x
Učitavanje

3.4 Djelomično korjenovanje

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Proučite ove dvije slike.

Slika 1. prikazuje niz kvadrata jedan unutar drugog. Iznosi su njihovih površina kvadrati prirodnih brojeva.

Slika 2. prikazuje niz kvadrata upisanih jedan u drugi. Nisu svi iznosi njihovih površina kvadrati prirodnih brojeva.

Na slici su prikazane dvije slike nizova kvadrata upisanih jedne u druge po dijegonali. Površine na prvoj slici su 1,4,16,64, a na drugoj,1,2,4,8,16,64
Slika 1.
Na slici su prikazana četiri različita kvadrata u nizu u kvadratnoj mreži, površina1, 4, 16 i 64
Slika 2.

Presložimo kvadrate sa slike 1. u kvadratnu mrežu.

Promotrimo odnos duljina stranica susjednih kvadrata.

Promotrimo odnos površina susjednih kvadrata.

Kvadrat sa stranicom duljine 1 ima površinu 1 .

Ako je duljina stranice kvadrata dva puta veća od duljine stranice prethodnog kvadrata, površina mu je je četiri puta veća.

Zadatak 1.

Kolika je duljina stranice kvadrata površine 25 kvadratnih centimetara?

Na slici je prikazan kvadrat površine 25 u kvadratnoj mreži

Površina kvadrata jednaka je kvadratu duljine njegove stranice.

Tražimo drugi korijen iz 25 , 25 . ​ To je broj 5 , 25 = 5 .

Označimo duljinu stranice kvadrata s a , a površinu s p .

p = a 2 25 = a 2 25 = a a = 5 cm

Duljina stranice kvadrata površine 25 kvadratnih metara iznosi 5 centimetara.


Prirodni broj koji je kvadrat drugoga prirodnog broja naziva se potpuni kvadrat. (Primjerice, 9 je potpuni kvadrat jer je 9 = 3 2 , 16 je potpuni kvadrat jer je 16 = 4 2 ). Drugi korijen iz potpunog kvadrata prirodnog broja je prirodni broj, n 2 = n , n N .

Primjer 1.

Na slici su prikazana dva  kvadrata, drugi četiri puta veće površine od prvog.

Promotrimo dva kvadrata s početne desne slike. Njihove površine nisu potpuni kvadrati.

Unutar njih zapisane su njihove površine 2 i 8 .

Površina je većeg kvadrata četiri puta veća od površine manjeg.

Kolike su duljine stranica tih kvadrata?

Na slici su prikazana dva kvadrata, veći četiri puta veće površine s duljinama stranica korijen iz 2 i korijen iz 8.

Duljina stranice manjeg kvadrata je​ 2 .

Duljina stranice manjeg kvadrata je​ 8.


Zadatak 2.

Na slici se prikazana dva kvadrata, veći četiri puta veće površine s duljinama stranica korijen iz 2 i korijen iz 8.

Koliko je puta duljina stranice većeg kvadrata veća od duljine stranice manjeg kvadrata?

Duljina stranice većeg kvadrata dva je puta veća od duljine stranice manjeg kvadrata, 8 = 2 · 2 .


U sljedećoj interakciji zadan je kvadrat površinom i duljinom stranice. Popunite zadani kvadrat s ponuđenim manjim kvadratima. Uočite različit zapis iste duljine stranice zadanog kvadrata.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 2.

Kako možemo računski potvrditi jednakost?

8 = 2 · 2

Možemo broj 8 rastaviti na umnožak dvaju prirodnih brojeva tako da je jedan od njih potpuni kvadrat.

8 = 4 · 2 =

Korijen umnoška jednak je umnošku korijena,

4 · 2 = 2 · 2 .

Dakle, 8 = 2 · 2 .


Kažemo da smo broj 8 djelomično korjenovali postupkom koji se naziva djelomično korjenovanje.

Primjer 3.

Djelomično korjenujmo broj 12 .

12 = 4 · 3 = 4 · 3 = 2 · 3


Primjer 4.

Djelomično korjenujmo broj 20 .

20 = 4 · 5 = 4 · 5 = 2 · 5


Primjer 5.

Djelomično korjenujmo broj 50 .

50 = 25 · 2 = 25 · 2 = 5 · 2


Zadatak 3.

Možemo li djelomično korjenovati broj 30 ?

Broj 30 ne možemo djelomično korjenovati jer ne postoji rastav broja 30 na faktore takav da je barem jedan od faktora potpuni kvadrat.

30 = 2 · 3 · 5


Ako prirodni broj u svojemu rastavu na faktore ima potpuni kvadrat, možemo ga djelomično korjenovati.

Zapis​ 2 · 2   kraće zapisujemo 2 2 izostavljajući znak za množenje i čitamo: dva korijena iz dva​.

Zapis​ a · b  kraće zapisujemo a b izostavljajući znak za množenje i čitamo: a korijena iz b.

Zadatak 4.

Riješite ovaj kratki kviz o djelomičnom korjenovanju.

  1. 80 =  

     

  2. 120 = 2 30  

  3. Zadane elemente odvucite na odgovarajuće mjesto.

    15  

    Prirodni brojevi koje ne možete djelomično korjenovati

      Prirodni brojevi koje možete djelomično korjenovati

     

Primjer 6.

​Je li 32  dobro djelomično korjenovan ako piše sljedeća jednakost?

32 = 2 8

Jednakost 32 = 2 8 je točna, ali nije „do kraja” provedeno djelomično korjenovanje.

Naime, broj 8 može se još djelomično korjenovati.

8 = 4 · 2 = 4 · 2 = 2 2

Djelomičnim korjenovanjem „do kraja dobili smo rješenje 32 = 4 2 .

32 = 16 · 2 = 16 · 2 = 4 2  


Djelomično je korjenovanje završeno kada pod korijenom više nemamo faktor koji je potpuni kvadrat.

  • 8 15

  • 2 2

  • 2 3 ...

Zadatak 5.

Proučite zadane izraze te ih razvrstajte u odgovarajuće skupine.

 Zadane elemente odvucite na odgovarajuće mjesto.

2 42   

Do kraja djelomično korjenovan

Nije do kraja djelomično korjenovan

null
null

Zadatak 6.

Zadani su korijeni prirodnih brojeva. Provedite djelomično korjenovanje i dopišite nepoznati broj s desne strane jednakosti na mjesto upitnika. Kad sve točno riješite, otkrit će vam se slika.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjena djelomičnog korjenovanja

Primjer 7.

Na slici su prikazana dva kvadrata u kvadratnoj mreži.Jedan površine 9, a drugi 8.

Koristeći se kvadratnom mrežom, odredimo površinu i opseg kvadrata na slici.

Na slici su prikazana dva kvadrata u kvadratnoj mreži s upisanim povrinama, 9 i 8.

Površinu lijevog kvadrata lako dobijemo kvadriranjem i ona iznosi 9 jediničnih kvadrata.
Površinu desnog kvadrata odredimo prebrojavanjem jediničnih kvadrata i ona iznosi 8 jediničnih kvadrata.

Duljinu stranice lijevog kvadrata lako očitamo iz kvadratne mreže i ona iznosi 3 jedinične dužine.

Opseg lijevog kvadrata:

o = 4 · a o = 4 · 3 o = 12.

Opseg lijevog kvadrata iznosi 12 jediničnih dužina.

Duljinu stranice a desnog kvadrata odredimo iz površine:

p = a 2 8 = a 2 a = 8 a = 4 · 2 a = 4 · 2 a = 2 2 .

Duljina stranice desnog kvadrata iznosi 2 2 jediničnih dužina.

Opseg desnog kvadrata:

o = 4 a o = 4 · 2 2 o = 8 2 .

Opseg desnog kvadrata iznosi 8 2 jediničnih dužina.


Opisuje obilježja potpunoga, djelomičnoga i približnog korijena

U ovom je videozapisu prikazana razlika između potpunoga, djelomičnoga i približnog korijena.

  • Potpuni korijen, točna vrijednost

    16 = 4

    25 = 5

    100 = 10

  • Djelomični korijen, točna vrijednost

    8 = 2 2

    99 = 3 11

  • Približni korijen, približna vrijednost

    2 1,414213562373095.. .

    8 2.82842712474619.. .

    1 000 31,62277660168379.. .

Zadatak 7.

Na slici su prikazana dva kvadrata upisani jedan unutar drugog.

U parku u obliku kvadrata dizajner parka osmislio je dio s gumenom podlogom za igranje u sredini. Taj dio uokviren je travnjakom kako je prikazano na slici.

Kako bi se travnata površina zaštitila, stavljena je ograda oko svakoga travnatog dijela. Kolika je najmanja ukupna duljina te ograde? (Jedinični kvadrat ima površinu 1 kvadratni metar).

Na slici je prikazan kvadrat površine 20 upisan u kvadrat površine 36 jediničnih kvadrata..

Dijelovi travnjaka sukladni su pravokutni trokuti.

Katete su duljine 2 metra i 4 metra.

Za opseg jednoga trokutnog dijela potrebno je odrediti duljinu hipotenuze.

Duljinu hipotenuze odredit ćemo iz površine unutarnjeg kvadrata jer je ona ujedno stranica tog kvadrata.

Površina unutarnjeg kvadrata iznosi 20 četvornih metara.

Duljina hipotenuze iznosi

20 = 4 · 5 = 4 · 5 = 2 5 m .

Ukupna duljina ograde iznosi najmanje

4 · ( 2 + 4 + 2 5 ) = 4 · ( 6 + 2 5 ) 4 · ( 6 + 4.47 ) = 4 · 10.47 = 41.88 metara.


Zadatak 8.

Za svaki kvadrat u kvadratnoj mreži odredite duljinu njegove stranice.

Može biti i više od jednoga točnog odgovora.


  1. Na slici je prikaz kvadrata postavljen dijagonalno u pravokutnoj mreži površine 8 .

    Pomoć:

    Na slici je prikaz kvadrata postavljen dijagonalno u pravokutnoj mreži površine 8 . S istaknutim dijagonalama.

     

    null

  2. Na slici je prikaz kvadrata postavljen dijagonalno u pravokutnoj mreži površine 25. .

    Pomoć:

    Na slici je prikaz kvadrata postavljen dijagonalno u pravokutnoj mreži površine 25 .

     ​

    null

  3. Na slici je prikaz kvadrata postavljen dijagonalno u pravokutnoj mreži površine 10 .

    Pomoć:

    Na slici je prikaz kvadrata postavljen dijagonalno u pravokutnoj mreži površine 10 .

     ​

    null

  4. Na slici je prikaz kvadrata postavljen dijagonalno u pravokutnoj mreži površine 18 .

    Pomoć:

    Na slici je prikaz kvadrata postavljen dijagonalno u pravokutnoj mreži površine 18 .

     ​

    null

Primjer 8.

Zadani su umnošci korijena koje ne možemo djelomično korjenovati.

Izračunajmo (pojednostavnimo primjenom a b = a b ) i djelomično korjenujmo.

3 · 6 = 3 · 6 = 18 = 9 · 2 = 9 · 2 = 3 2  

8 · 45 = 4 · 2 · 9 · 5 = 4 · 2 · 9 · 5 = 2 · 2 · 3 · 5 = 6 10

10 · 6 = 10 · 6 = 60 = 4 · 15 = 4 · 15 = 2 15

Zadatak 9.

Izračunajte umnožak korijena i uparite s točnim rezultatom.

Uparite.

10 · 30   ​
5 3   
5 · 15  
26 · 2   ​
2 13   ​
10 3   
6 5  
6 · 30  
null
null

Primjer 9.

Možemo li otkriti koji je broj djelomično korjenovan ako je zapis djelomičnog korjenovanja broj​ 11 15 ?

Prisjetimo se!

n 2 = n , n N

Primijenimo jednakost n = n 2 na broj 11 , 11 = 11 2

11 15 = 11 2 · 15 = ,

umnožak korijena jednak je korijenu umnoška,

11 2 · 15 = 121 · 15 = 1 815 .

Zapis 11 15 rezultat je djelomičnog korjenovanja broja 1 815 .


Zadatak 10.

Kolika je površina kvadrata kojemu je duljina stranice​ 3 2 cm ?

Duljina je stranice kvadrata 3 2 = 3 2 · 2 = 9 · 2 = 18

Površina kvadrata stranice duljine 3 2 cm iznosi 18 .

Površina kvadrata sa stranicom duljne a jednaka je umnošku duljine stranice sa samom sobom.

P = a 2

P = 18 2

P = 18

Površina kvadrata kojemu je duljina stranice 3 2 cm iznosi 18 cm 2 .


Složi pločice tako da prislanjaš stranice s jednakim vrijednostima oblika korijena i njegova djelomično korjenovanog para.

Primjer 10.

Ispitajmo je li jednakost istinita koristeći se džepnim računalom.

5 + 20 = 5 + 20  

2.24 + 4.47 = 5

6.71 5

Jednakost nije istinita.

Za pozitivne racionalne brojeve vrijede sljedeće tvrdnje.

Zbroj korijena nije jednak korijenu zbroja.

Korijen zbroja nije jednak zbroju korijena.

a + b a + b , a , b Q +

Primjer 11.

Izračunajmo primjenjujući djelomično korjenovanje.

5 + 20 =

5 + 4 · 5 =

5 + 4 · 5 =  ​

1 · 5 + 2 · 5 =  

5 · ( 1 + 2 ) =

5 · 3 =

3 5


Korijene različitih radikanada možemo zbrojiti ili oduzeti ako ih djelomičnim korjenovanjem možemo svesti na isti radikand.

Zadatak 11.

20 - 80 =   ​

4 · 5 - 16 · 5 =

4 · 5 - 16 · 5 =

2 5 - 4 5 =

5 · ( 2 - 4 ) =

- 2 5


Zadatak 12.

Zadane izraze pojednostavnite djelomičnim korjenovanjem i odredite koji je odgovor točan.

  1. 99 - 44 =

    Pomoć:

    99 - 44 = 9 · 11 - 4 · 11  

    Postupak:

    99 - 44 = = 3 11 - 2 11 11   ​

  2. 60 - 135 =

    Pomoć:

    60 - 135 = 4 · 15 - 9 · 15

    Postupak:

    60 - 135 = = 2 15 - 3 15 = - 15

  3. 700 - 343 =  

    Pomoć:

    700 - 343 = 100 · 7 - 49 · 7   ​

    Postupak:

       700 - 343 = 10 7 - 7 7 = 3 7  

  4. 600 - 1 536 =  

    Pomoć:

    600 - 1 536 = 100 · 6 - 256 · 6   ​

    Postupak:

    600 - 1 536 = 10 6 - 16 6 = - 6 6   ​

Primjena djelomičnog korjenovanja na rješavanje problema

Zadatak 13.

Na slici je prikaz tlocrta koji se sastoji od dva kvadrata koji se dodiruju stranicama. Manji površine 12, a veći površine 27 metara kvadratnih.

Lik na slici sastoji se od dvaju kvadrata površine 12 i 27 kvadratnih metara. Opseg tog lika izrazi drugim korijenom.

Na slici je prikaz tlocrta koji se sastoji od dva kvadrata koji se dodiruju stranicama. Manji površine 12, a veći površine 27 metara kvadratnih. Istaknute i duljne stranica kvadrata .

Potrebno je odrediti duljine stranica tog lika.

Duljina stranice manjeg kvadrata:

p = a 2 12 = a 2 a = 12 a = 4 · 3 a = 4 · 3 a = 2 3 m.

Duljina stranice manjeg kvadrata iznosi​ 12 = 2 3 m .

p = a 2 27 = a 2 a = 27 a = 9 · 3 a = 9 3 a = 3 3 m  

Duljina stranice većeg kvadrata iznosi​ 27 = 3 3 m .

o = 3 · 2 3 + 3 · 3 3 + 3

o = 6 3 + 9 3 + 3

o = 3 · ( 6 + 9 + 1 )

o = 16 3 m

Opseg lika iznosi 16 3 metara.


Zadatak 14.

Na slici je prikaz pravokutnika rastavljenog na dva kvadrata površine 8, jednog površine 18, dva pravokutnika površine 6 i jedan površine 2.

Prekrivač za stol u obliku pravokutnika sastavljen je od: jednog kvadrata površine 2 , dva kvadrata površine 8 i jednog kvadrata površine 18 decimetara kvadratnih te dva sukladna pravokutnika površine 6 . Koliki mu je opseg izražen u decimetrima s pomoću 2 ?

Na slici je prikaz pravokutnika rastavljenog na dva kvadrata površine 8, jednog površine 18, dva pravokutnika površine 6 i jedan površine 2. Istaknute su im i duljine stranica.

Opseg pravokutnika jednak je zbroju duljina svih stranica.

Za računanje opsega treba odrediti duljine stranica kvadrata i pravokutnika od kojih je prekrivač sastavljen.

Duljina stranice kvadrata a površine p = 2 iznosi p = a 2 , 2 = a 2 , a = 2 dm .

Duljina stranice kvadrata​ b površine p = 8 iznosi p = a 2 , 8 = a 2 , a = 8 = 4 · 2 = 2 2 dm .

Duljina stranice kvadrata c površine p = 18 ​iznosi p = a 2 , 18 = a 2 , a = 18 = 9 · 2 = 3 2 dm .

Duljina veće stranice pravokutnika jednaka je duljini stranice najvećeg kvadrata, c = 3 2 dm . Duljina kraće stranice pravokutnika jednaka je duljini stranice najmanjeg kvadrata, a = 2 dm .

Označimo duljine stranica pravokutnika s x i y .

x = 2 + 2 2 + 3 2 x = 2 ( 1 + 2 + 3 ) x = 6 2 dm

y = 3 2 + 2 y = 2 ( 3 + 1 ) y = 4 2 dm

o = 2 x + y o = 2 6 2 + 4 2 o = 2 2 ( 6 + 4 ) o = 20 2 dm

Opseg pravokutnika izražen s pomoću 2 iznosi 20 2 dm .


Zadatak 15.

Na slici je prikazan niz kvadrata upisanih jedan u drugi kojima pivršine nisu svi potpuni kvadrati.

U gradskom je parku napravljen cvjetnjak. U kvadrate su upisani iznosi njihovih površina u kvadratnim metrima.

Svaki cvjetnjak treba biti ograđen niskom ogradicom. Cijena jednog metra ograde je 45   kuna. Kolika je najmanja cijena te ograde potrebna za ograđivanje svih kvadratnih dijelova cvjetnjaka?

Za duljinu ograde potrebno je odrediti duljinu stranice svakog kvadrata korjenovanjem površine. Duljine stranice kvadrata, počevši od najmanjeg, redom su:

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 i 64 .

Opseg je zbroj duljina svih stranica. Kako bismo ih mogli zbrojiti, moramo ih svesti na isti radikand.

Opsezi kvadrata redom su:

4 , 4 · 2 , 4 · 4 = 8 , 4 · 8 , 4 · 16 = 16 , 4 · 32 i 4 64 = 32 .

Na osnovi toga, duljina ograde zbroj je svih opsega.

4 + 4 2 + 8 + 4 8 + 16 + 4 32 + 32 =

60 + 4 2 + 4 · 4 · 2 + 4 · 16 · 2 =

60 + 4 2 + 4 · 4 2 + 4 · 16 2 =

60 + 4 2 + 4 · 2 · 2 + 4 · 4 · 2 =

60 + 4 2 + 8 2 + 16 2 =

60 + 2 ( 4 + 8 + 16 ) =

60 + 28 2 99.48

Najmanja duljina ograde iznosi približno 99.48 metara.

Cijena ograde bit će najmanje 99.48 · 45 = 4 476.60 kuna.


Zadatak 16.

Na slici je prikazan kvadrat podijeljen na dva sukladna pravokutnika

Baka ima cvjetnjak iza kuće u obliku kvadrata, površine 450 kvadratnih metara. Ove ga je godine odlučila prepoloviti kako je prikazano na crtežu te u jednu polovicu smjestiti kokoši nesilice. Kolika će biti duljina ograde kojom će ograditi dio za kokoši?

Na slici je prikazan kvadrat podijeljen na dva sukladna pravokutnika s istaknutim duljinama stranica.

Duljina stranice kvadrata površine 450 kvadratnih metara jednaka je 450 metara.

Djelomično korjenujmo broj 450 .

450 = 225 · 2 = 225 · 2 = 15

Duljina pola stranice kvadrata iznosi 1 2 od 15 2 = 1 2 · 15 2 = 0.75 .

Duljine stranica pravokutnika iznose a = 15 2 m i b = 7.5 2 m .

Opseg pravokutnika zbroj je duljina stranica.

o = 2 · ( a + b )   o = 2 · 15 2 + 7.5 2 o = 2 2 · 15 + 7.5 o = 2 2 · 22.5 o = 45 2  

Duljina će ograde biti 45 2  metara.


...i na kraju

Naučili smo:

Idemo na sljedeću jedinicu

3.5 Računanje s korijenima