x
Učitavanje

3.7 Kvadratna jednadžba

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici su tri zemljišta različitih veličina, a svako je oblika kvadrata.

Susjed Stipe ima dva zemljišta u obliku kvadrata. Prvo zemljište ima opseg 132 m , a drugo 176 m . Stipe želi ta dva zemljišta zamijeniti za treće, koje je također u obliku kvadrata. Kolika treba biti duljina „zamjenskog” zemljišta ako Stipe želi da to zemljište ima:

  1. jednak opseg kao ova dva zemljišta zajedno
  2. jednaku površinu kao ova dva zemljišta zajedno?
  1. Ukupan je opseg ovih dvaju zemljišta 132 + 176 = 308 metara.

    Označimo li s x duljinu stranice „zamjenskog” kvadrata, njegov opseg računamo prema formuli o = 4 x . Zato vrijedi jednadžba 4 x = 308, pa je x = 308 : 4 , odnosno x = 77 . Duljina bi „zamjenskog” zemljišta trebala biti 77 metara.​

  2. Duljina je prvog zemljišta 132 : 4 = 33 metra pa je njegova površina jednaka 33 · 33 = 1 089 kvadratnih metara. Duljina je drugog zemljišta 176 : 4 = 44 metra pa je njegova površina jednaka 44 · 44 = 1 936 kvadratnih metara.

    Ukupna je površina tih dvaju zemljišta 1 089 + 1 936 = 3 025 kvadratnih metara.

    Označimo li s y duljinu stranice „zamjenskog” kvadrata, njegovu površinu računamo prema formuli p = y 2 . Zato vrijedi jednadžba y 2 = 3 025 , pa je y = 3 025 , tj. y = 55 . Duljina bi „zamjenskog” zemljišta trebala biti 55 metara.


Zanimljivost

Četvorni hvat (znak čhv) zastarjela je mjerna jedinica za površinu, službeno napuštena uvođenjem Metarskog sustava. U austrijskom dijelu Austro-Ugarske podatci su u katastarskim knjigama pretvoreni u metarske jedinice još 1873. god. U ugarskome dijelu te promjene nisu učinjene pa se u hrvatskim zemljišnim knjigama četvorni hvat rabio još stotinjak godina poslije, većinom skraćeno nazivan samo hvat. Vrijednost četvornog hvata je kvadrat bečkog hvata (mjerna jedinica za duljinu od 1.896 m ), pa je čhv≈ 3.6 m 2 ili m 2 0,278 čhv .

Rješavajući uvodni zadatak, rješavali smo jednadžbe.

Jednadžba 4 x = 308 spada u skupinu dobro vam poznatih, linearnih jednadžbi.

Jednadžba y 2 = 3 025 izgleda drukčije. U njoj se javlja nepoznanica pomnožena sa samom sobom, dakle kvadrirana. Jednadžbu takvog oblika nazivamo kvadratnom jednadžbom.

Prisjetimo se!

Neka su a , b i x racionalni brojevi, pri čemu je a 0 .

Jednadžbu oblika a x + b = 0 nazvali smo linearnom jednadžbom s (jednom) nepoznanicom x .

Rješenje je linearne jednadžbe oblika a x + b = 0 onaj racionalni broj x koji, uvrštavanjem u jednadžbu, daje istinitu brojevnu jednakost.

Dvije su jednadžbe ekvivalentne ako imaju isto rješenje.

Kvadratna jednadžba

U svijetu oko nas brojne zakonitosti nisu povezane linearnom nego kvadratnom vezom. Takve su zakonitosti, primjerice, kinetička energija i slobodni pad (jednoliko ubrzano gibanje). Pri rješavanju takvih zadataka potrebno je rješavati jednadžbe oblika:

x 2 = 64 , 3 v 2 = 75 , 2 y 2 -   5 = 13 ...

Neka su a , b , c i x racionalni brojevi, pri čemu je a 0 . Jednadžbu koju je moguće napisati u obliku a x 2 + b x + c = 0 nazvat ćemo kvadratnom jednadžbom s (jednom) nepoznanicom x .

Rješenje kvadratne jednadžbe oblika a x 2 + b x + c = 0   je onaj racionalni broj x koji uvrštavanjem u jednadžbu daje istinitu brojevnu jednakost.

Dvije su jednadžbe ekvivalentne ako imaju isto rješenje. Naprimjer, ekvivalentne su jednadžbe x 2 = 16 , 2 x 2 = 32 i 1 2 x 2 = 8 .

Najjednostavniji je oblik kvadratne jednadžbe jednadžba oblika a · x 2 + c = 0 , pri čemu je a 0 .

Primjer 1.

Koje su od sljedećih jednadžbi linearne, a koje kvadratne?

  1. 2 x + 3 = 11  
  2. 3 x - 4 = x 2  
  3. x ( x + 3 ) = x 2 - 1  
  1. Jednadžba 2 x + 3 = 11 linearna je jednadžba jer je ekvivalentna jednadžbi 2 x - 8 = 0 .
  2. Jednadžba 3 x - 4 = x 2 kvadratna je jednadžba jer je ekvivalentna jednadžbi x 2 - 3 x + 4 = 0 .
  3. Jednadžbu x ( x + 3 ) = x 2 - 1 možemo pisati u obliku x 2 + 3 x = x 2 - 1 , odnosno, nakon što objema stranama jednadžbe oduzmemo x 2 , u obliku 3 x + 1 = 0 pa je zadana jednadžba linearna.

Zadatak 1.

Koje su od sljedećih jednadžbi linearne, a koje kvadratne?

x + 5 = 2 x 2 + x + 3

 Linearne jednadžbe

 Kvadratne jednadžbe

Pomoć:

Zadane jednadžbe napiši u najjednostavnijem ekvivalentnom obliku.

null

Zadatak 2.

​Koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne?

Pomoć:

Zadane jednadžbe napišite u najjednostavnijem ekvivalentnom obliku.

null

Rješavanje kvadratne jednadžbe oblika a x 2 + c = 0

Riješiti kvadratnu jednadžbu oblika a x 2 + c = 0 , a 0 znači odrediti racionalni broj x koji, uvrštavanjem u jednadžbu, daje istinitu brojevnu jednakost.

Primjer 2.

Koji racionalni broj x zadovoljava uvjet x 2 - 9 = 0 ?

Uvjet (jednadžbu) x 2 - 9 = 0 možemo pisati u obliku x 2 = 9  pa bi netko (brzopleto) mogao zaključiti da je x = 3 jedino rješenje postavljene jednadžbe.

Sjetimo se da su kvadrati međusobno suprotnih brojeva jednaki, tj. da vrijedi 3 2 = ( - 3 ) 2 = 9  i zato ta kvadratna jednadžba ima dva rješenja x 1 = 3  i x 2 = - 3.  

Možemo razmišljati i na drugi način.

Zadanu jednadžbu x 2 - 9 = 0 možemo shvatiti kao razliku kvadrata i napisati je u obliku umnoška zbroja i razlike istih članova, tj. sjetiti se da vrijedi x 2 - 9 = ( x + 3 ) ( x - 3 ) .

Tada vrijedi ( x + 3 ) ( x - 3 ) = 0 .

Umnožak dvaju članova jednak je 0 ako je barem jedan od njih jednak 0 , tj. ako vrijedi x + 3 = 0  ili x - 3 = 0 .

Rješenje linearne jednadžbe x + 3 = 0  je x = - 3 .

Rješenje linearne jednadžbe x - 3 = 0 je x = 3 .


Zadatak 3.

Riješite kvadratne jednadžbe i provjerite točnost rješenja.

a. x 2 - 25 = 0  

a. x 2 - 25 = 0 x 2 - 5 2 = 0 ( x - 5 ) ( x + 5 ) = 0

Umnožak je jednak 0 ako je barem jedan od faktora jednak 0 , tj. ako vrijedi x - 5 = 0 ili x + 5 = 0 .

Rješenje linearne jednadžbe x - 5 = 0 je x = 5 .

Rješenje linearne jednadžbe x + 5 = 0 je x = - 5 .

Provjera:

5 2 - 25 = 25 - 25 = 0

( - 5 ) 2 - 25 = 25 - 25 = 0 .


b. 4 x 2 - 49 = 0  

b. 4 x 2 - 49 = 0 ( 2 x ) 2 - 7 2 = 0 ( 2 x - 7 ) ( 2 x + 7 ) = 0

Umnožak je jednak 0 ako je barem jedan od faktora jednak 0 , tj. ako vrijedi 2 x - 7 = 0 ili 2 x + 7 = 0 .

Rješenje linearne jednadžbe 2 x - 7 = 0 je x = 3.5 .

Rješenje linearne jednadžbe 2 x + 7 = 0 je x = - 3.5 .

Drugi način:

4 x 2 - 49 = 0 x 2 - 49 4 = 0 x 2 - 7 2 2 = 0 ( x - 7 2 ) ( x + 7 2 ) = 0

Umnožak je jednak 0 ako je barem jedan od faktora jednak 0 , tj. ako vrijedi x - 7 2 = 0 ili x + 7 2 = 0 .

Rješenje linearne jednadžbe x - 7 2 = 0 je x = 7 2 .

Rješenje linearne jednadžbe x + 7 2 = 0 je x = - 7 2

Provjera:

4 · 3.5 2 - 49 = 4 · 12.25 - 49 = 49 - 49 = 0

4 · ( - 3.5 ) 2 - 49 = 4 · 12.25 - 49 = 49 - 49 = 0 .


c. 9 x 2 - 1 = 99  

c. 9 x 2 - 1 = 99 9 x 2 - 100 = 0 ( 3 x ) 2 - 10 2 = 0 ( 3 x - 10 ) ( 3 x + 10 ) = 0

Umnožak je jednak 0 ako je barem jedan od faktora jednak 0 , tj. ako vrijedi 3 x - 10 = 0 ili 3 x + 10 = 0 .

Rješenje linearne jednadžbe 3 x - 10 = 0 je x = 10 3 .

Rješenje linearne jednadžbe 3 x + 10 = 0 je x = - 10 3 .

Provjera:

9 · 10 3 2 - 1 = 9 · 100 9 - 1 = 100 - 1 = 99

9 · - 10 3 2 - 1 = 9 · 100 9 - 1 = 100 - 1 = 99 .


d. x 2 - 10 = 0

d. x 2 - 10 = 0 x 2 - 10 2 = 0 ( x - 10 ) ( x + 10 ) = 0

Umnožak je jednak 0 ako je barem jedan od faktora jednak 0 , tj. ako vrijedi x - 10 = 0 ili x + 10 = 0 .

Rješenje linearne jednadžbe x - 10 = 0 je x = 10 .

Rješenje linearne jednadžbe x + 10 = 0 je x = - 10 .

Provjera:

10 2 - 10 = 10 - 10 = 0

( - 10 ) 2 - 10 = 10 - 10 = 0 .


e. x 2 = 0  

e. Postupimo li na isti način kao u prethodnim primjerima jednadžbu

x 2 = 0 možemo pisati u obliku umnoška x 2 - 0 2 = 0     ( x - 0 ) ( x + 0 ) = 0 .
Umnožak je jednak 0 ako je barem jedan od faktora jednak 0 , tj. ako vrijedi x - 0 = 0 ili x + 0 = 0 .

Rješenje linearne jednadžbe x - 0 = 0  je x =   0 .

Rješenje linearne jednadžbe x + 0 = 0 je x   = 0 .

Dakle, ta jednadžba ima dva međusobno jednaka rješenja (često kažemo da ima jedno dvostruko rješenje).


f. x 2 + 4 = 0  

f. x 2 + 4 = 0 x 2 + 2 2 = 0  

Naučili ste da zbroj kvadrata nije moguće napisati u obliku umnoška dvaju linearnih izraza.

S druge strane vrijedi x 2 + 4 = 0 x 2 = - 4 , što je zahtjev koji ne zadovoljava ni jedan racionalni broj x . (Ne zaboravite da je kvadrat svakoga racionalnog broja nenegativni racionalni broj.)

Zadana jednadžba nema rješenja u skupu racionalnih brojeva.​


Promotrimo najjednostavniju kvadratnu jednadžbu oblika x 2 = a .

  • Ako je a > 0 , onda ta jednadžba ima točno dva rješenja, x 1 = a i x 2 = - a .

  • Ako je a = 0 , onda ta jednadžba ima jedno dvostruko rješenje, x 1 = x 2 = 0 .

  • Ako je a < 0 , onda ta jednadžba nema rješenja (u dosad poznatim vam skupovima brojeva) jer ne postoji broj koji pomnožen sa samim sobom daje negativan rezultat.

Zadatak 4.

Zadane jednadžbe napišite na papir u obliku umnoška pa odredite sve racionalne brojeve x za koje vrijedi zadana jednakost.

  1. x 2 - 144 = 0
  2. x 2 = 4.41
  3. x 2 = 81 16
  4. 3 x 2 - 3.63 = 0
  5. x + 5 2 = 0
  1. x 2 - 144 = 0 x - 12 x + 12 = 0

    x - 12 = 0 x = 12

    x + 12 = 0 x = - 12

  2. x 2 = 4.41 x - 2.1 x + 2.1 = 0

    x - 2.1 = 0 x = 2.1

    x + 2.1 = 0 x = - 2.1

  3. x 2 = 81 16 x - 9 4 x + 9 4 = 0

    x - 9 4 = 0 x = 9 4

    x + 9 4 = 0 x = - 9 4

  4. 3 x 2 - 3.63 = 0 x 2 - 1.21 = 0 x - 1.1 x + 1.1 = 0

    x - 1.1 = 0 x = 1.1

    x + 1.1 = 0 x = - 2.1

  5. x + 5 2 = 0 x + 5 x + 5 = 0

    x + 5 = 0 x = - 5

    x + 5 = 0 x = - 5

    Ova jednadžba ima dva međusobno jednaka rješenja.


Zadatak 5.

Zadanim jednadžbama pridružite njihova rješenja.

3 + x 2 = 52   ​
x = 7 i x = - 7
8 x 2 - 50 = 0   ​
x = 5 i ​ x = - 5
2 x 2 - 50 = 0  
x = 8 i ​ x = - 8  
x 2 - 64 = 0  
x = 2.5 i x = - 2.5

Pomoć:

Zadane jednadžbe napišite u obliku ​ a x 2 - c = 0 x 2 - c a 2 = 0 x - c a x + c a = 0 pa riješi dobivene linearne jednadžbe.

null

Uvježbajte rješavanje kvadratne jednadžbe oblika a x 2 = b . Nakon što riješite zadanu jednadžbu, s pomoću interaktivnog programa provjerite svoje rješenje te postupak rješavanja.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

Riješite kvadratne jednadžbe.

  1. x x + 9 = 0  
  2. ( x + 2 ) ( x - 3 ) = 0
  3. x - 4 2 x + 3 = 0

Umožak je jednak 0 ako je barem jedan od faktora jednak 0 .

  1. x x + 9 = 0 x = 0 ili x + 9 = 0 pa je x = 0 ili x = - 9
  2. x + 2 x - 3 = 0 x + 2 = 0 ili x - 3 = 0 pa je x = - 2 ili x = 3
  3. x - 4 2 x + 3 = 0 x - 4 = 0 ili 2 x + 3 = 0 pa je x = 4 ili x = - 1.5

Kutak za znatiželjne

Iako rješavanje složenijih kvadratnih jednadžbi prelazi granice osnovne škole, i u osnovnoj je školi moguće rješavati neke od njih.

Pogledajte videozapis s rješavanjem dvaju primjera malo složenijih kvadratnih jednadžbi.

Rješavanje kvadratne jednadžbe ( x + 5 ) 2 = 64
Rješavanje kvadratne jednadžbe x ( x - 4 ) = 45

Primjer 3.

Primjenjujući razliku kvadrata, napišimo jednadžbu u obliku umnoška. Riješimo kvadratnu jednadžbu i provjerimo točnost rješenja jednadžbe x + 2 2 = 9 .

( x + 2 ) 2 = 9 ( x + 2 ) 2 - 9 = 0 ( x + 2 ) 2 - 3 2 = 0

( x + 2 + 3 ) ( x + 2 - 3 ) = 0 ( x + 5 ) ( x - 1 ) = 0

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli, tj. ako vrijedi

( x + 5 ) = 0 , odakle je x = - 5 ili

( x - 1 ) = 0 , odakle je x = 1 .

Provjera:

- 5 + 2 2 = ( - 3 ) 2 = 9

1 + 2 2 = 3 2 = 9 .


Zadatak 7.

Napišite na papiru u obliku umnoška i riješite kvadratne jednadžbe.

  1. x - 3 2 - 49 = 0  
  2. 4 + x 2 - 81 = 0  
  3. 2 x + 13 2 + 1 = 50  
  1. x - 3 2 - 49 = 0 x - 3 2 - 7 2 = 0 ( x - 3 + 7 ) ( x - 3 - 7 ) = 0

    x + 4 = 0 x = - 4

    x - 10 = 0 x = 10

  2. 4 + x 2 - 81 = 0 4 + x 2 - 9 2 = 0 ( 4 + x + 9 ) ( 4 + x - 9 ) = 0

    x + 13 = 0 x = - 13

    x - 5 = 0 x = 5

  3. 2 x + 13 2 + 1 = 50 2 x + 13 2 - 49 = 0 ( 2 x + 13 + 7 ) ( 2 x + 13 - 7 ) = 0

    2 x + 20 = 0 x = - 10

    2 x + 6 = 0 x = - 3


Zadatak 8.

Kvadratne jednadžbe razvrstajte prema „vrsti” rješenja.

2 x - 1 2 = 49

 Jednadžbe koje imaju jedno dvostruko rješenje

 Jednadžbe kojima su rješenja dva međusobno suprotna broja

 Jednadžbe koje nemaju (realnih) rješenja

Jednadžbe koje imaju dva rješenja koja nisu međusobno suprotni brojevi

 

null

Povezani sadržaji

Zadatak 9.

Slika prikazuje ogradu s dva ulaza na igralište kvadratnog oblika. Ulazi se nalaze na suprotnim stranama igrališta.

Igralište u oblika kvadrata ima površinu od 3 025 kvadratnih metara. Oko igrališta treba postaviti ogradu, pri čemu na dva mjesta ostaju neograđeni dijelovi duljine 5 metara za ulaz. Koliko metara ograde treba postaviti?

Ako je površina kvadrata sa stranicom dujine a jednaka 3 025 m 2 , možemo pisati jednadžbu a 2 = 3 025 . Budući da je duljina stranice kvadrata pozitivan broj, rješavanjem te kvadratne jednadžbe dobivamo da je pozitivno rješenje te jednadžbe a = 55 m .
Opseg tog kvadrata je 4 · 55 = 220 m , a ogradu je potrebno postaviti na 220 - 10 = 210 m .


Zadatak 10.

Ako neki predmet ispustimo iz ruke, brzina kojom tijelo pada stalno se povećava. Zanemarimo li otpor zraka, visina predmeta može se izračunati prema modelu: y = 1 2 g t 2 , pri čemu g predstavlja gravitacijsku konstantu s približnom vrijednošću 10 m/s 2 , y vertikalni položaj u metrima, a t vrijeme pada izraženo u sekundama. Koliko će vremena proći dok predmet ne padne na tlo ako je:

  1. predmet ispušten iz ruke s visine od 20 m
  2. predmet ispušten iz ruke s visine od 103 m ?
  1. Uvrštavanjem podataka y = 20 m i g = 10 m/s 2 u izraz y = 1 2 g t 2 , dobivamo:

    1 2 · 10 · t 2 = 20 , tj. t 2 = 4 .

    Budući da rješenje mora biti pozitivan broj, u obzir uzimamo samo pozitivno rješenje jednadžbe te zaključujemo da je t = 2 sekunde.

  1. Uvrštavanjem podataka y = 103 m i g = 10 m/s 2 u izraz y = 1 2 g t 2 , dobivamo:

    1 2 · 10 · t 2 = 103 , tj. t 2 = 20.6 .

    Budući da rješenje mora biti pozitivan broj, u obzir uzimamo samo pozitivno rješenje jednadžbe te zaključujemo da je t = 20.6 4.5 sekunda.


Zadatak 11.

Energija koju ima tijelo u gibanju naziva se kinetička energija. Kinetičku energiju tijela računamo prema formuli E k = 1 2 m v 2  pri čemu je m masa tijela u kilogramima, a v brzina tijela u metrima po sekundi. Mjerna jedinica za energiju je džul (oznaka J ).

Tijelo mase 5 kg kreće se i ima energiju od 40 J . Kolikom se brzinom kreće to tijelo?

Uvrstimo li zadane podatke u formulu za kinetičku energiju, dobit ćemo:

1 2 · 5 · v 2 = 40 .

Nakon sređivanja dobivamo redom:

1 2 · 5 · v 2 = 40 5 v 2 = 80 v 2 = 16 .

Kvadratna jednadžba v 2 = 16 v 2 - 16 = 0 v - 4 v + 4 = 0 v 1 = 4 ili v 2 = - 4 ima dva rješenja, no negativno rješenje nema smisla.

Tijelo se giba brzinom od 4 metra u sekundi.


Zadatak 12.

Tijelo mase 5.4 kg kreće se nepoznatom brzinom i ima energiju od 33.075 J .

Kolikom se brzinom kreće?

Pomoć:

Kinetičku energiju tijela računamo prema formuli ​

E k = 1 2 m v 2 .

Postupak:

Uvrštavanjem zadanih podataka u izraz E k =   1 2 m v 2 dobivamo 1 2 · 5.4 · v 2 = 33.075 ,

odnosno 2.7 · v 2 = 33.075 v 2 = 12.25 .

Uvjet zadovoljavaju brojevi 3.5 i - 3.5 , no brzina je gibanja izražena pozitivnim brojem.

Zanimljivost

Kvadratne jednadžbe rješavali su još u starom Babilonu.

Starogrčki matematičari kvadratne su jednadžbe rješavali konstruktivno. Posebno su se isticali Euklid (3. st. pr. Krista) i Hiparh (2. st. pr. Krista). U računskom rješavanju povijest bilježi doprinos Diofanta i Herona.

Prvu opću formulu za rješavanje kvadratnih jednadžbi dao je Brahmagupta (Indija, 7. st.), dok Bombelli (16. st.) i Girard (17. st.) poznaju postupak rješavanja koji se i danas koristi.

Povezani sadržaji

Slika prikazuje dužinu AB i na njoj istaknutu točku C koja dužinu dijeli u omjeru zlatnoga reza. Manji dio odnosi se prema većemu kao veći dio prema cijeloj dužini.

Zlatni rez

Točka C dijeli dužinu A B ¯ u omjeru zlatnog reza ako vrijedi A B : A C = A C : C B .

Označimo li A B = a i A C = x , onda je C B = a - x pa omjer zlatnog reza možemo zapisati kao a : x = x : ( a - x ) .

Taj se razmjer svodi na kvadratnu jednadžbu x 2 + a x - a 2 = 0 .

Pogledajte interakciju u kojoj je prikazan postupak konstrukcije točke koja nactranu dužinu dijeli u omjeru zlatnog reza.

Povećaj ili smanji interakciju

Zanimljivost

Na slici je prikazana zlatna spirala.

Pojam zlatnog reza (božanske proporcije) pripisuje se Pitagorejcima, a javlja se u prirodi, umjetnosti, arhitekturi...

Najpoznatija slika Leonarda da Vincija, Mona Lisa, primjer je primjene zlatnog reza u umjetnosti.

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

Koristeći se stečenim znanje riješite zadatak.

Duljina je pravokutnika 2 cm veća od njegove širine. Površina je tog pravokutnika 24   cm .

Koliki je opseg tog pravokutnika?

Uputa: Pomoć u rješavanju možete pronaći u videoisječku u kojem je pokazano kako se rješava jednadžba x x - 4 = 45 .

