x
Učitavanje

2.3 Svojstva trokuta

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Zašto trgovac nije mogao izrezati tepih traženog oblika i tih dimenzija?

Praktična vježba

Pripremi papir, olovku, šestar i ravnalo. Zapiši duljine stranica traženog tepiha oblika trokuta umanjene 100 puta, u cm . Pokušaj nacrtati na papiru trokut koji ima te duljine stranica. Što primjećuješ?

Nejednakost trokuta

Pri konstrukciji trokuta s duljinama stranica 3 cm , 5 cm i 1 cm očito je da su duljine dviju stranica prekratke pa se ne mogu spojiti u trokut.

Što misliš bismo li mogli nacrtati trokut s duljinama stranica 3 cm , 5 cm i 2 cm ?

Razmisli za koje duljine stranica možeš nacrtati trokut.

Više odgovora je točno.

Pomoć:

Trokute crtaš s pomoću šestara i ravnala.

Probaj zaključiti što mora vrijediti za duljine stranica trokuta da bismo ga mogli nacrtati.
Trokut možemo nacrtati ako je

duljina
dvije
stranice
od
duljine najdulje stranice.

Pomoć:

Promotri prethodne zadatke i malo razmisli.

Zapišimo zaključak matematičkim jezikom.

Nejednakost trokuta

Trokut postoji ako mu je zbroj duljina dvije kraće stranice veći od duljine najdulje stranice.

Za duljine stranica a , b , c trokuta A B C mora vrijediti a + b > c , b + c > a , a + c > b .

To svojstvo nazivamo nejednakost trokuta.

Za duljine stranica trokuta vrijedi da zbroj duljina dviju stranica mora biti veći od duljine treće stranice.

Što vrijedi za veličine kutova trokuta?

Unutarnji kutovi trokuta

U animaciji je pokazano da je zbroj veličina unutarnjih kutova u trokutu 180 ° .

Praktična vježba

Nacrtaj bilo koji trokut u bilježnicu i izmjeri kutomjerom veličine njegovih unutarnjih kutova. Zbroji veličine dobivenih kutova. Dobit ćeš svaki put, ako točno mjeriš, približno 180 ° , jer mjerenje nije uvijek potpuno precizno i točno.

Ako se znaš koristiti GeoGebrom, napravi isti pokus u GeoGebri.

Logo GeoGebre
Na slici je logo GeoGebre, interaktivnog digitalnog alata namijenjenog za učenje matematike.

Zanimljivost

GeoGebra je digitalni alat namijenjen učenju matematike. Dinamična je, interaktivna, besplatna i prilagođena gotovo svim vrstama uređaja. Rado je prihvaćaju nastavnici i njihovi učenici radi njezine jednostavnosti, praktičnosti, zanimljivosti i korisnosti.  Za korištenje alata treba instalirati aplikaciju GeoGebre s pristupom internetu i mrežnim preglednikom koji je ažuriran na posljednju verziju. Na adresi se nalazi početna stranica na kojoj je dostupno više informacija.

Sada možemo zapisati ovo važno svojstvo trokuta.

Zbroj veličina unutarnjih kutova u trokutu

Zbroj je veličina unutarnjih kutova u trokutu 180 ° .

Primjer 1.

Izračunaj veličinu nepoznatog kuta trokuta A B C sa slike.

Izračunaj veličinu trećeg kuta
Poznate su veličine dva unutarnja kuta trokuta 28° i 48°.

α + β + γ = 180 °

48 ° + 28 ° + γ = 180 °

76 ° + γ = 180 °

γ = 180 ° - 76 °

γ = 104 °


Kutak za znatiželjne

Razmisli.

Može li trokut imati dva prava kuta?

Pomoć:

Pravi kut ima 90 ° . Zbroj sva tri kuta u trokutu je 180 ° .

null

Može li trokut imati dva tupa kuta?

Pomoć:

Tupi kut ima više od 90 ° . Zbroj sva tri kuta u trokutu je 180 ° .

null

Vanjski kutovi trokuta

Kutovi α ' , β ' i γ ' su vanjski kutovi trokuta A B C sa slike.

Vanjski kutovi trokuta
Trokut ABC s unutrašnjim kutovima α, β, γ i vanjskim kutovima α’, β’, γ’
Dva vanjska kuta uz isti vrh
Svaki vrh trokuta ima dva vanjska kuta koji su jednakih veličina.

Zanimljivost

Svaki unutarnji kut trokuta ima dva vanjska kuta. Vanjski su kutovi uz isti vrh vršni kutovi pa su i jednakih veličina. Kada crtamo vanjski kut trokuta, biramo po želji koji ćemo nacrtati. Vrlo se rijetko crtaju oba vanjska kuta uz neki vrh.

Prisjetimo se.

Sukuti

Sukuti su kutovi koji zajedno čine ispruženi kut i imaju jedan krak zajednički. Zbroj veličina sukuta je 180 ° .

Sukuti
Prisjetimo se kako izgledaju sukuti.

Zaključujemo

Vanjski kut trokuta

Vanjski kut trokuta je kut koji je sukut unutarnjem kutu trokuta.

Zbroj veličina vanjskih kutova u trokutu

Vanjski kutovi trokuta

Pogledaj sliku i odaberi točan odgovor.
Ako je α + α ' = 180 ° , β + β ' = 180 ° , γ + γ ' = 180 ° , onda je α + α ' + β + β ' + γ + γ ' =  

.

Pomoć:

Uvrsti umjesto svakog zbroja sukuta broj 180 ° .

Postupak:

180 °   +   180 °   +   180 °   =   540 °

Znamo da je α + β + γ = 180 ° . Ako to uvrstimo u izraz α + β + γ + α ' + β ' + γ ' = 540 ° , dobit ćemo da je α ' + β ' + γ ' =

jer
je 180 ° +

=
540 ° .

Pomoć:

180 ° + α ' + β ' + γ ' = 540 °  

Postupak:

α ' + β ' + γ ' = 540 ° - 180 ° = 360 °  

Zapišimo svojstvo vanjskih kutova trokuta.

Zbroj veličina vanjskih kutova u trokutu

Zbroj veličina vanjskih kutova u trokutu je 360 ° .

Odnos duljina stranica i veličina kutova u trokutu

U interakciji izračunaj treći kut ponuđenog trokuta i zatim usporedi duljine stranica i veličine kutova u tom trokutu, počevši od najkraće stranice, odnosno najmanjeg kuta. Što primjećuješ?

Odnos duljina stranica i veličina kutova u trokutu

Nasuprot kraće stranice nalazi se manji kut.

Nasuprot manjeg kuta nalazi se kraća stranica.

Pokušaj izreći ovo svojstvo trokuta na drugi način.
Nasuprot dulje
trokuta
nalazi se
kut.
Nasuprot većeg
nalazi
se
stranica.

Pomoć:

Pogledaj još jednom interakciju i gornju tvrdnju te razmisli.

Znanstveni kalkulator
Na znanstvenom kalkulatoru treba uočiti tipke na kojima piše sin, cos i tan.

Zanimljivost

Odnos stranica u trokutu je takav da se nasuprot kraćoj stranici nalazi manji kut, ali ne u istom omjeru. To znači da ako je primjerice stranica a trokuta A B C upola kraća od stranice b , kut α jest manji od kuta β , ali nije upola manji od kuta β , i tako dalje. Omjer duljina stranica i veličina kutova u trokutu definira se poučkom o sinusima koji se uči u srednjoj školi. Taj dio matematike zove se trigonometrija. Na znanstvenom kalkulatoru postoje tipke na kojima piše sin, cos i tan. S pomoću njih računa se sinus, kosinus ili tangens kuta. Ako te zanima više, možeš zaviriti u DOS - Matematika 3.

Primjer 2.

Poredaj po veličini duljine stranica trokuta sa slike počevši od najkraće.

Odnos duljina stranica i veličina kutova u trokutu
U trokutu su označene veličine dva njegova kuta 40°i 75°.

Prvo treba izračunati veličinu trećeg kuta u trokutu sa slike.

γ = 180 ° ( 40 ° + 75 ° ) = 180 ° 115 ° = 65 ° .

Zatim se usporede veličine kutova počevši od najmanjeg.

40 ° < 65 ° < 75 ° , odnosno β < γ < α .

S obzirom na to da se nasuprot manjeg kuta nalazi kraća stranica, zaključujemo da je

b < c < a .


Kutak za znatiželjne

Spoji parove veličina kutova trokuta sa slike.

Za znatiželjne, izračunaj veličine kutova u trokutu. Kut kod točke A je dva puta veći, kut kod točke B je 4 puta veći i kut kod točke C je 3 puta veći.
α
40 °
γ
60 °
β
80 °

Pomoć:

α = 2 x = 2 · x

β = 4 x = 4 · x

γ = 3 x = 3 · x

α + β + γ = 180 °

Postupak:

2 · x + 4 · x + 3 · x = 180 °

9 · x = 180 °

x = 180 ° : 9 = 20 °

α = 2 · 20 ° = 40 °

β = 4 · 20 ° = 80 °

γ = 3 · 20 ° = 60 °

...i na kraju

Trokut ima razna svojstva. Ponovimo svojstva trokuta naučena u ovoj jedinici:

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh