficijent smjera tangente na graf funkcije $g (x) = \sqrt{x}$ u točki $T (4, 2)$ na grafu funkcije je $k = 1 ?$

k = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

null

Koja je jednadžba tangente na graf funkcije $f (x) = 3 - x^{2}$ u točki $P (2, - 1)$ ?

y = - 2 x - 3

y = - 4 x + 7

y = 3 x - 1

y = x + 5

null

Jednadžba tangente na graf funkcije

f (x) = 3 x^{2}

u točki

T (1, 3)

y =

x +

null

Jednadžba tangente na graf funkcije

g (x) = \frac{2}{x}

u točki

T (2, 1)

y =

x +

null

...i na kraju

Koja je jednadžba tangente na graf funkcije $f (x) = 3 x + 5$ u točki $T (2, 11) ?$

Što primjećujete? Možete li poopćiti tvrdnju?

Koeficijent smjera tangente je $k = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3 (x + Δ x) + 5 - 3 x - 5}{Δ x} = 3$ pa je tangenta $y = 3 x + 5,$ odnosno taj isti pravac, pa on s grafom ima sve točke zajedničke.

Općenito za linearnu funkciju $f (x) = a x + b$ vrijedi da je njezina tangenta $y = a x + b .$