Zadatak je moguće rješavati na više načina. Jedan je način da postavimo i riješimo kvadratnu jednadžbu na način prikazan u videoisječku.

Prema uvjetu zadatka, ako s a označimo širinu, onda je duljina označena s a + 2 . Vrijedi jednadžba a · a + 2 = 24 .

Lijevu stranu jednadžbe dopunimo na potpun kvadrat:

a · a + 2 = 24 a 2 + 2 a = 24 a 2 + 2 a + 1 = 24 + 1 a + 1 2 = 25 . Dalje je:

a + 1 2 = 25 a + 1 2 - 5 2 = 0 a + 1 - 5 a + 1 + 5 = 0 a - 4 a + 6 = 0 .

Ova kvadratna jednadžba ima dva rješenja, a = 4 i a = - 6 , ali negativno rješenje nema smisla.

Duljine su stranica tog pravokutnika 4 cm i 4 + 2 = 6 cm .

Opseg je tog pravokutnika​ 2 · 4 + 6 = 2 · 10 = 20 cm .

Drugi način je mnogo jednostavniji i u rješavanju se koriste znanja prikazivanja složenog prirodnog broja u obliku umnoška (prirodnih brojeva). Konkretno, u zadatku je potrebno odrediti dva pozitivna (prirodna!) broja koji se razlikuju za 2 , a koji pomnoženi daju 24 . Jedini takvi brojevi su 4 i 6 pa zaključujemo da su duljine stranica tog pravokutnika 4 cm i 6 cm .


PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Jednadžbi pridruži njezin najjednostavniji ekvivalentni oblik.

x 2 x - 3 = x 2 + 1
3 x - 4 = 0
3 x + 5 = 2 - 5 x
8 x + 13 = 0
5 x - 3 = 2 x + 1
2 x 2 = 32
3 x 2 + 5 x = x x + 5 + 32
x 2 - 3 x - 1 = 0
null
2

Razvrstajte jednadžbe.

2 x + 3 = 3 x - 5

 Linearne jednadžbe

 Kvadratne jednadžbe

Pomoć:

Jednadžbe napišite u najjednostavnijem ekvivalentnom obliku.

3

Koji su od brojeva rješenje kvadratne jednadžbe x 2 = 36 ?

Pomoć:

Jednadžbu napišite u obliku razlike kvadrata, a zatim u obliku umnoška.

Postupak:

x 2 = 36 x 2 - 36 = 0 x - 6 x + 6 = 0  

x - 6 = 0 x = 6  

x + 6 = 0 x = - 6   ​

4

Kvadratnim jednadžbama pridružite rješenja.

x + 4 2 = 0   ​
x 1 = 4 i x 2 = - 4   ​
2 x 2 = 32  
x 1 = x 2 = 4   ​
x - 4 2 = 0  
x 1 = 8 i x 2 = - 8   ​
1 2 x 2 - 30 = 2   ​
x 1 = x 2 = - 4   ​
5

Zbroj kvadrata triju uzastopnih neparnih prirodnih brojeva iznosi 1 883 . Najmanji je od tih brojeva broj 25 .

Pomoć:

Ako je x srednji od traženih brojeva, najmanji je x - 2 , a najveći x + 2 .

Uvjet zadatka možemo pisati u obliku jednadžbe x - 2 2 + x 2 + x + 2 2 = 1 883 .

Postupak:

x - 2 2 + x 2 + x + 2 2 = 1 883 x 2 - 4 x + 4 + x 2 + x 2 + 4 x + 4 = 1 883 3 x 2 + 8 = 1 883 3 x 2 = 1 875 x 2 = 625

x 2 = 625 x 2 - 625 = 0 x - 25 x + 25 = 0 x = 25 ili x = - 25 .

Budući da tražimo prirodne brojeve, negativno rješenje odbacujemo i zaključujemo da je srednji broj 25 . Najmanji je 23 , a najveći 27 .

23 2 + 25 2 + 27 2 = 1 883

Provjerite da je. ​

ZAVRŠITE PROCJENU