x
Učitavanje

2.5 Konstrukcije trokuta

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Da bi se mogla izraditi ovakva fasada treba najprije nacrtati nacrt i izraditi konstrukciju. Za taj su posao zaduženi inženjeri, arhitekti i dizajneri. U ovoj ćemo jedinici naučiti kako s pomoću geometrijskog pribora možemo konstruirati trokut primjenjujući poučke o sukladnosti trokuta. Sve konstrukcije radit ćemo u bilježnicu.

Trokuti u arhitekturi
Moderna siva fasada popločena trokutima s trokutastim prozorima

Zanimljivost

Danas sve konstrukcije i nacrte inženjeri, arhitekti i dizajneri rade pomoću osobnog računala. Profesionalni programi su razni CAD programi. CAD je skraćenica za Computer Aided Design, što znači računalom potpomognut dizajn. Ti programi omogućavaju konstruiranje i crtanje svega, od igle do lokomotive. Učenici mogu vježbati konstrukcije na računalu u GeoGebri, besplatnom programu dinamičke geometrije za učenike. Ipak, da bi učenik ili inženjer znao na računalu konstruirati trokut, mora prvo znati isti taj trokut konstruirati pomoću geometrijskog pribora.

Konstrukcije trokuta u matematici

Svaka konstrukcija trokuta u matematici mora imati analizu, konstrukciju i raspravu.

Analizirati znači proučiti zadane uvjete zadatka i nacrtati skicu. Skica nam služi za lakše uočavanje međusobnih odnosa zadanih elemenata i za određivanje načina konstruiranja trokuta.

Zanimljivost

Skicu radimo prostoručno na papiru, a ovdje u DOS-u je skica približni izgled trokuta koji treba precizno konstruirati.

Raspravom ispitujemo po kojem je svojstvu konstrukcija moguća te određujemo poučak prema kojem je trokut jednoznačno određen. Kad kažemo da su trokuti jednoznačno određeni, mislimo da su svi trokuti konstruirani s tim elementima međusobno sukladni.

Pogledajmo tri osnovne konstrukcije trokuta

Konstrukcija trokuta SSS

Konstrukciju trokuta kojemu su zadane duljine svih triju stranica kratko zovemo konstrukcija trokuta SSS.

Primjer 1.

Konstruiraj trokut A B C kojemu su zadane duljine svih triju stranica a = 3 cm , b = 6 cm i c = 5 cm .

Prvo nacrtaj skicu i označi na njoj zadane elemente trokuta. Kada su zadane sve tri stranice trokuta, svejedno je koju ćeš stranicu prvu nacrtati, ali preporučujemo da vodoravno dolje bude najdulja stranica. U ovom trokutu to je stranica b .

Skica trokuta ABC
a = 3 cm
c = 5 cm
A
B
C

Pomoć:

Pazi da duljine stranica trokuta označiš u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

null

Prema skici konstruiraj trokut A B C . Pomoć potraži u rješenju primjera.

Prateći sljedeće korake u bilježnicu konstruiraj trokut s pomoću ravnala i šestara.

Prvo nacrtaj dužinu C A ¯ kao na skici. Zatim u šestar uzmi duljinu a = 3 cm , šestar zabodi u točku C   jer je a = C B i nacrtaj jedan kružni luk iznad nacrtane dužine malo lijevo gore jer je to stranica kraće duljine od dvije preostale.

Nadalje u šestar uzmi duljinu c = 5 cm , šestar zabodi u točku A   jer je c = A B i novim lukom presijeci već nacrtani kružni luk. Ako ti se lukovi nisu presjekli, malo ih produži.

Korak konstrukcije trokuta ABC
Nacrtana je dužina CA i presjek lukova u kojem je vrh B.

Presjek lukova označi slovom B , spoji trokut A B C .

Trokut ABC
Konstruirani trokut ABC, svaka stranica u drugoj boji

Odgovori na pitanja u raspravi.


Rasprava:

Konstruirani trokut u bilježnici sukladan je trokutu sa slike u rješenju.

Pomoć:

Probaj još jednom konstruirati svoj trokut u bilježnici prateći korake konstrukcije.

Razmisli i odaberi točne izjave. Trokuti su sukladni prema poučku

pa
kažemo da je trokut jednoznačno određen ako su mu poznate
svih
triju stranica. Konstrukcija je moguća jer je zbroj duljina dvije
stranice
veći od duljine treće stranice.

Pomoć:

Prisjeti se svojstava i poučaka sukladnosti trokuta.

Postupak:

U matematici kažemo duljine stranica i veličine kutova.

Zadatak 1.

Konstruiraj jednakokračan trokut A B C kojemu je duljina osnovice a = 65 mm i duljina jednog kraka 44 mm .

Na skici označi preostale elemente trokuta.
Skica trokuta ABC
a = 65 mm
b = 44 mm
A
B
C

Pomoć:

Duljine stranica koje su jednake označi istim slovom. Vrhove označi u smjeru obrnuto od kretanja kazaljke na satu.

Konstrukciju radi u bilježnici. Prati skicu i prvo nacrtaj osnovicu a = B C = 65 mm . Zatim u šestar uzmi duljinu b = 44 mm , šestar zabodi u točku B jer je b = B A i nacrtaj jedan kružni luk iznad nacrtane dužine. Nemoj zatvarati šestar nego ga zabodi s istom duljinom i u vrh C jer je trokut jednakokračan te je također i C A = b . Novim lukom presijeci prvi. Presjek označi slovom A . Spoji trokut A B C .

Jednakokračni trokut ABC
Precizno konstruiran jednakokračni trokut ABC

Rasprava:

Konstruirani trokut u bilježnici

 
je trokutu sa slike u rješenju prema poučku
 
o sukladnosti trokuta. Kažemo da je trokut
 
određen jer su mu poznate duljine sve
 
stranice.
SSS
sukladan
jednoznačno
tri

Pomoć:

Jednakokračni trokut ima dva kraka iste duljine.

Konstrukcija

moguća
jer je zbroj duljina dvije
stranice
veći od
stranice,
odnosno u ovom trokutu je zbroj duljina
veći
od duljine
.

Pomoć:

Krakovi 44 mm su dvije stranice kraće duljine, a osnovica 65 mm je najdulja u trokutu.

Postupak:

44 cm + 44 cm > 65 cm .

Konstrukcija trokuta SKS

Konstrukciju trokuta kojemu su zadane duljine dviju stranica i veličina kuta između njih kratko zovemo konstrukcija trokuta SKS.

Primjer 2.

Konstruiraj trokut A B C kojemu su zadane duljine dviju stranica a = 5 cm i c = 4 cm te veličina kuta između njih β = 120 ° .

Postupak konstrukcije trokuta A B C iz primjera pogledaj u videozapisu.

Zadatak 2.

Konstruiraj trokut A B C kojemu su zadane duljine dviju stranica a = 6 cm i b = 52 mm te veličina kuta između njih γ = 45 ° .

Na skici označi preostale elemente trokuta.

Skica trokuta
A
B
C
a
b
c

Pomoć:

Elemente trokuta označi u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

Postupak:

Već je ucrtan kut γ . Prema njemu označi ostale elemente.

Trokut konstruiraj u bilježnicu. Prvo nacrtaj dužinu C A ¯ kao na skici. Zatim šestarom u vrhu C konstruiraj kut od 45 ° . Krak  C B kuta od 45 ° produži tako da možeš šestarom nanijeti duljinu 6 cm i dobiti vrh B . Spoji trokut A B C .

Konstrukcija trokuta SKS
Konstruirani trokut ABC s b = 5.2 cm, kutom od 45° i a = 6 cm.

Rasprava:

Konstruirani trokut u bilježnici

 
je trokutu sa slike u rješenju prema
 
poučku o sukladnosti trokuta.
sukladan
SKS

Pomoć:

Prisjeti se poučaka o sukladnosti trokuta.

Konstrukcija je moguća jer je veličina kuta γ
°,
što je manje od

°.

Pomoć:

Niti jedan kut u trokutu ne može biti veći od 180 ° .

Postupak:

Konstrukcija je moguća ako je veličina kuta manja od 180 ° .

Konstrukcija trokuta KSK

Konstrukciju trokuta kojemu je zadana duljina jedne stranice i veličine dvaju kutova uz nju kratko zovemo konstrukcija trokuta KSK.

Primjer 3.

Konstruiraj trokut A B C kojemu je zadana duljina jedne stranice c = 7 cm te veličine dvaju kutova uz nju α = 60 ° i β = 40 ° .

Na skici označi preostale elemente trokuta.

Skica trokuta ABC
A
B
C
α
β

Pomoć:

Trokut označavamo u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

Prije početka konstrukcije uoči da kut veličine 60 °

konstruirati
šestarom i ravnalom, a kut veličine 40 °
.
Zbog toga kut veličine
crtamo
kutomjerom.

Pomoć:

Prisjeti se jedinice 2.1. ovog DOS-a, u kojoj piše koji se kutovi mogu konstruirati šestarom i ravnalom.

Postupak:

Šestarom i ravnalom mogu se konstruirati kutovi veličine 60 ° , 120 ° , 30 ° , 90 ° , 45 ° i razne njihove kombinacije dobivene simetralama kutova.

Prema skici konstruiraj trokut A B C .

U bilježnicu konstruiraj trokut s pomoću ravnala, šestara i kutomjera prateći korake u sljedećem nizu slika.

Pogledaj prvu sliku u nizu i nacrtaj dužinu A B ¯ . Zatim u vrhu A šestarom konstruiraj kut veličine 60 ° . Pogledaj drugu sliku i prisjeti se konstrukcije iz jedinice 2.1.

Nadalje, u vrhu B , kao na trećoj slici, kutomjerom nacrtaj kut veličine 40 ° . Prisjeti se kako se crta kutomjerom na posebnoj slici dolje ili pogledaj DOS za peti razred.

Crtanje kuta veličine 40° kutomjerom
Kutomjer i kut veličine 40° nacrtan kutomjerom

Presjek dobivenih krakova kutova označi slovom C kao na četvrtoj slici u nizu i odgovori na pitanja u raspravi.


Rasprava:

Konstruirani trokut u bilježnici

 
je trokutu sa slike u rješenju prema poučku
 
. Znači da je trokut
 
određen ako mu je poznata duljina jedne
 
i veličina dva
 
uz nju.
jednoznačno
stranice
KSK
sukladan
kuta

Pomoć:

Prisjeti se poučka o skladnosti trokuta KSK.

null

Treći kut u trokutu je veličine

što
znači da je konstrukcija moguća.

Pomoć:

Zbroj veličina dva unutarnja kuta u trokutu mora biti manji od 180 ° , da bi zbroj veličina sva tri kuta bio 180 ° .

Postupak:

60 ° + 40 ° = 100 °

180 ° 100 ° = 80 °

Zadatak 3.

Konstruiraj pravokutni trokut A B C kojemu je duljina katete b = 6.7 cm i veličina šiljastog kuta uz nju α = 30 ° .

Na skici označi elemente trokuta.

Skica pravokutnog trokuta
C
A
B
a
b
c

Pomoć:

Trokut označavamo u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

null

Prema skici prvo nacrtaj stranicu C A ¯ . Zatim u vrhu C konstruiraj kut veličine 90 ° , a u vrhu A konstruiraj kut veličine 30 ° , kao u jedinici 2.1. Krakove spoji i u njihovu sjecištu označi vrh B . Odgovori na pitanja u raspravi.

Konstrukcija pravokutnog trokuta
Pravokutni trokut s konstruiranim kutovima 90° i 30°

Rasprava:

Trokut je

 
određen prema poučku
 
o sukladnosti trokuta. Konstrukcija je
 
jer je treći kut veličine
 
.
KSK
60 °
jednoznačno
moguća

Pomoć:

Zbroj kutova u trokutu je 180 ° .

Postupak:

90 °   +   30 °   =   120 °

180 °     120 °   =   60 °

Zadatak 4.

Konstruiraj trokut A B C kojemu su duljine dviju stranica a = 8 cm ,   b = 6 cm i veličina kuta β = 35 ° .

Na skici označi elemente trokuta koji nedostaju.

Skica trokuta ABC
A
B
C
b
c
a

Pomoć:

Trokut označavamo u smjeru obrnutom od kretanja kazaljke na satu.

null

Prema skici konstruiraj trokut A B C . Pomoć potraži u rješenju zadatka.

Sljedeći trokut konstruiraj u bilježnicu. Prvo nacrtaj stranicu B C ¯ kao na skici. Zatim u vrhu B kutomjerom nacrtaj kut veličine 35 ° i dobiveni krak produži koliko treba. U šestar uzmi duljinu stranice b = 6 cm i kružnim lukom presijeci dobiveni krak. Koliko rješenja dobivaš? Označi sva rješenja i spoji trokute kao na slici.

Konstrukcija
Konstruirana su dva trokuta, a = 8 cm, b = 6 cm i kutom 35° nasuprot kraće stranice b.

Koliko rješenja ima zadatak?

Pomoć:

Konstruiraj ponovno ili pogledaj rješenje zadatka.

null

Razmisli. Trokut

 
jednoznačno određen jer je zadana duljina stranice b nasuprot kuta β
 
od duljine stranice a .
kraća
nije

Pomoć:

Prisjeti se poučka SSK o sukladnosti trokuta.

null

Trokut bi imao

 
rješenje da je stranica b
 
od stranice a . Tada bi prema poučku
 
o sukladnosti trokut bio
 
određen.
jedno
SSK
jednoznačno
dulja

Pomoć:

Prisjeti se poučka SSK o sukladnosti trokuta.

Zadatak ne bi imao

 
 
 
da je duljina stranice b takva da ne možemo šestarom presjeći krak B A .
rješenje
niti
jedno

Pomoć:

Zabodi šestar u vrh C i otvori ga tako da ne možeš presjeći krak B A .

Postupak:

Uzmi u šestar primjerice duljinu 2 cm . Možeš li nacrtati kružni luk polumjera 2 cm koji bi presjekao krak B A u konstruiranom trokutu?

...i na kraju

Treba projektirati kućicu za psa kao na slici. Za projekt izrade krova treba prvo konstruirati na papiru jednakostranični trokut kojemu su duljine stranica 50 mm .

Kućica za psa
Kućica za psa ima krov oblika jednakostraničnog trokuta, ispred kućice sjedi pas

Konstruiraj trokut na papiru i poredaj korake konstrukcije od početka.

  • Zabodemo šestar otvoren 50 mm u vrh A te nacrtamo luk iznad stranice A B ¯ .
  • Presiječemo novim kružnim lukom nacrtani luk.
  • Sjecište kružnih lukova označimo točkom C .
  • Analizirajući trokut uočavamo da je jednakostraničan.
  • Spojimo trokut A B C .
  • Ostavimo šestar otvoren 50 mm i zabodemo ga u vrh B .
  • Nacrtamo stranicu ​ A B ¯ duljine 50 mm .
  • Crtamo skicu tako da je dolje vodoravno stranica A B ¯ .

Pomoć:

Uzeli smo u šestar 50 mm jer je 50 cm preveliko za papir i obični šestar za učenike.

Postupak:

Može se i prvo zabosti šestar u točku B , a kasnije u točku A . Ovdje smo išli slijeva nadesno pa tako i poredaj korake da računalo prepozna poredak.

Trokut je jednoznačno određen prema poučku

Pomoć:

Dobro prouči zadatak i skicu.

Konstrukcija

moguća
jer je 50 mm + 50 mm
50 mm .

Pomoć:

Konstrukcija je moguća kada je zbroj duljina dvije stranice veći od duljine treće.

Postupak:

50 + 50 = 100 > 50

Povratak na vrh