x
Učitavanje

3.1 Pojam drugog korijena

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje rad slikara Mondriana.
Mondrian

Katarina je proučavala rad nizozemskog slikara Mondriana. Za sat matematike izradila je rad sličan Mondrianovu. U svaki je kvadrat upisala njegovu površinu. Odredite duljine stranica svakog kvadrata te na papiru nacrtajte tablicu i rješenja upišite u nju.

Slika prikazuje rad koji je izrađen nalik na rad Mondriana s upisanim površinama kvadrata.
Katarinina slika
POVRŠINA KVADRATA p = a 2 DULJINA STRANICE KVADRATA a
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144

Pri rješavanju zadatka možete se poslužiti sljedećom interakcijom. Pomicanjem točke ispod slova mijenja se duljina stranice a prikazanog kvadrata i ispisuje odgovarajuća površina.

Povećaj ili smanji interakciju
POVRŠINA KVADRATA p = a 2 DULJINA STRANICE KVADRATA a
1 1
4 2
9 3
16 4
25 5
36 6
49 7
64 8
81 9
100 10
121 11
144 12

Zadatak 1.

Promotrite prvi crveni kvadrat. Njegova površina iznosi 144 . Postoji li još koji broj, osim broja 12 , koji pomnožen sa samim sobom daje 144 ? Ako postoji, može li taj broj biti jedno od rješenja? Objasnite.

Broj - 12 pomnožen sa samim sobom daje 144 . No broj - 12 ne može biti rješenje zadatka jer duljina stranice kvadrata ne može biti negativni broj.


Zadatak 2.

Pogledajte animaciju te odredite pravilo pridruživanja.

Robot za izlaznu vrijednost daje broj koji pomnožen sa samim sobom (kvadriran) daje vrijednost jednaku ulaznoj. Možemo reći da robot obavlja računsku radnju suprotnu kvadriranju. Ta se računska radnja naziva korjenovanje.


Drugi korijen

Izračunati (drugi) korijen nenegativnog racionalnog broja a znači odrediti nenegativni racionalni broj b ( b 0 ) koji kvadriran daje zadani broj. Simbol je drugog korijena .

Ako je b 2 = a, onda je b = a .

Slika prikazuje podsjetnik. Kvadriranje i korjenovanje su suprotne računske operacije.

Drugi ili kvadratni korijen nenegativnoga racionalnog broja a , a 0 je nenegativan racionalan broj b , ( b 0 ) koji pomnožen samim sobom daje broj a .

Zapisujemo a = b .

36 čitamo kao korijen od 36 ​.

Uočimo. Budući da je  5 2 = 25 , tada je 25 = 5 .

Na taj način je 9 = 3 , 4 49 = 2 7 , 0.36 = 0.6 ,   - 49 = - 7 ,   - 1.21 = - 1.1 itd.

Broj b naziva se radikand ili potkorijenska veličina, a broj a vrijednost drugog korijena. ​

Primjer 1.

Odredimo vrijednost drugog korijena brojeva.

  1. 121
  2. 49 81
  3. 3 75
  4. 2 1 4
  1. 121 = 11 jer je​ 11 2 = 121
  2. 49 81 = 7 9 jer je 7 9 2 = 49 81
  3. 3 75 = 1 25 = 1 5 jer je 3 75 = 1 25 , a ​ 1 5 2 = 1 25
  4. 2 1 4 = 9 4 = 3 2 jer je 2 1 4 = 9 4 , a ​ 3 2 2 = 9 4

Primjer 2.

Odredimo vrijednost drugog korijena brojeva.

  1. 0.04
  2. 0.36
  3. 0
  4. - 16
  1. 0.04 = 0.2 jer je 0.2 2 = 0.04
  2. 0.36 = 0.6 jer je 0.6 2 = 0.36
  3. 0 = 0 jer je​ 0 2 = 0
  4. Nema rješenja jer ne postoji broj koji kvadriran daje negativni broj. (Pozitivni broj pomnožen pozitivnim brojem daje pozitivni broj, ali i negativni broj pomnožen negativnim brojem daje pozitivni broj.)

Drugi je korijen pozitivnoga racionalnog broja pozitivni racionalni broj.

Drugi korijen broja 0 je 0 .

Drugi korijen negativnoga racionalnog broja ne postoji jer ne postoji broj koji nakon množenja sa samim sobom ima negativni predznak.

Zadatak 3.

Izračunajte.

  1. 1
  2. - 361
  3. 121 169  
  4. - 5 45

  1. 1
  2. - 361 = - 19
  3. 121 169 = 11 13
  4. - 5 45 = - 1 9 = - 1 3

Uočite da vrijedi - 361 = - 1 · 361 = - 1 · 19 = - 19 te - 5 45 = - 1 9 = - 1 · 1 9 = - 1 · 1 3 = - 1 3 .


Zadatak 4.

Dane brojeve postavite na odgovarajuće mjesto na satu.

Zadatak 5.

Provjerite svoju vještinu određivanja drugog korijena kvadrata brojeva do 20 napamet.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 3.

Odredite vrijednost drugog korijena sljedećih brojeva.

  1. 19 600
  2. 6 250 000
  3. 9 000 000
  1. 19 600 = 140  
  2. 6 250 000 = 2 500
  3. 9 000 000 = 3 000

Zadatak 6.

Zadatke iz prethodnog primjera rješavali smo tako da smo određivali broj koji pomnožen sa samim sobom daje zadani broj. Uočavate li pravilnost u broju nula promatranih brojeva i izračunanih korijena tih brojeva?

Broj nula zadanog kvadrata dvostruko je veći od broja nula njegova korijena. Broj se nula korjenovanjem prepolovio.


Primjer 4.

Odredimo vrijednost drugog korijena brojeva.

  1. 0.09
  2. 0.0144
  3. 0.000324
  4. 1.44
  1. 0.09 = 0.3  
  2. 0.0144 = 0.12
  3. 0.000324 = 0.018  
  4. 1.44 = 1.2  

Zadatak 7.

Zadatke iz prethodnog primjera rješavali smo tako da smo određivali broj koji pomnožen sa samim sobom daje zadani decimalni broj. Kakav je odnos broja decimala zadanog kvadrata i broja decimala njegova korijena?

Broj decimala zadanog kvadrata dvostruko je veći od broja decimala njegova korijena. Broj decimala prepolovio se korjenovanjem.


Zadatak 8.

Dovucite korjen na odgovarajuće mjesto tako da odgovara njegovom rješenju.

0.0036
50
400
 
1.3
2 500
1.8
3.24
20
1.69
0.06
null
null

Primjer 5.

Odredite vrijednosti drugog korijena.

  1. 10 8  
  2. 64 x 2  
  3. 0.01 a 2  
  1. 10 4 2 = 10 4
  2. 64 x 2 = 8 x
  3. 0.01 a 2 = 0.1 a

Primjer 6.

Površina neke livade u obliku kvadrata iznosi 243.36 m 2 . Kolika je duljina stranice te livade?

Kako bismo riješili zadatak, moramo odrediti korijen broja 243.36 . Kvadrat broja 15 iznosi 225 , a kvadrat broja 16 iznosi 256 . Iz toga možemo zaključiti da je korijen broja 243.36 veći od 15 , ali manji od 16 . Uzmimo neki broj između 15 i 16 , npr. broj 15.5 . Kvadrat broja 15.5 iznosi 240.25 zato je korijen broja 243.36 nešto veći od 15.5 . Probajmo s 15.6 . Kvadrat broja 15.6 iznosi 243.36 . Dakle, duljina stranice te livade iznosi 15.6 metara.


Određivanje drugog korijena broja s pomoću džepnog računala

Primjer 7.

Površina neke parcele zemlje u obliku kvadrata iznosi 150 m 2 . Kolika je duljina stranice te parcele zemlje?

Kvadrat broja 12 iznosi 144 , a kvadrat broja 13 iznosi 169 . Iz toga možemo zaključiti da će korijen broja 150 biti između tih dvaju prirodnih brojeva.

S obzirom na to da je broj 150 bliži broju 144 nego broju 169 , probajmo s npr. 12.3 . Kvadrat broja 12.3 iznosi 151.29 što znači da moramo smanjiti našu procjenu.

Ovog puta možemo probati kvadrirati broj 12.2 . Kvadrat broja 12.2 iznosi 148.84 . Dakle, korijen broja 150 veći je od 12.2 , a manji od 12.3 .

Mogli bismo nastaviti našu metodu pokušaja i pogrešaka, no ubrzo bismo shvatili da ne možemo pronaći broj koji kvadriran daje 150 .

U ovom slučaju odredit ćemo približno rješenje, a zbog jednostavnosti i bolje učinkovitosti upotrijebit ćemo džepno računalo.

150 12.2474471.. . 12.2 m
Duljina stranice te parcele zemlje iznosi približno 12.2 metara.


Slika prikazuje znanstveno džepno računalo.

Na džepnim računalima se drugi korijen unosi s pomoću tipke .

Slika prikazuje postupak dobivanja sekundarnih naredbi na džepnom računalu. (2nd drugi korijen ili shift drugi korijen)

Ako se znak drugog korijena ne nalazi na tipki, obično se nalazi iznad nje. U tom je slučaju potrebno aktivirati jednu od kombinacija:

2 n d ili s h i f t .

Zadatak 9.

S pomoću džepnog računala odredite približnu vrijednost.

  1. 2  
  2. 3.4

Rezultat zaokružite na dvije decimale.

  1. 1.414213562.. . 1.41
  2. 1.843908891.. . 1.84

Fotografija prikazuje glinenu pločicu iz Babilona.

Već su stari Babilonci poznavali drugi korijen, što se može vidjeti na primjeru glinene pločice na kojoj je vidljiv približni račun 2 .

Babilonci su računali u šezdesetinskom sustavu te su za vrijednost broja 2 dobili

1 + 24 60 + 51 60 · 60 + 10 60 · 60 · 60 = 1 + 2 5 + 51 3 600 + 10 21 600 1.4142129.. .

Stari Indijci su za riječ kvadratni korijen upotrebljavali riječ mula, što znači korijen stabla, osnova, strana. Arapi su tu indijsku riječ preveli u džizr, što znači korijen stabla, a europski srednjovjekovni matematičari taj su arapski naziv preveli na latinski radix, što znači korijen.

Iz povijesnih razloga broj pod korijenom nazivamo radikand, a korjenovanje radiciranje.

Poseban znak za drugi korijen upotrebljavao se već u starom Egiptu. Oznaka za kvadratni korijen koja se danas rabi vjerojatno je nastala iz zapisa slova r (radix), koju je uveo Christoff Rudolff (1499. ‒ 1545.).

Povežimo naučeno

Zadatak 10.

Koju znamenku treba upisati umjesto kvadrata, a koju umjesto trokuta kako bi vrijedila jednakost?

  1. 14 = 2
  2. 7 + = 5

  1. 144 = 12

    Umjesto kvadrata potrebno je upisati znamenku 4 .

  2. 7 + 18 = 5

    Umjesto trokuta potrebno je upisati znamenku 1 , a umjesto kvadrata znamenku 8 .


Zadatak 11.

Koju znamenku treba upisati umjesto kvadrata, a koju umjesto trokuta kako bi vrijedila jednakost?

  1. 36 = 1
  2. 14 + 5 2 = 1
  1. 361 = 19

    Umjesto kvadrata potrebno je upisati znamenku 1 .

  2. 144 + 25 = 13

    Umjesto kvadrata potrebno je upisati znamenku 4 , a umjesto trokuta znamenku 3 .


Zadatak 12.

Procijenite između kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalazi:

  1. 170
  2. - 52 .
  1. Broj 170 nalazi se između kvadrata broja 13 i kvadrata broja 14 jer je 169 < 170 < 196 pa je ​ 13 < 170 < 14 . Dakle, broj 170 nalazi se između prirodnih brojeva 13 i 14 .
  2. Broj 52 nalazi se između kvadrata broja 7 i kvadrata broja 8 jer je 49 < 52 < 64 pa je - 8 < - 52 < - 7 . Dakle, broj - 52 nalazi se između cijelih brojeva - 8 i - 7 .

Zadatak 13.

Upišite između kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalazi zadana vrijednost korijena.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 14.

Procijenite cjelobrojni dio vrijednosti drugog korijena.

  1. 130
  2. 231  
  1. Broj 130 nalazi se između prirodnih brojeva 11 i 12 , dakle vrijednost korijena veća je od 11 , a manja od 12 . Iz toga slijedi da cjelobrojni dio vrijednosti 130   iznosi 11 .
  2. Broj 231 nalazi se između prirodnih brojeva 15 i 16 , dakle vrijednost korijena veća je od 15 , a manja od 16 . Iz toga slijedi da cjelobrojni dio vrijednosti 231 iznosi 15 .

Zadatak 15.

Koje se sve znamenke mogu napisati na crticu da vrijedi nejednakost?

  1. 3 < _ 5 < 4  
  2. 11 < 1 _ 2 < 12
  3. 15 < 2 _ 7 < 16  
  1. Broj pod korijenom može biti 15 , zato se može upisati znamenka 1 .
  2. Brojevi pod korijenom mogu biti 122 , 132 , 142 , zato se mogu upisati znamenke 2 , 3 i 4 .
  3. Brojevi pod korijenom mogu biti 227 , 237 , 247 , zato se mogu upisati znamenke 2 , 3 i 4 .

Zadatak 16.

Poredajte prema veličini, od najmanjega do najvećeg broja.

  • 3.56   ​
  •  ​ 7.234  
  • 1.21   ​
  • 15.2  

Pomoć:

Što je veći broj pod korijenom to je i vrijednost korijena veća.

null

Zadatak 17.

Istaknutim točkama na brojevnom pravcu pridružite odgovarajuće brojeve.

Napomena

Dva su broja višak.

Zadatak 18.

S pomoću džepnog računala odredite približnu vrijednost izraza pa pridružite tu vrijednost odgovarajućoj točki na brojevnom pravcu.

Povećaj ili smanji interakciju

Povezani sadržaji

Površina kruga iznosi 256 π cm 2 . Odredite njegov polumjer.

p = r 2 π , pri čemu je r duljina polumjera kruga. Zato je 256 π = r 2 π iz čega slijedi da je r 2 = 256 , tj. da je duljina polumjera 16 cm .


Povezani sadržaji

Odredite opseg kruga ako mu je površina 400 π cm 2 .

Iz formule za površinu kruga, p = r 2 π , pri čemu je r duljina polumjera kruga , možemo odrediti da je duljina polumjera r = 400 = 20 cm .

o = 2 r π , pri čemu je r duljina polumjera kruga, zato je opseg kruga o = 2 · 20 π = 40 π cm .


...i na kraju

Naučili ste:

Možete riješiti još nekoliko zadataka za vježbu i samoprocjenu te pogledati kako se napamet korjenuju kvadrati prirodnih brojeva manjih od 100 .

Prva četiri zadatka iz procjene svakako riješite bez džepnog računala.

Misaono određivanje drugog korijena kvadrata prirodnih brojeva do 20

Ne zaboravite, prva četiri zadatka iz procjene svakako riješite bez džepnog računala.

Ako želite naučiti više, istražite što je kubni korijen i kako se određuje.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Povežite drugi korijen i njegovu vrijednost.

256
19
196
20
169
12
121
14
324
11
400
18
225
13
144
17
289
15
361
16
null
null
2
Cjelobrojni dio vrijednosti drugog korijena broja 67 iznosi: .
null
null
3
Cjelobrojni dio vrijednosti drugog korijena broja 292 iznosi: .
null
null
4

Vrijednost ​ 0 je 0 .

null
null
5

Vrijednost 78 zaokružena na dvije decimale iznosi 8.83 .

null
null
6

Vrijednost 156 zaokružena na dvije decimale iznosi 12.49 .

null
null
7

Koristeći se džepnim računalom, izračunajte  66 049 te odaberite slovo uz točan odgovor.

null
null
8
Duljine stranica pravokutnika iznose 45 cm i 64 cm . Kolika je duljina stranice kvadrata koji ima istu površinu kao zadani pravokutnik? Rješenje zaokružite na dvije decimale.
null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

3.2 Zbrajanje i oduzimanje korijena