x
Učitavanje

4.3 Definicija derivacije funkcije i derivacija elementarnih funkcija

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Ledenjak
Na fotografiji je ledenjak.

Kako se mijenja razina mora danas? Kojom se brzinom tope ledenjaci u ovom trenutku? Kako se mijenja broj oboljelih desetog dana nakon izbijanja neke epidemije? Sva su ova pitanja, kao i odgovori na njih, usko povezani s problemom brzine i problemom tangente.

Računali ste u prethodnim jedinicama trenutnu brzinu (u trenutku t ) i koeficijent smjera tangente u nekoj točki x , f x  grafa funkcije te došli do sljedećih izraza:

lim t 0 s t + t - s t t , odnosno  lim x 0 f x + x - f x x .

Uočimo da oba izraza pokazuju kako se brzo mijenja neka veličina zadana funkcijom u odnosu na nezavisnu varijablu, u  točno određenoj vrijednosti te nezavisne varijable. Nezavisna varijabla vrlo je često vrijeme, ali može biti i neka druga veličina.

S obzirom na veliku važnost ovih izraza, uvodimo sljedeći pojam.

Derivacija funkcije u točki

Derivacija funkcije u točki; derivabilna funkcija

:Kažemo da je derivacija funkcije f u točki x D f broj lim x 0 f x + x - f x x ako taj limes postoji. Pišemo:

f ' x = lim x 0 f x = lim x 0 f x + x - f x x .

Za funkciju kažemo da je derivabilna u točki x ako ima derivaciju u x . Funkcija je derivabilna na intervalu a , b ako je derivabilna u svakoj točki tog intervala.

Broj f ' x mjeri brzinu promjene funkcije u točki x i jednak je koeficijentu smjera tangente na graf funkcije f u točki x , f x .

Umjesto f ' x često se piše y ' . Ove je oznake uveo Joseph Louis Lagrange (1736. –1813.).

Za derivaciju se koristi još i oznaka koju je uveo Gottfried von Leibniz (1646. – 1716.) d y d x , odnosno d f d x .

Primjer 1.

Neka je f funkcija koja procjenjuje budući profit neke tvrtke u tisućama kuna u ovisnosti o broju godina x nakon njezina osnivanja.

Što nam govori broj f 5 , a što broj f ' 5 ?

Kako ćemo izračunati broj f ' 5 ?

Broj f 5 govori nam koliko iznosi profit 5 godina nakon osnivanja tvrtke, a broj f ' 5 govori nam kojom se brzinom mijenja profit pet godina nakon osnivanja tvrtke.

Broj f ' 5 računamo kao derivaciju funkcije f u točki x = 5 , odnosno

f ' 5 = lim x 0 f 5 + x - f 5 x .


Zadatak 1.

Ako je funkcija iz prethodnog primjera zadana pravilom f x = 2 x 2 + 120 , izračunajte f ' 5 .

f ' 5 =

null

Postupak:

lim x 0 f ( 5 + x ) - f ( 5 ) x = lim x 0 2 ( 5 + x ) 2 + 120 - ( 2 · 5 2 + 120 ) x = = lim x 0 20 x + ( x ) 2 / : x                   x       / : x = = lim x 0 20 + x = 20

Zadatak 2.

Neka je f x = x 2 - x .

Za funkciju f vrijedi:

Pomoć:

f ' 0 = lim x 0 f 0 + x - f 0 x = lim x 0 x 2 - x - 0 x = lim x 0 x x - 1 x = - 1 .

null

Derivacija kao funkcija

Istražimo

Odredite derivaciju kvadratne funkcije f x = x 2 u najmanje četiri različite točke. Dobivene podatke pregledno zapišite u tablicu, u svojoj bilježnici, a zatim prikažite dobivene podatke u koordinatnom sustavu. Opišite svoja zapažanja.

x f ' x

Promotrite sljedeću animaciju.

Primjer tablice.

x f ' x
- 1 - 2
0 0
2 4
3 6

Uočite da je f ' x = 2 x za dane točke x . Vrijedi li isto i za proizvoljne realne brojeve x ?


Provjerit ćemo jesu li vaša opažanja točna računanjem derivacije funkcije f x = x 2 u proizvoljnoj točki x .

f ' x = lim x 0 x + x 2 - x 2 x = lim x 0 x 2 + 2 x x + x 2 - x 2 x = = lim x 0 x 2 x + x x = lim x 0 2 x + x = 2 x

Pišemo x 2 ' = 2 x .

Derivacija funkcije

Funkcija koja svakoj točki x iz nekog intervala pridruži derivaciju funkcije f u toj točki zove se derivacija funkcije f .

Dakle, ako želimo znati brzinu kojom se funkcija mijenja u točkama iz nekog intervala, ne moramo računati njezinu derivaciju u svakoj od tih točaka posebno. Odredit ćemo derivaciju zadane funkcije u proizvoljnoj točki x i dobiti derivaciju kao funkciju u koju ćemo uvrstiti zadane vrijednosti od x .

