x
Učitavanje

3.3 Množenje i dijeljenje korijena

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika kvadrata s još jednim kvadratom nad njegovom dijagonalom.

Lorena je nacrtala kvadrat sa stranicom duljine 1 cm i jednu njegovu dijagonalu. Nad tom dijagonalom nacrtala je novi kvadrat. U kojem su odnosu površina novoga i početnoga kvadrata? Rješenje možete provjeriti s pomoću animacije.

Površina početnog kvadrata iznosi 1 · 1 = 1 cm 2 .

Površina novog kvadrata iznosi 2 · 2 = 2 2 .

S obzirom na to da su kvadriranje i korjenovanje suprotne računske radnje, vrijedi:

a 2 = a , a 0 .

Zato je 2 2 = 2 .

Dakle, površine novoga i početnoga kvadrata odnose se u omjeru 2 : 1 .


Zadatak 1.

Izračunajte.

  1. 13 2  
  2. ( - 13 ) 2  
  3. - 13 2

Prema definiciji kvadriranja imamo:

  1.  13 2 = 13 · 13 = 169  
  2. ( - 13 ) 2 = - 13 · ( - 13 ) = 169
  3. - 13 2 = - 13 · 13 = - 169.

Zanimljivost

Prisjetimo se, broj a i - a suprotni su brojevi.

Kvadrati su suprotnih brojeva jednaki.

To zapisujemo a 2 = ( - a ) 2 = a 2 .

Broj - a 2 suprotan je broju a 2 pa su zato i njihovi predznaci različiti.

Možemo opaziti da se u izrazu - a 2   prvo izvodi računska radnja kvadriranja, a zatim se određuje broj suprotan broju a 2 .

Primjer 1.

Odredimo:

  1. 3 2  
  2. 3 2  
  3. ( - 7 ) 2
  4. - 7 2 .
  1. 3 2 = 3 · 3 = 3
  2. 3 2 = 3 · 3 = 9 = 3  
  3. ( - 7 ) 2 = 49 = 7
  4. - 7 2 = - 49

Kvadrati su svih racionalnih brojeva veći ili jednaki nuli, tj. ne postoji racionalni broj koji kvadriranjem poprima negativnu vrijednost. Zato u skupu racionalnih brojeva ne postoji drugi korijen negativnog broja. Zbog toga zadatak nema rješenje.


Kvadrat korijena nenegativnoga racionalnog broja jednak je samom tom broju.

a 2 = a za a 0 .

Korijen kvadrata nekog broja i korijen kvadrata njemu suprotnog broja jednaki su apsolutnoj vrijednosti tog broja.

a 2 = ( - a ) 2 = a za a Q .

Prisjetimo se, - 16 nema rješenje u skupu racionalnih brojeva.

 Razvrstajete zadane brojeve.

- 100   ​

Imaju rješenje u skupu racionalnih brojeva

Nemaju rješenje u skupu racionalnih brojeva

null
null

Množenje korijena

Primjer 2.

Koristeći se u tablici zadanim podatcima, odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici (na papir).

a b a · b
a
b a · b a · b
1
4
4 9
0 36
2.25 0.25
4 25 9 16

Što zamjećujemo?

a b a · b a b a · b a · b
1 4 4 1 2 2 2
4 9 36 2 3 6 6
0 36 0 0 6 0 0
2.25 0.25 0.5625 1.5 0.5 0.75 0.75
4 25 9 16 9 100 2 5 3 4 3 10 3 10

Zamjećujemo da su korijen umnoška i umnožak korijena nenegativnih racionalnih brojeva jednaki (to su brojevi u posljednja dva stupca).


Zaključujemo da je a · b = a · b   za a 0  i b 0 .

Vrijedi i obratno, a · b = a · b   za a 0  i b 0 .

Umnožak korijena dvaju nenegativnih racionalnih brojeva jednak je korijenu njihova umnoška.

Korijen umnoška dvaju nenegativnih racionalnih brojeva jednak je umnošku njihovih korijena.

Primjer 3.

Izračunajte koristeći se svojstvom umnoška korijena.

  1. 2 · 8  
  2. 8 · 18
  3. 2 · 5
  4. 3 2 · 2 7
  1. 2 · 8 = 16 = 4  
  2. 8 · 18 = 144 = 12
  3. 2 · 5 = 10
  4. 3 2 · 2 7 = 6 14

Primjer 4.

Izračunajte koristeći se svojstvom korijena umnoška.

  1. 1 440 000  
  2. 2.56 · 10 6  
  3. 4 y 2 x 2
  4. 1 000 4
  1. 1 440 000 = 144 · 10 000 = 12 · 100 = 1 200
  2. 2.56 · 10 6 = 2.56 · 10 6 = 1.6 · 10 3
  3. 4 y 2 x 2 = 4 · y 2 · x 2 = 2 y x
  4. 1 000 4 = ( 10 3 ) 4 = 10 12 = 10 6

Zadatak 2.

  1. Koliko je 1.21 · 10 4 ?

    null
    null
  2. Koliko je 36 x 2 ?​
    null
    null
  3. Je li 121 x 10 225 = 11 15 x 5 ?

    null
    null
  4. Je li 10 6 a 4 = 1 000 a 2 ?

    null
    null
  5. Je li 100 4 = 10 2 ?

    null

    Postupak:

    100 4 = ( 10 2 ) 4 = 10 8 = 10 4

  6. Koliko je 48 · 3 ?
    null

Kutak za znatiželjne

Je li za sve racionalne brojeve korijen umnoška jednak umnošku korijena? Ako jest, objasnite. Ako nije, napišite primjer u bilježnicu.

( - 9 ) · ( - 1 ) = 9 = 3 , ali - 9 · - 1 3 .

Korijen umnoška jednak je umnošku korijena i obratno samo za nenegativne racionalne brojeve.

Prisjetimo se, u skupu racionalnih brojeva ne postoji drugi korijen negativnog broja, zato  drugi zadatak nema rješenja.


Dijeljenje korijena

Primjer 5.

Koristeći se u tablici zadanim podatcima, odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici (na papir).

a b a : b a b a : b a : b
0 49
1 4
25 64
0.09 0.0001

Što zamjećujemo?

a b a : b a b a : b a : b
0 49 0 0 7 0 0
1 4 1 4 1 2 1 2 1 2
25 64 25 64 5 8 5 8 5 8
0.09 0.0001 900 0.3 0.01 30 30

Zamjećujemo da su korijen količnika i količnik korijena nenegativnih racionalnih brojeva jednaki (to su brojevi u posljednja dva stupca tablice).


Zaključujemo da je

a : b = a : b za a 0  i b > 0 .

Vrijedi i obratno, a : b = a : b   za a 0  i b > 0 .

Količnik korijena dvaju nenegativnih racionalnih brojeva jednak je korijenu njihova količnika.

Korijen količnika dvaju nenegativnih racionalnih brojeva jednak je količniku njihovih korijena.

Primjer 6.

Koristeći se svojstvom količnika korijena, izračunajte.

  1. 75 : 3
  2. 225 361
  3. 225 : 49
  4. 1 8 : 9 2
  1. 75 : 3 = 25 = 5
  2. 225 361 = 225 361 = 15 19
  3. 225 : 49 = 225 : 49 = 15 : 7 = 15 7  
  4. 1 8 : 9 2 = 1 8 · 2 9 = 1 4 · 1 9 = 1 36 = 1 6  

Zadatak 3.

Izračunajte.

  1. 0.08 : 0.02
  2. 16 25 : 2 7 9
  3. - 121 - 225
  4. 49 a 2 : b 2
  1. 0.08 : 0.02 = 0.08 : 0.02 = 4 = 2
  2. 16 25 : 2 7 9 = 16 25 : 25 9 = 4 5 : 5 3 = 4 5 · 3 5 = 12 25
  3. - 121 - 225 = 121 225 = 121 225 = 11 15
  4. 49 a 2 : b 2 = 49 a 2 : b 2 = 7 a : b = 7 a b

Množenje i dijeljenje korijena

Primjer 7.

Pojednostavnimo izraze.

  1. ( 3 + 1 ) ( 5 - 2 2 )
  2. ( 3 3 + 2 5 ) 2  
  3. ( 4 - 5 6 ) ( 4 + 5 6 )  
  4. ( 7 - 3 ) 2  
  1. ( 3 + 1 ) ( 5 - 2 2 ) = 15 - 2 6 + 5 - 2 2
  2. ( 3 3 + 2 5 ) 2 = 27 + 12 15 + 20 = 47 + 12 15
  3. ( 4 - 5 6 ) ( 4 + 5 6 ) = 16 - 150 = - 134
  4. ( 7 - 3 ) 2 = 7 - 2 7 · 3 + 3 = 10 - 2 21

Zadatak 4.

 Povežite zadatke s njima odgovarajućim rješenjima.

( 2 3 + 3 5 ) ( 2 3 - 3 5 )
3 - 5 5
( 2 3 - 3 5 ) 2
- 33
2 3 - 3 5 - ( 3 + 2 5 )
57 + 12 15
( 2 3 + 3 5 ) 2
57 - 12 15
null
null

Primjer 8.

Izračunajte.

  1. 2 · 3 · 6 · 2 2  
  2. ( - 7 ) 2 44 : 11  
  3. 24 147 · 1 6 : 4 27
  4. ( 5 + 3 3 ) ( 2 3 - 7 2 )
  1. 2 · 3 · 6 · 2 2 = 36 · 2 = 6 · 2 = 12
  2. ( - 7 ) 2 44 : 11 = 7 4 = 7 2  
  3. 24 147 · 1 6 : 4 27 = 24 147 · 1 6 : 4 27 = 24 147 · 1 6 · 27 4 = 9 49 = 3 7  
  4. ( 5 + 3 3 ) ( 2 3 - 7 5 ) = 2 15 - 35 + 18 - 21 15 = - 17 - 19 5

Zadatak 5.

Izračunajte.

  1. 5 · 15 · 3
  2. 33 · 28 77
  3. 1 2 5 : 10 121 · 9 14
  4. ( - 3 ) 2 · ( - 3 ) 2
  1. 5 · 15 · 3 = 225 = 15
  2. 33 · 28 77 = 33 · 28 77 = 3 · 28 7 = 3 · 4 1 = 12
  3. 1 2 5 : 12 1 10 · 9 14 = 7 5 : 121 10 · 9 14 = 7 5 · 10 121 · 9 14 = 9 121 = 3 11
  4. ( - 3 ) 2 · ( - 3 ) 2 = 3 · 3 = 9 = 3  

 Poredajte izraze od onog čija je vrijednost najmanja do onog čija je vrijednost najveća.

  • 2 3 8 · 2 + 49 : 9 + 20 · 5
  • 15 89 100 - 0.25
  • ( 3 2 - 5 ) ( 3 2 + 5 )
  • 2 · 18   ​
null
null

Pogledajte kako se rješavaju neki složeniji zadatci.

Rješavanje složenijih zadataka

Kutak za znatiželjne

Kinetička je energija energija koju tijelo ima dok se giba, a ovisi o masi i brzini tijela.

Kinetička energija računa se prema formuli E k = 1 2 m v 2 , gdje je masa izražena u kilogramima, a brzina u metrima u sekundi.

Marta se bavi skokovima u vodu. Netom prije doticaja s vodom, Martina kinetička energija iznosi 3 500 J .

Ako je Martina masa 40 kg , kolika je njezina brzina izražena u metrima u sekundi?

Fotografija žene koja skače u vodu.

3 500 = 1 2 · 40 · v 2

3 500 = 20 · v 2

175 = v 2

v = 175

v 13 m s  

Martina brzina približno iznosi 13 m/s .

Napomena: Kvadratna jednadžba ima dva rješenja, pozitivno i negativno, no u ovom slučaju negativna brzina nema smisla.

...i na kraju

U ovoj ste cjelini naučili:

Kutak za znatiželjne

Ako želite, možete odrediti opseg kvadrata sa stranicom duljine 2 cm koristeći se različitim aproksimacijama vrijednosti drugog korijena broja dva:

  1. 2 1.4  
  2. 2 1.41
  3. 2 1.414
  4. 2 1.4142.

Objasnite zbog čega obično upotrebljavamo 1.41 kao aproksimaciju vrijednosti drugog korijena broja dva.

Ako želite, provjerite svoje znanje vezano za ovu cjelinu.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Je li 18 · 2 = 6 ?

null

Postupak:

18 · 2 = 36 = 6   ​

2

Je li 7 · 3 = 10 ?

null

Postupak:

  7 · 3 = 21   ​

3

Koliko je 12 : 2 ?

null
4

Koji broj NIJE rješenje izraza 121 25 ?

null
5

Površina kvadrata sa stranicom duljine 11 cm    od površine pravokutnika sa stranicama 3 cm i 5 cm.

null
6

  Je li 32 : 1 2 = 4 ?

null

Postupak:

  32 : 1 2 = 32 · 2 1 = 64 = 8   ​

7

 Je li zadatak točno riješen?

50 2 - 14 2 = ( 50 - 14 ) ( 50 + 14 ) = 36 · 64 = 6 · 8 = 48  

null
8

Povežite zadatke i njima odgovarajuća rješenja.

( 2 + 3 ) 2  
- 1   ​
( 2 - 3 ) 2  
5 + 2 6   ​
3 ( 3 - 2 )   ​
5 - 2 6   ​
( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )   ​
3 - 6  
 
null
9
 Koliko je 7 - 13 · 7 + 13 ?
null

Postupak:

7 - 13 · 7 + 13 = ( 7 - 13 ) ( 7 + 13 ) = 49 - 13 = 36 = 6

10
Kolika je površina pravokutnika sa stranicama dimenzija 3 7 dm   i 21 dm u dm 2 ? Upišite samo broj bez mjerne jedinice.
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

3.4 Djelomično korjenovanje