Zbrajanje binarnih brojeva

Kako računalo zbraja?

Prouči ova pravila i nakon toga pogledaj video:

Zbrajanje	Dekadski sustav	Binarni sustav
$0 + 0$	$0$	$0$
$0 + 1$	$1$	$1$
$1 + 0$	$1$	$1$
$1 + 1$	$2$ $(u binarnome 10 )$	$10$ $(pišemo 0,$ $prenosimo 1)$
$1 + 1 + 1$	$3$ $(u binarnome 10 )$	$11$ $(pišemo 0,$ $prenosimo 1)$

Zadatak 1.

Zbroji brojeve zapisane binarnim zapisom: 1100 i 1011

.

Zatim zbroji: 101010 i 1111

.

Pomoć:

Počni zbrajanje počevši od krajnje desne pozicije poštujući pravila koja su navedena u tablici za zbrajanje binarnih brojeva.

Postupak:

prijenos

\begin{matrix} 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}

\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ + & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}

ILI:

$1100_{2} + 1011_{2} = 10111_{2},$	$12_{10} + 11_{10} = 23_{10},$
$101010_{2} + 1111_{2} = 111001_{2}$	$42_{10} + 15_{10} = 57_{10}$

Pomognimo sada Ivani u vezi s njezinom domaćom zadaćom.

Računalo podatke sprema u registre. Registri mogu biti 8-bitni, 16-bitni, 32-bitni ili 64-bitni.

Želimo li ispravno zbrojiti brojeve čiji rezultat neće stati u 8-bitni registar, računsku operaciju moramo izvršiti u većem registru, odnosno u registru od $16$ bitova.

Ivana je u zadaći zbrajala binarne brojeve 01101100 i 11000101.

Rješenje:

		$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$0$
+		$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$	$0$	$1$
	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$

Oduzimanje binarnih brojeva

Kako računalo oduzima? Tako da oduzimanje svede na zbrajanje.

Na primjer: $25 - 9$ možemo zapisati kao $25 + (- 9) .$

A kako zapisati negativan broj u binarnome sustavu? Postoji nekoliko načina, za sada ćemo naučiti metodu koja se naziva metoda dvojnog komplementa.

Metodom dvojnog komplementa zapisujemo negativne brojeve u računalu. Ta se metoda koristi zbog toga da se oduzimanje binarnih brojeva svede na zbrajanje pozitivnog i negativnog broja.

Zanimljivost

Što je komplement ili komplementarni oblik broja?

Riječ dolazi od lat. complementum – dopuna, upotpunjivanje, a što upućuje na to da ćemo broj na neki način dopuniti. Krenimo od dekadskoga sustava.

Na primjer, želimo Izračunati $200 - 125$ u dekadskome sustavu od $3$ znamenke.

Broju $125,$ kojega oduzimamo, odredit ćemo komplement, a zatim i dvojni komplement.

Određivanje komplementa broja

Komplement dekadske znamenke dobit ćemo tako da vrijednost pojedine znamenke oduzmemo od broja $9 .$

$\begin{array}{l} 9 & 9 & 9 \\ - 1 & - 2 & - 5 \\ 8 & 7 & 4 \end{array}$

Komplement broja $125$ jest $874 .$

DVOJNI KOMPLEMENTA BROJA

Dvojni komplement broja dobit ćemo tako da komplementu dodamo vrijednost $1 .$

$874 + 1 = 875$

Dvojni komplement broja $125$ jest $875 .$

Sada ćemo dokazati da je oduzimanje broja $125$ jednako zbrajanju njegova dvojnog komplementa $875$ , odnosno da ćemo dobiti rezultat $75 .$

Zbrojimo sada $200 + 875$ u sustavu s $3$ znamenke:

		$2$	$0$	$0$
+		$8$	$7$	$5$
	$1$ *	$0$	$7$	$5$

* znamenka ne stane u troznamenkasti broj (takozvani preljev)

Rezultat je $75,$ dokazali smo svoju tvrdnju!

Napomena: Ovakav način računanja komplementa i dvojnog komplementa može se primijeniti na bilo koji brojevni sustav. Pritom ćemo komplement neke znamenke dobiti tako da od najveće znamenke u tom brojevnom sustavu oduzmemo vrijednost dane znamenke.

Za binarne brojevne sustave pojednostavljeno: komplement se dobije tako da zamijenimo nule jedinicama i jedinice nulama.

Ako te zanima, pogledaj u Zanimljivostima cijelu ideju dvojnoga komplementa. Mi ćemo ovu metodu primijeniti za prikaz negativnih brojeva u binarnome sustavu.

Dvojni komplement

Kolekcija zadataka #1

Kako će računalo oduzeti broj

26

od broja

125 ?

Naravno, najprije ih treba zapisati u binarnom obliku. Nastavi postupak i upiši konačno binarno rješenje:

.

Pomoć:

Potrebno je broj $26$ prikazati u negativnom obliku metodom dvojnog komplementa. Zatim dobivene vrijednosti zbrojiti u 8-bitnim registrima.

Postupak:

$125_{10} = 111 1101_{2}$

$26_{10} = 11010_{2}$

POSTUPAK svođenja oduzimanja na binarno zbrajanje

Izrada dvojnog komplementa za broj $26$ (pretvaramo ga u negativan broj):

nadopuna nulama: 00011010
zamjena 0 i 1: 11100101 - komplement
komplement +1: 11100110 - dvojni komplement

Zbrajanje pozitivnog i negativnog broja:

125 01111101

-26 11100110

8-bitni registar:

	0	1	1	1	1	1	0	1
+	1	1	1	0	0	1	1	0
$1$	0	1	1	0	0	0	1	1

Prekriženu jedinicu nazivamo preljev, ona se odbacuje jer nije stala u 8-bitni zapis broja.

Rješenje je 1100011, a to je dekadski $99,$ što odgovara rezultatu ( $125 - 26 = 99$ ).

Napiši dvojni komplement binarnog broja 11111.

.

Pomoć:

Pogledaj korake za izradu dvojnog komplementa!

Postupak:

11111

nule zamijeni jedinicama i obrnuto 00000 (komplement)
dodaj 1 : 00001 (dvojni komplement)

Rješenje 00001 ili 1

Rješenje u 8-bitnom registru:

00011111
11100000
11100001

Bijela ploča na kojoj učenica crnim markerom stvara dvojni komplement broja 83. — Dvojni komplement

Ovu je metodu najbolje provjeriti tako da od nekog broja oduzmemo njegov negativni oblik. Na primjer:

35 - 35 .

Najprije pretvori broj

35

u binarni oblik. Nakon toga odredi njegov dvojni komplement (binarno

- 35

). Zatim ih zbroji i kao rezultat moraš dobiti

0 .

Kao odgovor upiši binarni oblik broja

- 35

(dvojni komplement).
Svakako pogledaj rješenje!

Pomoć:

Broj $35$ pretvori u binarni oblik. Zatim napravi dvojni komplement toga broja. Kad ih zbrojiš, rezultat mora biti $0$ (jer je krajnja lijeva jedinica tzv. preljev, odnosno ne stane u zadane okvire $6$ znamenaka).

Postupak:

$35_{10} = 100011_{2}$

komplement broja: 011100

dvojni komplemet: 011100+ 1 = 011101

Provjera:

Dekadski	Binarno
35		1	0	0	0	1	1
-35	+	0	1	1	1	0	1
0	$1$	0	0	0	0	0	0

Pomoću ovog interaktivnog kalkukatora, provježbaj izradu dvojnog komplementa. U gornjem, 8-bitnom registru zapisan je broj u binarnome sustavu. U donji registar upiši dvojni komplement toga broja te provjeri rješenje.

Povećaj interaktivni prikaz

...i na kraju

Računalo u svome radu izvršava bezbroj računskih operacija s binarnim brojevima. Mi smo naučili dvije, zbrajanje i oduzimanje (pomoću zbrajanja negativnog broja). Sve ostale matematičke operacije svode se na zbrajanje.

Želiš li vježbati računske operacije s binarnim brojevima, pronađi na internetu neki binarni kalkulator, na primjer ovaj.

U prethodnim jedinicama naučili smo da računalo izvršava i razne logičke operacije.

Procijenite svoje znanje

Pravila za binarno zbrajanje (upari odgovore):

$0 + 1$ $1 + 0$	$1$
$1 + 1 + 1$	$10$ (pišemo $0$ prenosimo $1$ )
$0 + 0$	$11$ (pišemo $1$ prenosimo $1$ )
$1 + 1$	$0$

Pomoć:

Pravila su napisana na početku!

null

Metodom dvojnog

zapisujemo

brojeve u računalu. Ta se metoda koristi zbog toga da se

binarnih brojeva svede na

pozitivnog i negativnog broja.

negativne

komplementa

oduzimanje

zbrajanje

Zbroji binarne brojeve i zatim rezultatu pridruži ponuđenu dekadsku vrijednost!

20_{10}

28_{10}

65_{10}

$10111_{2} + 101_{2}$

$10001_{2} + 11_{2}$

$111111_{2} + 10_{2}$

Pomoć:

Binarno zbroji zadane brojeve, rezultat pretvori u dekadski oblik pa spoji s odgovarajućim parom.

Postupak:

$10111_{2} + 101_{2} = 11100_{2} = 28_{10}$

$111111_{2} + 10_{2} = 1000001_{2} = 65_{10}$

$10001_{2} + 11_{2} = 10100_{2} = 20_{10}$

Upiši komplement binarnog broja 10110.

Zatim

napiši dvojni komplement toga broja:

Pročitaj postupak za određivanje komplementa i dvojnog komlementa!

Pomoć:

Pročitaj postupak za određivanje komplementa i dvojnog komlementa!

Postupak:

korak: nule zamijeniti jedinicama i obrnuto 10110 > 01001
korak: dodajemo 1 odnosno 01001 + 1 = 01010

Pri zbrajanju pozitivnog i negativnog binarnog broja jedna jedinica "ispadne" iz zadanog opsega (ako smo računali u opsegu od $8$ bitova, ona će se prebaciti lijevo, kao deveti bit). Kako se naziva ta jedinica?

prikaz

povrat

preljev

prebačaj

4.3 Zbrajanje brojeva u binarnom brojevnom sustavu

Na početku...