4.2 Binarni brojevni sustav

Bit (engl. binary digit) je najmanja jedinica podatka koju računalo može prepoznati. Može imati dva stanja: da/ne, uključeno/isključeno, istina/laž, 0/1.

Žarulja kao i monitor prikazani na slici također se mogu nalaziti samo u dva osnovna stanja: uključeno ili isključeno.

Prisjetimo se, sustav koji koristi samo $2$ znamenke naziva se binarni brojevni sustav, a njegova je baza $2$ . (lat. bi - dvostruk, 2)

Koji sustav koriste računala? Računala u svome radu koriste samo $2$ znamenke: $0$ i $1,$ dakle binarni sustav. Zašto je tome tako?

Sjećaš li se kako se zove binarna znamenka i koje su jedinice za prikaz kapaciteta memorije?

• BIT - najmanja jedinica podataka ( $0$ ili $1$)
• BAJT - $8$ bitova - najmanja jedinica za količinu podataka u računalu
• $KiB$ - $1024$ bajta
  
• $MiB$ - $1024KiB-a$
  
• .......

Postavlja se pitanje zašto je svaka sljedeća jedinica veća za $1024,$ a ne za $1000?$

Računala koriste binarni sustav pa se sve vrijednosti izražavaju u potencijama baze $2$ ( $1024=2^{10}$), dok se u dekadskome sustavu koriste potencije baze $10$ ( $1000={10}^3$).

Upoznajmo onda bolje binarni sustav!

Prisjetimo se tablice s težinskim vrijednostima u binarnome sustavu. U drugom redu tablice upisan je binarni broj 1011. U ostale ćelije upisane su vodeće nule (one ne mijenjaju vrijednost broja).

Koja je dekadska vrijednost broja 1011₂ ?

Zbrajaju se težinske vrijednosti ispod kojih je vidljiva vrijednost $1,$ a one gdje je vrijednost $0$ ne zbrajaju se. U našem slučaju: $8+2+1=11.$

U sljedećoj igri pokušaj zatamniti kružiće koje drže roboti. Možeš odabrati na koliko ćeš robota kliknuti; jednog, dva, tri ili sve!

Koje je karte trebalo zatvoriti da dobijemo $5$ točaka? Zatvorili smo prvu i treću kartu. Možemo reći da broj $5$ binarno izgleda kao 0101. Zbrojimo li težinske vrijednosti na mjestima gdje je vidljiva jedinica (ispod broja $4$ i ispod broja $1$), dobijemo vrijednost $5.$

U prethodnoj jedinici govorili smo o još jednom načinu za pretvaranje dekadskoga broja u bilo koji brojevni sustav. Ponovimo postupak. Broj uzastopce dijelimo s bazom (u ovom slučaju $2$) i pritom zapisujemo cjelobrojne ostatke. Kada kao rezultat dobijemo nulu, sve ostatke zapišemo obrnutim redoslijedom.

Na primjer:

${49}_{10}={?}_2$

${49}_{10}={110001}_2$

U videu je prikazan način pretvaranja dekadskog broja u binarni zapis korištenjem težinskih vrijednosti. Usporedi ta dva načina i odaberi onaj koji ti je prihvatljiviji.

A što ako je broj decimalan? Kakva pravila vrijede?

Na primjer, broj 1011.101 treba pretvoriti u dekadski.

Rekli smo da svaka znamenka ima svoju težinsku vrijednost, koju dobijemo ako je pomnožmo s potencijom baze. Krenuvši zdesna, množimo s potencijom  $0,$ a zatim s potencijama  $1,$  $2,$.. (na primjeru binarnoga sustava množimo s  $2^0,$  $2^1,$  $2^2...$).

U decimalnom dijelu množimo s negativnim potencijama ( 2^-1, 2^-2, 2^-3...)

Podsjetnik: $2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}=0.5,$ $2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}=0.25,$ $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}=0.125$

Riješimo sada zadani primjer pomoću tablice težinskih vrijednosti:

$\begin{array}{ll}{1011.101}_2& =1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0+1*2^{-1}+0*2^{-2}+1*2^{-3}\\ & =8+0+2+1+\frac{1}{2}+0+\frac{1}{8}=11+0.5+0.125={11.625}_{10}\end{array}$

Ako broj iz dekadskog u binarni pretvaramo metodom uzastopnog dijeljenja, postupak je sljedeći:

Cijeli dio broja dijelimo bazom, a decimalni dio množimo bazom, pritom zapisujemo samo cijeli dio, a decimalni množimo dalje. Množenje se prekida kada kao rezultat dobijemo 1.0 ili ako je određen (dogovoren) broj decimala.

Primjer. Pretvori broj iz dekadskog u binarni sutav na 4 decimale:

${25.7}_{10}={?}_2$

${25.7}_{10}={11001.1011}_2$