Matematika 6 - 4.3 Proširivanje razlomaka

Proširivanje

Na temelju crteža iz uvodnog zadatka zaključili smo da razlomci $\frac{1}{4}$ i $\frac{2}{8}$ imaju istu vrijednost pa vrijedi $\frac{1}{4} = \frac{2}{8} .$

Kojim računskim postupkom, bez crtanja, možemo od $\frac{1}{4}$ dobiti $\frac{2}{8} ?$

I brojnik i nazivnik možemo pomnožiti brojem $2 .$

Pišemo $\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8} .$

Možemo se koristiti i nešto drukčijim zapisom u kojemu se ljepše vidi zadani razlomak $\frac{1^{\cdot 2}}{4_{\cdot 2}} = \frac{2}{8} .$

Opisani postupak nazivamo proširivanje razlomka.

Proširivanje razlomka

Proširiti razlomak znači pomnožiti i brojnik i nazivnik istim brojem različitim od nule.

Proširivanjem se vrijednost razlomka ne mijenja.

Kolekcija zadataka #1

Proširi razlomak $\frac{1}{3}$ s $3$ i nacrtaj sliku. Kao cjelinu najzgodnije je crtati kvadrat, pravokutnik ili krug.

I brojnik i razlomak treba pomnožiti s $3 .$

$\frac{1^{\cdot 3}}{3_{\cdot 3}} = \frac{3}{9}$

Pravokutnik čija je trećina podijeljena na trećine. — Proširivanje razlomaka

Odaberi jednakost koja opisuje prikazani crtež?

Kvadrat čije su tri četvrtine podijeljena svaka na trećine.

\frac{3}{9}

\frac{9}{12}

\frac{3}{12}

Pomoć:

Na crtežu je istaknuto $\frac{3}{4}$ kvadrata. Svaka ta četvrtina podijeljena je na tri jednaka dijela i time su dobivene dvanaestine kvadrata. Kvadrat ima dvanaest dvanaestina, a istaknuto je njih devet pa je rješenje...

Spoji razlomke jednakih vrijednosti.

$\frac{4}{3} =$	$\frac{8}{6}$
$\frac{1}{7} =$	$\frac{3}{21}$
$\frac{3}{5} =$	$\frac{15}{6}$
$\frac{5}{2} =$	$\frac{12}{20}$

Pomoć:

Ne zaboravi da prošireni razlomci imaju jednaku vrijednost. Parove ćeš otkriti odrediš li uspješno brojeve s kojima treba proširiti razlomke u lijevom stupcu.

null

Proširivanje razlomaka svođenjem na isti nazivnik

Želimo li razlomke međusobno usporediti, zbrojiti ili oduzeti oni moraju imati jednake nazivnike.

Primjer 1.

Proširi razlomke $\frac{1}{4},$ $\frac{3}{2},$ $\frac{5}{3}$ i $\frac{5}{6}$ tako da im svima nazivnik bude $12 .$

Ako je zadan nazivnik proširenog razlomka (u ovom slučaju $12$ ), potrebno je samo otkriti broj s kojim proširujemo koji razlomak. Prvi razlomak tako ćemo proširiti s $3$ jer je $4 \cdot 3 = 12,$ drugi sa $6$ jer je $2 \cdot 6 = 12,$ treći s $4$ jer je $3 \cdot 4 = 12,$ a posljednji s $2$ jer je $6 \cdot 2 = 12 .$

$\frac{1^{\cdot 3}}{4_{\cdot 3}} = \frac{3}{12},$ $\frac{3^{\cdot 6}}{2_{\cdot 6}} = \frac{18}{12},$ $\frac{5^{\cdot 4}}{3_{\cdot 4}} = \frac{20}{12},$ $\frac{5^{\cdot 2}}{6_{\cdot 2}} = \frac{10}{12}$

Primjer 2.

Zapiši razlomke $\frac{3}{8}$ i $\frac{5}{6}$ tako da imaju isti nazivnik.

Da bismo zadane razlomke zapisali s istim nazivnikom, ili možemo reći – sveli ih na isti nazivnik – moramo prvo odrediti koji će broj biti taj nazivnik. U prethodnom zadatku rekli smo da taj nazivnik treba biti višekratnik nazivnika zadanih razlomaka.

Tražimo višekratnik brojeva $8$ i $6 .$ Najjednostavnije je odrediti najmanji zajednički višekratnik, što označavamo s $V (8, 6) .$

Možemo to učiniti brzim usmenim postupkom.

odaberemo veći od dva zadana broja: $8$
redom nabrajamo njegove višekratnike i za svaki od njih se pitamo je li ujedno i višekratnik onog drugog broja, u ovom slučaju broja $6$ $\to$ $8$ (nije višekratnik broja $6$ ), $16$ (nije), $24$ (je)

našli smo najmanji zajednički višekratnik nazivnika (od beskonačno mnogo njih): $V (8,6) = 24$
nastavljamo postupak proširivanja kao u ranijim zadatcima

$\frac{3^{\cdot 3}}{8_{\cdot 3}} = \frac{9}{24} \frac{5^{\cdot 4}}{6_{\cdot 4}} = \frac{20}{24} .$

Primjer 3.

Svedi na isti nazivnik razlomke $\frac{5}{24}$ i $\frac{7}{36} .$

Najmanji zajednički višekratnik nazivnika ponovno možemo naći nabrajanjem višekratnika broja $36$ (jer je veći od drugog nazivnika). Oni koji su spretniji s množenjem i dijeljenjem dvoznamenkastih brojeva, brzo će otkriti da je traženi broj – broj $72,$ jer vrijedi:

$2 \cdot 36 = 72 3 \cdot 24 = 72 .$

$V (24, 36) = 72$

Svedimo ih proširivanjem na isti nazivnik:

$\frac{5^{\cdot 3}}{24_{\cdot 3}} = \frac{15}{72} \frac{7^{\cdot 2}}{36_{\cdot 2}} = \frac{14}{72} .$

Pri određivanju zajedničkog nazivnika razlomcima najjednostavnije je odrediti upravo najmanji zajednički nazivnik, a to možemo učiniti na više načina:

1. uzastopnim nabrajanjem višekratnika (kao što je opisano u rješenju primjera 1.)

2. rastavljanjem nazivnika na faktore (ne nužno proste)

3. primjenom postupka s crtom ili

4. napamet.

U animaciji koja slijedi možeš vidjeti kako se, već poznatim postupcima, može odrediti najmanji zajednički višekratnik dva zadana broja.

Određivanje V(a,b) postupkom s crtom i rastavljanjem na faktore

Pri svođenju razlomaka na isti nazivnik najjednostavnije je odrediti najmanji zajednički višekratnik zadanih nazivnika.

Najmanji zajednički višekratnik

Najmanji zajednički višekratnik neka dva broja je najmanji broj koji je djeljiv zadanim brojevima.

Kolekcija zadataka #3

Razlomci $\frac{1}{6}$ i $\frac{7}{12}$ svedeni su na najmanji zajednički nazivnik. Odaberi točan par razlomaka.

\frac{1}{6}

i

\frac{7}{6}

\frac{4}{24}

i

\frac{14}{24}

24

je zajednički nazivnik, ali nije najmanji (što je bio uvjet zadatka).

\frac{2}{12}

i

\frac{7}{12}

Pomoć:

Odredi najmanji zajednički višekratnik brojeva $6$ i $12$ jednim od opisanih postupaka (npr. nabrajanjem višekratnika).

null

Opiši, točnim redoslijedom, postupak svođenja razlomaka na zajednički nazivnik.

Proširi razlomke tako da im nazivnici budu jednaki.
Odredi (najmanji) zajednički višekratnik danih nazivnika.
Uoči nazivnike zadanih razlomaka.

null

Svesti na

nazivnik znači

preoblikovati razlomak tako da im nazivnici budu

. Najčešće određujemo

zajednički višekratnik

.

zajednički

nazivnika

proširivanjem

jednaki

najmanji

null

Povlačenjem spoji par brojeva i njihov najmanji zajednički višekratnik.

$10$ i $5$	$8$
$5$ i $6$	$30$
$6$ i $4$	$12$
$8$ i $3$	$24$
$1$ i $8$	$10$

null

Svedi na najmanji zajednički nazivnik brojeve $1 \frac{3}{5}$ i $\frac{3}{2} .$

Prvo je potrebno mješoviti broj zapisati u obliku razlomka:

$1 \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$ (jer jedno cijelo ima pet petina i još ove tri petine su osam petina).

Najmanji zajednički višekratnik brojeva $5$ i $2$ možeš odrediti nabrajanjem: $5$ (nije), $10$ (je).

$1 \frac{3}{5} = \frac{8^{\cdot 2}}{5_{\cdot 2}} = \frac{16}{10} \frac{3^{\cdot 5}}{2_{\cdot 5}} = \frac{15}{10}$

Postotak riješenosti ispita

Pri ocjenjivanju pisanih provjera znanja učitelji vrlo često zapisuju bodove na način: ostvareni bodovi / mogući broj bodova, npr. $4 / 5,$ što bi značilo da je od $5$ mogućih bodova učenik ostvario $4$ boda. Matematičari bi rekli da je taj učenik ostvario $\frac{4}{5}$ mogućih bodova.

Zanimljivost

Kako izračunati postotak riješenosti u situacijama kada se nazivnik, odnosno mogući broj bodova, ne može proširiti na broj $100,$ naučit ćeš u modulu Računanje s razlomcima.

Kolekcija zadataka #4

Na Olegovu ispitu učiteljica je zapisala bodove $21 / 25 .$ Koliki je postotak ostvario Oleg?

96 %

84 %

96 %

Pomoć:

Zapiši zapisani broj bodova u obliku razlomka (pročitaj zanimljivost) i proširi razlomak tako da nazivnik bude $100 .$

null

Izračunaj postotak riješenosti pisane provjere za Majine prijateljice i spoji parove.

Elena $\frac{34}{50}$	$= 85 %$
Jelena $\frac{24}{25}$	$= 96 %$
Helena $\frac{4}{5}$	$= 80 %$
Lena $\frac{17}{20}$	$= 68 %$

Pomoć:

Proširi svaki razlomak tako da nazivnik bude broj $100 .$

Postupak:

Podsjetnik:

$5 \cdot 20 = 100 4 \cdot 25 = 100 2 \cdot 50 = 100$

Na Tonijevu testu zapisani su bodovi $15 / 20 .$ Procijeni, uz dani kriterij, koju će ocjenu dobiti Toni.

Zelena ploča na kojoj je napisan kriterij: (5) 86 % – 100 %, (4) 77 % – 85 %, (3) 60 % – 76 %, (2) 45 % – 59 %, (1) 0 % – 44 %

nedovoljan (1)

Provjeri točnost svoje procjene proširivanjem razlomka na razlomak s nazivnikom

100 .

dovoljan (2)

Provjeri točnost svoje procjene proširivanjem razlomka na razlomak s nazivnikom

100 .

dobar (3)

vrlo dobar (4)

Provjeri točnost svoje procjene proširivanjem razlomka na razlomak s nazivnikom

100 .

odličan (5)

Provjeri točnost svoje procjene proširivanjem razlomka na razlomak s nazivnikom

100 .

Postupak:

$\frac{15^{\cdot 5}}{20_{\cdot 5}} = \frac{75}{100} = 75 %$

Toni će, prema danom kriteriju, dobiti ocjenu dobar (3).

Uspoređivanje

Kolekcija zadataka #5

Imaju li razlomci jednake nazivnike, veći je onaj koji ima

brojnik.

Pomoć:

manji ili veći

null

Viktor i Iva natječu se tko će brže pročitati lektiru. Iva je do sada pročitala $\frac{7}{9},$ a Viktor $\frac{5}{6}$ iste knjige. Tko je, za sada, uspješniji?

Iva

Viktor

Pročitali su jednako mnogo.

Pomoć:

Razlomke svedi na zajednički nazivnik i tada usporedi.

Postupak:

$\frac{7^{\cdot 2}}{9_{\cdot 2}} = \frac{14}{18} \frac{5^{\cdot 3}}{6_{\cdot 3}} = \frac{15}{18}$

$\frac{14}{18} < \frac{15}{18}$ iz čega slijedi da je veći dio knjige pročitao Viktor.

Zlata jako voli cvijeće i dogovorila se s roditeljima da dio vrta pretvori u cvjetnjak. Kako bi posadila što više vrsta cvijeća, podijelila je vrt na $12$ jednakih parcela. Na pet dvanaestina posadila je narcise, na jednu dvanaestinu stavila je lukovice tulipana, četiri dvanaestine u proljeće će zažutjeti jaglaci, a na preostali dio posijala je neven. Poredaj cvijeće prema veličini parcele koju zauzima, od veće prema manjoj.

narcis
neven
tulipan
jaglac

Pomoć:

Od dvaju razlomaka jednakih nazivnika veći je onaj koji ima veći brojnik.

null

Sofija i Janko štede za novo računalo. Sofijina ušteđevina iznosi $\frac{7}{6}$ Jankove ušteđevina. Čija je ušteđevina veća?

Veća je

ušteđevina.

Pomoć:

Je li $\frac{7}{6}$ veće ili manje od jednog cijelog?

null

Odredi koju vrijednost može imati broj $x, x \in N$ za pojedinu nejednakost pa spoji parove.

$\frac{x}{6} \leq \frac{5}{6}$	$x \in \{8, 9, 10, 11\}$
$\frac{x}{5} < 1$	$x \in \{9, 10, 11\}$
$\frac{7}{15} < \frac{x}{15} \leq \frac{11}{15}$	$x \in \{1, 2, 3, 4\}$
$1 \leq \frac{x}{9} < \frac{12}{9}$	$x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

null

Istražimo

Ako su $a, b \in N$ i broj $a$ je djelitelj broja $b,$ odredi $D (a, b)$ i $V (a, b) .$

Rješenje ćeš naslutiti nakon dovoljnog broja riješenih primjera.

Istražimo

Ako su $a, b \in N$ i $a$ i $b$ su relativno prosti brojevi, odredi $D (a, b)$ i $V (a, b) .$

...i na kraju

Ponovimo.

Što znači proširiti razlomak?
U kojim situacijama proširujemo razlomke tako da im nazivnik bude najmanji zajednički višekratnik njihovih nazivnika?
Što znači skratiti razlomak?
Zašto pri skraćivanju razlomka dokraja izračunavamo najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika?

4.3 Proširivanje razlomaka

Na početku...

Proširivanje

Proširivanje razlomka

Kolekcija zadataka #1

Proširivanje razlomaka svođenjem na isti nazivnik

Primjer 1.

Kolekcija zadataka #2

Primjer 2.

Primjer 3.

Najmanji zajednički višekratnik

Kolekcija zadataka #3

Postotak riješenosti ispita

Zanimljivost

Kolekcija zadataka #4

Uspoređivanje

Kolekcija zadataka #5

Istražimo

Istražimo

...i na kraju