Matematika 6 - 3.3 Primjena potencija baze 10

Na početku...

Dokazi o postojanju pretpovijesnih ljudi stari su

200 000

godina. Prema njima pretpostavlja se kako su prvi ljudi živjeli u Africi, a potom su migrirali u ostale dijelove svijeta. Pogledaj videozapis i uoči kako su se ljudi raširili po planetu.

Ljudska populacija

Primijeti kako je 1. godine na svijetu bilo $170$ milijuna ljudi. Ljudska je populacija brojila $1$ milijardu tek iza 1800. godine, a prema procjenama danas na svijetu živi $7.5$ milijardi ljudi. Dakle, bilo je potrebno $200 000$ godina kako bi ljudska populacija dosegnula milijardu stanovnika, a samo $200$ godina kako bismo došli do $7.5$ milijardi stanovnika.

Razmisli zašto je to tako i što utječe na ekspanziju broja stanovnika u posljednjih 200 godina.

Veliki brojevi

Problem imenovanja velikih brojeva pojavio se u davnim vremenima. Najveći broj u Grčkoj koji je imao naziv bio je mirijarda, koja je vrijedila $10^{4} .$

Arhimed je stvorio poseban sustav označavanja brojeva većih od mirijarde i procijenio kako je najveći broj $100 000 000^{100 000 000^{100 000 000}} .$ Za zapisivanje najvećeg broja u Arhimedovu sustavu potrebno je $80 000 000 000 000 000$ znamenaka.

Crno bijela ilustracija grčkog matematičara Arhimeda. — Arhimed

Isto tako, početkom prošloga stoljeća, američki matematičar Edward Kasner zamolio je svog nećaka, tada devetogodišnjeg dječaka Miltona Sirotta, da nadjene ime broju $10^{100},$ broju sa sto nula. On je izmislio naziv googol.

Kako bi nazivi velikih brojeva i mjerne jedinice svuda bili jednaki i kako ne bi svatko izmišljao svoje nazive, osmišljen je SI sustav mjernih jedinica. To je međunarodni sustav mjernih jedinica koji je zakonski propisao mjerne jedinice koje će se koristiti u svim državama svijeta osim u Sjedinjenim Američkim Državama, Liberiji i Mjanmaru. SI je skraćenica francuskog naziva Système International d'Unités. U Hrvatskoj je Međunarodni sustav uveden u uporabu 1. siječnja 1981. godine.

Kako bi se izbjeglo pisanje velikih brojeva, SI sustav mjernih jedinica definira $20$ prefiksa za potencije baze $10,$ koji se mogu upotrebljavati uz osnovne ili izvedene mjerne jedinice.

Dogovoreni izrazi za nenegativne potencije baze $10$ dani su tablicom.

SI prefiksi
Vrijednost	Predmet	Znak
$10^{24}$	jota	Y
$10^{21}$	zeta	Z
$10^{18}$	eksa	E
$10^{15}$	peta	P
$10^{12}$	tera	T
$10^{9}$	giga	G
$10^{6}$	mega	M
$10^{3}$	kilo	k
$10^{2}$	hekto	h
$10^{1}$	deka	da

Zadatak 1.

Primijeni naučeno o potencijama baze $10 .$

Upari izraze jednakih vrijednosti.

$10^{9}$	$1 000 000 000$
$10^{3}$	$1$
$10^{7}$	$10 000 000$
$10^{1}$	$10$
$10^{0}$	$1 000$

Pomoć:

Prisjeti se naučenog!

null

Upari izraze jednakih vrijednosti.

$10^{3} \cdot 10^{2}$	$10^{10}$
$10^{4} \cdot 10^{2}$	$10^{6}$
$10^{7} \cdot 10^{3}$	$10^{5}$

Pomoć:

Ponovi naučeno u prošlim jedinicama.

null

Upari prefikse s njihovom vrijednosti.

hekto	$10^{6}$
giga	$10^{3}$
peta	$10^{9}$
kilo	$10^{2}$
mega	$10^{15}$

Pomoć:

Pogledaj u tablicu sa SI prefiksima.

null

Zadatak 2.

Poveži potencije baze $10$ sa slikama prikazanim na interakciji.

Mjerne jedinice zapisane u obliku potencija baze 10

Zapis mjernih jedinica puno je jednostavniji ako se upotrebljavaju potencije baze $10 .$

Upiši odgovarajuću dekadsku jedinicu.

10^{3} t =

Razmisli!

t .

10^{5} kg =

Razmisli!

kg,

10^{2} hL =

Razmisli!

hL

Pomoć:

Prisjeti se naučenog.

null

Zadatak 3.

Koliko je $10^{2}$ decimetara zapisano u milimetrima?

Kako je $1 dm = 100 mm,$ vrijedi:

$\begin{array}{l} 10^{2} dm = 10^{2} \cdot 100 mm = 10^{2} \cdot 10^{2} mm = 10^{4} mm = 10 000 mm \end{array} .$

Zadatak 4.

Koliko je $10^{5}$ metara zapisano u milimetrima?

Kako je $1 m = 1 000 mm,$ vrijedi:

$\begin{array}{l} 10^{5} mm = 10^{5} \cdot 1 000 = 10^{5} \cdot 10^{3} = 10^{5 + 3} m = 10^{8} m \end{array} .$

Zadatak 5.

Koliko je $10$ tona zapisano u dekagramima?

Kako je $1 t = 1 000 kg,$ a $1 kg = 100 dag,$ vrijedi:

$\begin{array}{l} 10 t = 10 \cdot 1 000 \cdot 100 = 10 \cdot 10^{3} \cdot 10^{2} = 10^{1 + 2 + 3} = 10^{6} dag \end{array} .$

Zadatak 6.

Koliko je $100$ hektolitara zapisano u mililitrima?

Kako je $1 hL = 100$ litara, a $1 L = 1 000 mL,$ vrijedi:

$\begin{array}{l} 100 hL = 100 \cdot 100 \cdot 1 000 = 10^{2} \cdot 10^{2} \cdot 10^{3} = 10^{2 + 2 + 3} = 10^{7} mL \end{array} .$

Zadatak 7.

Koliko je $10^{6} {mm}^{3}$ zapisano u litrama?

Kako je $1$ litra = $1 {dm}^{3},$ a $1 {dm}^{3} = 10^{6} {mm}^{3},$ vrijedi:

$10^{6} {mm}^{3} = 1 {dm}^{3} = 1 L$ .

Napiši u obliku potencije s bazom $10 .$

$10 m =$

$cm,$
$1 dm =$

$mm .$

$10^{2}$

$10^{3}$

Pomoć:

Prisjeti se veze između mjernih jedinica!

null

Primjena potencija baze 10

Zadatak 8.

Svjetlost u jednoj sekundi prijeđe $300 000$ kilometara. Izrazi taj put u metrima.

Prisjeti se kako je $1 km = 1 000 m = 10^{3} m .$

Pritom vrijedi:

$\begin{array}{l} 300 000 km = 3 \cdot 100 000 km = 3 \cdot 10^{5} km = 3 \cdot 10^{5} \cdot 10^{3} m = 3 \cdot 10^{5 + 3} = 3 \cdot 10^{8} m \end{array} .$

Zadatak 9.

Zemlja je udaljena od Sunca $149.6$ milijuna kilometara. Izrazi taj put u metrima.

Kako je $1 km = 1 000 m = 10^{3} m,$ pritom vrijedi:

$\begin{array}{l} 149 600 000 km = 1 496 \cdot 10^{5} km = 1 496 \cdot 10^{5} \cdot 10^{3} = 1 496 \cdot 10^{8} m \end{array} .$

Zadatak 10.

Procjenjuje se kako će se u Republici Hrvatskoj u razdoblju 2017. – 2022. godine proizvesti preko $1 000 000$ tona komunalnog otpada. Zapiši taj broj s pomoću potencije baze $10 .$

$1 000 000$ tona $= 10^{6}$ tona

U Hrvatskoj će se proizvesti $10^{6}$ tona komunalnog otpada.

Na fotografiji je prikazano nekoliko ljutih papričica. — Ljute papričice

Zadatak 11.

Na Scovilleovoj ljestvici ljutine papričica Cubanelle postiže $100$ jedinica, Tabasco $10 000$ jedinica, Habanero $100 000$ jedinica, a Carolina Reaper $1 000 000$ jedinica. Izrazi jedinice u obliku potencija baze $10 .$

Poveži parove.

Habanero	$10^{6}$
Carolina Reaper	$10^{4}$
Tabasco	$10^{5}$
papričica Cubanelle	$10^{2}$

Pomoć:

Pažljivo pročitaj zadatak.

null

Kutak za znatiželjne

Znanstveni zapis broja

Znanstveni je zapis broja zapis broja u obliku $a \cdot 10^{n},$ odnosno u obliku umnoška koeficijenta $a$ i potencije s bazom $10 .$ Apsolutna vrijednost koeficijenta $a$ mora biti veća od jedan, a manja od $10 .$

Zadatak 12.

Ukupna masa vode u svim morima svijeta približno je jednaka $1 600 000 000 000 000 000$ litara. Zapiši taj podatak u znanstvenom zapisu.

$1 600 000 000 000 000 000$ l treba napisati u obliku umnoška decimalnog broja većeg od $0$ i manjeg od $1$ i potencije baze $10 .$

Treba pomaknuti decimalnu točku ulijevo sve do posljednje znamenke. Potom prebrojiti koliko znamenki ima od decimalne točke do kraja broja. Taj broj zapisati kao eksponent u potenciji.

Vrijedi:

$1 600 000 000 000 000 000 L = 1.6 \cdot 10^{18} L .$

Zadatak 13.

Masa Zemlje iznosi $6 000 000 000 000 000 000 000$ tona, a masa Sunca $1 985 000 000 000 000 000 000 000 000 000$ tona. Prikaži njihove mase znanstvenim zapisom.

$6 000 000 000 000 000 000 000 t = 6 \cdot 10^{21} t$

$1 985 000 000 000 000 000 000 000 000 000 t = 1.985 \cdot 10^{30} t$

Masa Zemlje iznosi $6 \cdot 10^{21} t,$ a masa Sunca $1.985 \cdot 10^{30} t .$

Zadatak 14.

Podatke prepiši u znanstvenom obliku.

a) Polumjer Zemlje iznosi $6 377 397 m .$

b) Obujam Zemlje je $1 082 841 322 036 000 000 000 000$ litara.

c) Pretpostavlja se kako je obujam sve vode na Zemlji $1 400 000 000 000 000 000 000$ litara.

a) Polumjer Zemlje iznosi $6.377 \cdot 10^{6} m .$

b) Obujam Zemlje je $1.083 \cdot 10^{24}$ litara.

c) Pretpostavlja se kako je obujam sve vode na Zemlji $1.4 \cdot 10^{21}$ litara.

3.3 Primjena potencija baze 10

Na početku...

Veliki brojevi

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Mjerne jedinice zapisane u obliku potencija baze 10

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Primjena potencija baze 10

Zadatak 8.

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Kutak za znatiželjne

Zadatak 12.

Zadatak 13.

Zadatak 14.

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: