x
Učitavanje

8.1 Vrste i svojstva paralelograma

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Uoči geometrijske likove koji se nalaze na slici.

Mozaik
Krug ispunjen raznim četverokutima.

Možeš li imenovati neke od njih?

Četverokut

Šest četverokuta

Geometrijski likovi na slici nazivaju se

.
null
null
Svaki geometrijski lik na slici ima
stranice,
kuta
i
vrha.
null
null

Četverokut

Četverokut je dio ravnine omeđen četirima dužinama, uključujući i točke koje pripadaju tim dužinama. Četverokut ima četiri vrha i četiri kuta. Dužine koje omeđuju četverokut nazivaju se stranice četverokuta.

Otprije znaš pravilno označiti trokut. Za označavanje vrhova i veličina kutova četverokuta vrijede ista pravila kao za trokut. Za označavanje veličina stranica postoji drukčije pravilo.

Vrhove i veličine kutova četverokuta A B C D označit ćemo kao i ranije.

Označavanje osnovnih elemenata četverokuta
Četverokut s istaknutim vrhovima, oznakama duljina stranica i veličina kutova.

Označimo bilo koji vrh s A i veličinu pripadnog unutarnjeg kuta četverokuta s α . Preostale vrhove i pripadne veličine unutarnjih kutova B , C i D te β , γ i δ označit ćemo u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke sata.

Za duljine stranica vrijedi:

A B = a B C = b C D = c D A = d .

Uvježbajmo.

Ponovimo.

Zbroj veličina unutarnjih kutova svakog trokuta iznosi
° .

Pomoć:

Pomoć potraži u jedinici 2.3. Svojstva trokuta.

null

Postoji li slična veza i za veličine unutarnjih kutova četverokuta?

Četverokut
Četverokut s istaknutim vrhovima i veličinama kutova.

Pažljivo pogledaj animaciju koja slijedi jer osim što daje odgovor na prethodno pitanje, i dokazuje ga.

Zbroj veličina unutarnjih kutova četverokuta

Zbroj veličina unutarnjih kutova svakog četverokuta iznosi 360 ° .

Praktična vježba

Nacrtaj u bilježnicu bilo koji četverokut i izmjeri kutomjerom veličine unutarnjih kutova tog četverokuta. Zbroji veličine kutova.

Ako je mjerenje bilo precizno, zbroj iznosi 360 ° .

Ako mjerenje nije bilo precizno, dobiveni zbroj odstupa nekoliko stupnjeva od 360 ° .

Ako je odstupanje veliko, vjerojatno ne upotrebljavaš kutomjer na pravilan način pa potraži pomoć.

Zadatak 1.

Izračunaj veličine nepoznatih kutova četverokuta sa slike.

Četverokut kojemu je zadana veličina jednog vanjskog i jednog unutrašnjeg kuta.
α ' =
° , β =
° , γ =
° .

Pomoć:

Vanjski i unutarnji kut pri istom vrhu zajedno čine ispruženi kut.

Postupak:

α ' = 180 ° - 80 ° = 100 °

β = 180 ° - 135 ° = 45 °

Zbroj veličina unutarnjih kutova je 360 ° pa vrijedi

γ = 360 ° - ( 80 ° + 45 ° + 90 ° )

γ = 360 ° - 215 ° = 145 ° .

Pokus

  • nacrtaj četverokut
  • unutarnje kutove oboji različitim bojama
  • odreži ili pažljivo otkini svaki kut četverokuta (u obliku kružnog isječka)
  • složi kutove jedan do drugoga na način da se vrhovi podudaraju
  • uoči da kutovi zatvaraju puni kut ( 360 ° ).

Kutak za znatiželjne

Dokaži da je zbroj veličina vanjskih kutova svakog četverokuta 360 ° .

Ako nemaš ideju kako započeti dokaz, prisjeti se načina dokazivanja tvrdnje o zbroju veličina vanjskih kutova trokuta.

Paralelogrami

Četverokute možemo razvrstati s obzirom na paralelnost stranica.

Postoje četverokuti koji imaju točno jedan par paralelnih stranica, oni koji imaju dva para paralelnih stranica i oni koji nemaju paralelnih stranica.

Dalje ćemo proučavati četverokute čija su dva para stranica međusobno paralelna.

Razvrstaj četverokute sa slike prema danom kriteriju.

Šest četverokuta od kojih su 3 paralelogrami.
E

Imaju dva para paralelnih stranica

Nemaju dva para paralelnih stranica

null
null

Paralelogram

Četverokut kojemu su nasuprotne stranice paralelne naziva se paralelogram.

Istražimo

U GeoGebrinu apletu dan je paralelogram kojemu povlačenjem vrhova A , B i D možeš mijenjati duljine stranica i veličine kutova koje zatvaraju susjedne stranice.

Prati promjene koje se događaju.

Izvedi zaključke.

(svojstva paralelograma: kutovi, stranice)

Provjeri svoja zapažanja u sljedećim zadatcima.

Po potrebi, ponovno se vrati na aplet i preispitaj zaključak.

Vrste paralelograma

Slika prikazuje vrste parelelograma.

Prouči i odgovori na pitanja.

Klasifikacija četverokuta
Klasifikacija četverokuta na pravokutnik, kvadrat, romb i paralelogram s obzirom na paralelnost stranica.

Romb je

Pomoć:

Prouči još jednom danu sliku.

null

Istražimo

U GeoGebrinu apletu dan je paralelogram kojemu možeš povlačenjem vrhova mijenjati duljine stranica i veličine kutova koje zatvaraju susjedne stranice.

Točka S sjecište je dijagonala paralelograma, a istaknut je i kut koji te dijagonale zatvaraju.

Pomiči vrhove i prati nastale promjene. Što zaključuješ?

Pomicanjem vrhova nactaj sve vrste paralelograma i provjeri svoje zaključke.

Provjeri svoja zapažanja u sljedećim zadatcima.

Po potrebi, ponovno prouči aplet i preispitaj zaključak.

Ponovimo

Pravokutnik

Pravokutnik je paralelogram kojemu su svi kutovi pravi.

Pravokutnik s istaknutim dijagonalama.
Nasuprotne stranice pravokutnika jednakih su
.
Dijagonale pravokutnika
su
duljina i međusobno se
.

Pomoć:

Što vrijedi za dijagonale paralelograma?

null

Kvadrat

Kvadrat je pravokutnik kojemu su sve stranice jednakih duljina.

Kvadrat kojemu su istaknute okomite dijagonale.
Kvadrat je
kojemu
su sve stranice
duljina
i svi kutovi
.
Dijagonale kvadrata su
duljina
i međusobno su
.

Pomoć:

Prouči aplet. Povlačenjem vrhova namjesti kvadrat i obrati pozornost na duljine stranica, veličine kutova te duljine dijagonala i kut među njima.

null

Romb

Romb je paralelogram kojemu su sve stranice jednakih duljina.

Romb s istaknutim dijagonalama koje su pod pravim kutom.
Dijagonale romba međusobno se
pod
kutom.
kutovi
romba
su
veličina, a
kutovi
romba nadopunjuju se do 180 ° .

Pomoć:

Govorimo li o unutarnjim kutovima paralelograma (pa i romba), razlikujemo nasuprotne i susjedne kutove.

null

...i na kraju

Paralelogram, sve oznake
Potpuno označeni paralelogram.

Odaberi točne tvrdnje.

null
null

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh