x
Učitavanje

7.2 Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom i njezino rješenje

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Samostalno učenje icon samostalno učenje
Procjena znanja icon procjeni znanje
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Filip ima 35 kn .   Počastio se s tri kuglice sladoleda. Kada je platio, ostalo mu je još 8 kn . Kolika je cijena jedne kuglice?

Sladoled
Posude s raznim vrstama sladoleda u slastičarnici.

Linearne jednadžbe

Za ovaj zadatak nije odmah vidljiva računska radnja. Da bismo saznali cijenu jedne kuglice, moramo zadatak prvo matematički zapisati. Nakon toga razmislimo kojim bismo računskim radnjama mogli saznati cijenu. Na kraju trebamo provjeriti ima li dobiveno rješenje smisla.

Za razliku od algebarskih izraza u problemu sa sladoledom znamo koliko Filip ima novaca na početku pa problem možemo zapisati u obliku jednakosti. Odaberi točnu jednakost.

Pomoć:

Cijenu kuglice označi slovom x .

Postupak:

Zapiši izraz kojim opisuješ da od broja 35 oduzimaš trostruki broj x i ostane ti 8 .

Za rješenje problema moramo prvo izračunati razliku ukupne svote i količine novca koja je ostala Filipu,

 
, zatim rješenje te razlike podijeliti s
 
.
35 - 8
3

Pomoć:

Dobro pogledaj matematički izraz i razmisli.

Postupak:

Prvo treba saznati koji broj treba oduzeti od 35 da se dobije 8 . Zatim treba razmisliti koji broj pomnožen s 3 daje tu razliku.

Cijena jedne kuglice je 8 kn .

Pomoć:

Rješenje pomnoži s 3 , oduzmi od 35 i ako dobiješ 8 , rješenje je dobro.

Postupak:

35 - 3 · 8 ≠ 8

35 - 3 · 9 = 8

Ako pogledamo matematički zapis problema sa sladoledom, vidimo da s lijeve i s desne strane jednakosti imamo algebarske izraze.

Jednadžba

Matematički zapis u kojem imamo s lijeve i s desne strane jednakosti algebarske izraze zovemo jednadžba.

U animaciji pogledaj neke vrste jednadžbi.

Za sada ćemo se baviti samo linearnim jednadžbama.

Zadatak 1.

Razvrstaj zadane jednadžbe.

2 x 2 + 1 = 19

Linearna jednadžba

Nije linearna jednadžba

Pomoć:

Pogledaj dobro animaciju i prepoznaj linearne jednadžbe među ponuđenima.

U jednadžbama imamo slova čiju vrijednost moramo otkriti matematičkim postupcima.

Nepoznanica

Nepoznati broj označen slovom u jednadžbi čiju vrijednost moramo otkriti matematičkim postupcima zovemo nepoznanica.

Jednadžbe mogu imati jednu ili više nepoznanica. Isto slovo u jednoj jednadžbi predstavlja istu nepoznanicu. Ako imamo više različitih slova, onda imamo i više nepoznanica u jednadžbi.

Zadatak 2.

Razvrstaj jednadžbe po broju nepoznanica.

  5 x + 2 - 3 x + 8 = 8 x - 4 + 2 x - 5

Jednadžbe s jednom nepoznanicom

Jednadžbe s više nepoznanica

Pomoć:

Isto slovo znači istu nepoznanicu. Ako su u jednadžbi dva ili više različitih slova, onda je to jednadžba s više nepoznanica.

Postupak:

Ako piše na više mjesta slovo x i nema ni jednog drugog slova u jednadžbi, onda je to jednadžba s jednom nepoznanicom.

Zaključimo.

Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom

Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom x je jednadžba oblika a x + b = 0 , gdje su a i b zadani brojevi.

Matematički zapis linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom

Prisjetimo se matematičkog zapisa algebarskih izraza.

Zadatak 3.

Zadane rečenice zapiši u obliku algebarskog izraza. Odaberi točan zapis.

Broj za 8 veći od x .
Broj x uvećaj 8 puta.
Broj x umanji za 8 .
Broj koji je 8 puta manji od x .

Pomoć:

Dobro pročitaj rečenice i zapiši ih u obliku algebarskog izraza.

Postupak:

Uvećati za neki broj znači zbrajanje, umanjiti za neki broj znači oduzimanje. Uvećati nekoliko puta znači množenje, umanjiti nekoliko puta znači dijeljenje.

Razmisli.

Zadatak 4.

Odaberi riječi koje u rečenici znače jednakost.

Pomoć:

Rečenicu treba pročitati s razumijevanjem.

Postupak:

Riječi koje u rečenici znače jednakost su jednako je, je, daje, dobit ćemo, dobit ćeš, postaje, bit će i tome slično.

Riječi koje u rečenici znače jednakost označavaju da se radi o jednadžbi. Pokušaj zapisati sljedeće rečenice kao linearne jednadžbe.

Zadatak 5.

Spoji parove rečenica i njihov zapis s pomoću linearnih jednadžbi.

Broj x umanjen 25 puta daje 8 .
x + 8 = 25
Broj x uvećan za 8 daje 25 .
8 - x = - 32
Ako broj 8 umanjimo za neki broj, dobit ćemo - 32 .
x · 8 = 32
Broj koji je 8 puta veći od x jednak je 32 .
x 25 = 8  

Pomoć:

Dobro pročitaj zadatak i razmisli o matematičkom zapisu.

Postupak:

Uvećati za znači zbrajanje, uvećati nekoliko puta znači množenje, umanjiti za znači oduzimanje, umanjiti nekoliko puta znači dijeljenje. Dijeljenje možemo zapisati u obliku razlomka.

U sljedećim zadatcima rečenice zapiši linearnom jednadžbom.

Praktična vježba

Za zadanu linearnu jednadžbu x - 13 = 45 smisli rečenicu. Možete se u razredu dogovoriti i svatko zadati jednu linearnu jednadžbu, a ostali učenici trebaju smisliti rečenice za tu linearnu jednadžbu. Najzanimljivije rečenice stavite na pano i neka učenici iz drugih razreda zapišu linearne jednadžbe za njih.

Rješenje linearne jednadžbe

Prisjetimo se zadatka sa sladoledom s početka jedinice.

U zadatku sa sladoledom Filip je na početku imao

 
kn , a nakon što je kupio
 
kuglice sladoleda ostalo mu je
 
kn . Tu rečenicu smo zapisali u obliku linearne jednadžbe
 
. Uz malo računanja došli smo do zaključka da je cijena jedne kuglice
 
kn .
3
9
35
8
35 - 3 x = 8

Pomoć:

Pogledaj zadatak na početku ove jedinice.

null

Za linearnu jednadžbu

 
broj
 
je rješenje jer vrijedi
 
= 35 - 27 =
 
. Kažemo da smo broj 9
 
u linearnu jednadžbu.
35 - 3 · 9  
8
9
uvrstili
35 - 3 x = 8  

Pomoć:

Zamijeni slovo x brojem 9 u zadanoj linearnoj jednadžbi.

null

Zadatak 6.

Uvrsti broj koji daje točno rješenje linearne jednadžbe tako da ga dovučeš na mjesto nepoznanice x na slici.

Stilizirani neboder kome na prozorima pišu članovi linearne jednadžbe.
2 5
3
16
- 7

Pomoć:

U bilježnici ili napamet uvrsti broj umjesto x u linearnu jednadžbu i provjeri istinitost jednakosti.

Zaključimo.

Rješenje linearne jednadžbe

Rješenje linearne jednadžbe je broj koji pri uvrštavanju umjesto nepoznanice daje istinitu jednakost.

Primjer 1.

Provjeri je li broj 5 rješenje linearne jednadžbe 2 x + 3 = 13 . Pravilan postupak provjere pogledaj u rješenju primjera.

Da bismo provjerili je li neki broj rješenje linearne jednadžbe, moramo ga uvrstiti umjesto nepoznanice. Pritom prepisujemo sve ostale brojeve i računske radnje u jednadžbi i to s obiju strana jednadžbe.

2 · 5 + 3 = 13

10 + 3 = 13

13 = 13  

Broj 5 je rješenje zadane linearne jednadžbe.

Primjer 2.

Provjeri je li broj 7 rješenje linearne jednadžbe 7 x + 8 = 56 . Zadatak riješi u bilježnicu postupkom iz prethodnog primjera, a zatim svoj zaključak provjeri u ponuđenom rješenju.

Uvrsti broj 7 umjesto x u zadanu jednadžbu.

7 · 7 + 8 = 56

49 + 8 = 56

57 ≠ 56  

Jednakost nije istinita pa kažemo da broj 7 nije rješenje zadane linearne jednadžbe.

Uvježbajmo.

Broj rješenja linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom

Na prvi se pogled čini da svaka linearna jednadžba s jednom nepoznanicom ima jedno rješenje. No, je li to baš tako, istraži u sljedećim zadatcima.

Istražimo

Ispitaj koji je od ponuđenih brojeva rješenje jednadžbe 3 x + 1 - 2 x = x + 3 . Označi sve koji to jesu.

Pomoć:

Uvrsti svaki broj i za svaki napravi provjeru linearne jednadžbe.

Postupak:

1. 3 0 + 1 - 2 · 0 = 0 + 3

3 = 3

2. 3 2 + 1 - 2 · 2 = 2 + 3

5 = 5

3. 3 - 1 + 1 - 2 · - 1 = - 1 + 3

2 = 2

4. 3 1 2 + 1 - 2 · 1 2 = 1 2 + 3

3 1 2 = 3 1 2

5. 3 1.2 + 1 - 2 · 1.2 = 1.2 + 3

4.2 = 4.2

6. 3 1 000 + 1 - 2 · 1 000 = 1 000 + 3

1 003 = 1 003

Za zadanu jednadžbu smisli još neki broj. Uvrsti taj broj i uvjeri se da je i on rješenje zadane linearne jednadžbe.

Za linearnu jednadžbu 3 x + 1 - 2 x = x + 3 kažemo da ima beskonačno mnogo rješenja.

Za linearnu jednadžbu 0 · x = 5

broj
koji možemo uvrstiti da dobijemo istinitu jednakost.

Pomoć:

Prisjetimo se svojstva množenja brojeva s nulom.

Postupak:

Kada bilo koji broj množimo s 0 rješenje je uvijek 0 .

0 · x = 5

0 ≠ 5

Za bilo koji broj koji uvrstimo umjesto x ne možemo dobiti istinitu jednakost.

Za linearnu jednadžbu 0 · x = 5 kažemo da nema rješenja.

Zaključimo.

Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom može imati točno jedno rješenje, može imati beskonačno mnogo rješenja ili može biti takva da nema ni jedno rješenje.

Izrazi nepoznatu veličinu

Pokušaj napamet izraziti nepoznate veličine pazeći na vezu između računskih radnji.

Zanimljivost

Ako nismo sigurni koju računsku radnju odabrati da bismo izrazili nepoznatu veličinu iz jednostavne linearne jednadžbe, možemo si pomoći jednostavnim brojevnim izrazima. Takvi izrazi su npr.   2 + 3 = 5 , 5 - 3 = 2 , 2 · 3 = 6 ili 6 : 3 = 2 . Označimo broj koji se nalazi na mjestu nepoznate veličine i razmislimo kojom računskom radnjom bismo izračunali taj označeni broj pomoću preostalih brojeva iz brojevnog izraza.

Kutak za znatiželjne

Izrazi nepoznate veličine iz matematičkih izraza i nekih poznatih formula koristeći se vezom računskih radnji.

Zadatak 7.

Izrazi veličinu a iz algebarskog izraza ako su  a , b ≠ 0 . Spoji parove.

a - b = c
a = c · b
a : b = c
a = c : b
a · b = c
a = c + b
a + b = c
a = c - b

Pomoć:

Zamisli da su umjesto a , b i c brojevi.

Postupak:

Razmisli kojom bismo računskom radnjom saznali broj koji se nalazi na mjestu a u izrazu.

Izrazi veličinu b iz algebarskog izraza ako su  a , b ≠ 0 . Spoji parove.

a + b = c
b = a - c
a : b = c
b = c : a
a · b = c
b = a : c
a - b = c
b = c - a

Pomoć:

Zamisli da su umjesto a , b i c brojevi.

Postupak:

Razmisli kojom bismo računskom radnjom saznali broj koji se nalazi na mjestu b u izrazu.

Zadatak 8.

Izrazi veličinu a iz formule za opseg ili površinu ako su a , b , c , o , p i v a pozitivni racionalni brojevi. Spoji parove.

o = a + 2 b
a = o - b - c
p = a · v a 2
a = 2 · p : v a
o = a + b + c
a = p : b
p = a · b
a = o - 2 b

Pomoć:

Zamisli da su umjesto slova u formulama brojevi.

Postupak:

Razmisli kojom bismo računskom radnjom saznali broj koji se nalazi na mjestu a u formuli.

Praktična vježba

Prisjeti se još nekih formula i izrazi nepoznate veličine iz tih formula koristeći se vezom između računskih radnji.

...i na kraju

Odigraj igru memory s prijateljima. U igri se nalazi 12 kartica. Na 6 se kartica nalaze linearne jednadžbe, a na 6 se kartica nalaze rješenja tih linearnih jednadžbi. Kartice su okrenute naopako da se ne vidi što piše. Igrači redom okreću po dvije kartice. Treba spojiti par kartica na kojima su linearna jednadžba i njezino rješenje. Ako ne možeš napamet odgonetnuti je li broj na otkrivenoj kartici rješenje linearne jednadžbe na drugoj otkrivenoj kartici, napravi provjeru u bilježnici. Igra je gotova kada su spojeni svi parovi. Pobjednik u igri je onaj tko skupi najviše parova.

Povećaj interaktivni prikaz
Povratak na vrh