Odredimo derivacije nekih elementarnih funkcija.

Derivacija konstante

Derivacija konstante
Na ilustraciji je karikatura na kojoj je konstantna funkcija prikazana kao skup jedinica u imeniku iz matematike

Neka je f ( x ) = c , c R konstantna funkcija. Budući da funkcija u svakoj točki x R ima istu vrijednost, brzina kojom se mijenja njezina vrijednost u proizvoljnoj točki trebala bi biti jednaka 0 .

Ovu tvrdnju možemo provjeriti računanjem derivacije funkcije konstante.

Zadatak 3.

Pokažite da je derivacija konstante jednaka 0 .

c ' = lim x 0 f x + x - f x x = lim x 0 c - c x = 0 .


Derivacija linearne funkcije

Primjer 2.

Odredimo derivaciju linearne funkcije f x = a x + b , a 0 , a , b R .

Računamo derivaciju u proizvoljnoj točki x .

Poredajte sljedeće korake prema redoslijedu računanja derivacije.

  • = lim x 0 a x + x + b - a x - b x =
  • = lim x 0 a x x =  
  • = lim x 0 a = a .
  • a x + b ' = lim x 0 f x + x - f x x =
null
null

Derivacija linearne funkcije

a x + b ' = a

Zadatak 4.

Derivacija linearne funkcije je

funkcija.

Ta je derivacija u nekoj točki x jednaka
grafa
funkcije f u toj točki.
null
null

Uparite linearnu funkciju i njezinu derivaciju.

1 4 x + 3 ' =
- 4
3 - 4 x ' =
3
- 0.1 x - 4 ' =
- 0.1
2 x - 3 ' =
1 4
3 x - 1 4 ' =
2
null
null

Derivacija potencije

Istražimo

Prethodno smo već odredili x 2 ' = 2 x . Po definiciji odredite derivacije još nekih potencija, kao što su, na primjer, x 1 , x 3 , x 4 te pokušajte uočiti pravilnost.

Uparite funkciju i njezinu derivaciju.

x 3 ' =
3 x 2
x 4 ' =
1
x 1 ' =
4 x 3
x 2 ' =
2 x

Pomoć:

Pri računanju derivacije x 3 ' koristite se formulom a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 .

Pri računanju derivacije x 4 ' koristite se formulom a 4 - b 4 = a 2 - b 2 a 2 + b 2 ili formulom a + b 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 a b 3 + b 4 .

Postupak:

x 4 ' = lim x 0 x + x 4 - x 4 x = lim x 0 x + x 2 - x 2 x + x 2 + x 2 x = lim x 0 x 2 x + x x + x 2 + x 2 x = 2 x · 2 x 2 = 4 x 3

Jeste li uočili pravilnost?

Ako je f : R R , f x = x n i n N , tada je x n ' =  

null
null

Derivacija potencije je x n ' = n x n - 1 , pri čemu eksponent n može biti bilo koji realni broj.

Uočite da smo pravilo za derivaciju potencije dobili promatrajući potencije s prirodnim eksponentom. No to pravilo vrijedi za bilo koji realni eksponent i općenito se ne može dokazati pomoću definicije derivacije u točki. Stoga nećemo dokazivati ovo pravilo, nego ćemo ga samo provjeriti za neke eksponente koji nisu prirodni brojevi.

Kutak za znatiželjne

Pokažite da pravilo za derivaciju potencije vrijedi za funkcije f x = x - 1 = 1 x i g x = x 1 2 = x .

1 x ' = lim x 0 f x + x - f x x = lim x 0 1 x + x - 1 x x = lim x 0 x - x - x x x + x x = = lim x 0 - x x x x + x = - 1 x 2 = - x - 2  

x ' = lim x 0 x + x - x x = = lim x 0 x + x - x x · x + x + x x + x + x = = lim x 0 x x x + x + x = 1 2 x = 1 2 x - 1 2


Riješite sljedeće zadatke.

Primjer 3.

Prosječna visina djeteta H (u cm ) u dobi od t godina može se procijeniti prema formuli H = 6.5 t + 50 .

Što nam govore brojevi 6.5 i 50 ? Dopunite sljedeće rečenice.

Različite visine djeteta
Na ilustraciji su prikazane u rastućem nizu različite visine djeteta.
Broj
govori
nam koliko iznosi djetetova visina prilikom rođenja. A broj
brzina je kojom se mijenja visina djeteta u trenutku kad dijete ima t godina. Derivacija funkcije H u trenutku t jednaka je
.
null
null

Zadatak 5.

Ako funkcija f ( t ) prikazuje broj bakterija u nekoj kulturi nakon t dana, tada izraz f 10 + t - f 10 t predstavlja

 
kojom se mijenja broj bakterija na intervalu  10,10 + t .
Izraz  lim t 0 f 10 + t - f 10 t predstavlja
 
kojom se mijenja broj bakterija u trenutku t = 10 dana.
prosječnu brzinu
trenutnu brzinu
null
null

...i na kraju

Uparite funkciju i njezinu derivaciju!

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh