x
Učitavanje

3.5 Računanje s korijenima

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje kvadrat je rastavljen od dva manja kvadrata površina dva i pet kvadratnih metara i dva sukladna pravokutnika.

Dijelovi kvadrata su dva manja kvadrata površine dva i pet kvadratnih metara.

Izračunajmo opseg i površinu kvadrata na slici.

Slika prikazuje kvadrat je rastavljen od dva manja kvadrata površina dva i pet kvadratnih metara i dva sukladna pravokutnika s upisanim duljinama stranica. korijen iz 5 i korijen iz 2

Iz iznosa površina odredimo duljine stranica kako je prikazano na slici.

Kvadrat površine 2 m 2 ima duljinu stranice​ 2 m .

Kvadrat površine 5 m 2 ima duljinu stranice​ 5 m .

Opseg kvadrata iznosi:

o = 4 · ( 2 + 5 ) m .

Površina kvadrata iznosi:

p = ( 2 + 5 ) 2 m 2 .

Prepoznajmo kvadrat zbroja i prisjetimo se formule, ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

p = 2 2 + 2 · 2 · 5 + 5 2

p = 2 + 2 2 5 + 5

p = 7 + 2 10 m 2 .

Površina kvadrata iznosi 7 + 2 10 kvadratna metra.


Primjer 1.

Pojednostavnimo i izračunajmo kvadrat zbroja.

( 10 + 30 ) 2 =

( 10 + 30 ) 2 =

= 10 2 + 2 · 10 30 + 30 2

= 10 + 2 300 + 30

= 40 + 2 100 · 3

= 40 + 2 100 · 3

= 40 + 2 · 10 3

= 40 + 20 3


Računanje korijenima u zadatcima s kvadratom zbroja/razlike

Zadatak 1.

Izračunajte i pojednostavnite do kraja izraze te spojite s odgovarajućim izrazom.

Spojite parove.

( 6 + 15 ) 2   ​
15 + 2 56  
( 22 + 33 ) 2  
5 + 2 6   
( 5 + 10 ) 2  
15 + 10 2  
( 3 + 2 ) 2  
55 + 22 6  
( 7 + 8 ) 2  
21 + 6 10  
null
null

Zadatak 2.

Na slici je prikaz travnatog igrališta u obliku kvadrata koje je upisano u veći kvadrat. Stranice većeg i manjeg kvadrata su usporedne.

Površina travnatog igrališta u obliku kvadrata iznosi 4 000 kvadratnih metara.

Igralište će biti smanjeno zbog izrade biciklističke staze širine 2 metra.

Kolika je nova površina travnatog igrališta?

Kako je širina staze 2 metra, duljina stranice smanjena je za 4 metra. Duljinu stranice smanjenog igrališta označimo s​ a = 4 000 - 4 metara.

a = 4 000 - 4 a = 400 · 10 - 4 a = 400 10 - 4 a = 2 0 10 - 4 m

Pojednostavnjeni izraz za smanjenu duljinu stranice iznosi 20 10 - 4 metara.

Izraz za površinu smanjenog igrališta iznosi

p = a 2 p = ( 20 10 - 4 ) 2 m 2

Prepoznajmo kvadrat razlike i podsjetimo se formule ( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

p = ( 20 10 ) 2 - 2 · 20 10 · 4 + 4 2
p = 20 2 · 10 2 - 160 10 + 16
p = 400 · 10 - 160 10 + 16
p = 4 000 - 160 10 + 16
p = ( 4 016 - 160 10 ) m 2

Nova, smanjena površina igrališta iznosi p = ( 4 016 - 160 10 ) m 2

Površina smanjenog igrališta iznosi 4 001 - 40 10 četvornih metara.


Složite pločice tako da prislonite stranice s jednakim vrijednostima. Pritiskom na tipku POMOĆ srednja će pločica biti postavljena u točan položaj.

Računanje s korijenima u zadatcima s razlikom kvadrata

Primjer 2.

Izračunajmo vrijednost zadane razlike kvadrata koristeći se formulom a - b · a + b = a 2 - b 2 .

( 3 - 2 ) · ( 3 + 2 ) =

Prema formuli za razliku kvadrata ( a - b ) · ( a + b ) = a 2 - b 2 i k 2 = k , k Q , k 0  slijedi:

( 3 - 2 ) · ( 3 + 2 ) =
= 3 2 - 2 2
= 3 - 2
= 1 .


Zadatak 3.

Pojednostavnite i izračunajte zadanu razliku kvadrata.

  1. 2 - 3 · 2 + 3 =    

     

    Postupak:

    2 - 3 · 2 + 3 =

    2 2 - 3 2 =

    2 - 3 =

    - 1  

  2. 17 - 13 · 17 + 13 =  

     

    Postupak:

    17 - 13 · 17 + 13 =  

    17 2 - 13 2 =

    17 - 13 =  

    4  

  3. 3 5 + 2 7 · 3 5 - 2 7 =

    Postupak:

    3 5 + 2 7 · 3 5 - 2 7 =

    3 5 2 - 2 7 2 =

    3 2 5 2 - 2 2 7 2 =

    9 · 5 - 4 · 7 =

    45 - 28 =

    17

  4. 8 9 - 9 8 · 8 9 + 9 8 =  

     

    Postupak:

    8 9 - 9 8 · 8 9 + 9 8 =

    8 9 2 - 9 8 2 =

    8 2 9 2 - 9 2 8 2 =

    64 · 9 - 81 · 8 =

    - 72

  5. 20 10 - 10 20 · 20 10 + 10 20 =

    Postupak:

    20 10 - 10 20 · 20 10 + 10 20 =

    20 10 2 - 10 20 2 =

    20 2 10 2 - 10 2 20 2 =

    400 · 10 - 100 · 20 =

    4 000 - 2 000 =

    2 000

  6. 4 5 + 3 6 · 4 5 - 3 6 =
    null

    Postupak:

    4 5 + 3 6 · 4 5 - 3 6 =

    4 5 2 - 3 6 2 =

    4 2 5 2 - 3 2 6 2 =

    16 · 5 - 9 · 6 =

    80 - 54 =

    26  

Zadatak 4.

U sljedećem nizu zadataka smjestite povlačenjem brojeve i/ili znakove tako da jednakost bude točna. Smjestite točno na sredinu za to predviđenog prostora.

  1. ( 3 5 -
     
    ) · (   ​
     
     ​ + 5 3 ) = 3 5 2 - 5 3 2 =  
     

    5 3
    - 30
    3 5

     

    null
  2. ( 8 7  

     
    7 8 ) · ( 8 7 +
     
    ) = 448 -
     
    =
     

    392  
    -
    56
    7 8

    null
  3. (

     
    - 4 3 ) · ( 3 7 +   
     
    ) =   ​
     
    - 48 =
     

    4 3
    15
    63
    3 7

     

    null
  4. ( 101 -

     
    ) · (   ​
     
    + 1 ) =   ​
     
     

    100  
    1   ​
    101

    null

Primjena računanja s korijenima

Zadatak 5.

Slika prikazuje krug upisan u kvadrat površine 18 kvadratnih metara.

Izračunajte površinu i opseg kruga upisanog u kvadrat površine 18 kvadratnih metara.

Slika prikazuje krug upisan u kvadrat površine 18 kvadratnih metara s istaknutom duljinom stranice kvadrata

Za izračun površine i opsega kruga potrebna nam je duljina polumjera kruga r .

Duljina promjera kruga jednaka je duljini stranice kvadrata, a = 2 r .

Duljina polumjera jednaka je polovini duljine stranice kvadrata, r = a 2 .

Izračunajmo duljinu stranice kvadrata iz njegove površine, p = 18 m 2 kvadratnih metara.

p = a 2 18 = a 2 a = 18 a = 9 · 2 a = 3 2 m

Duljina stranice kvadrata iznosi​ a = 3 2 m .

Duljina polumjera iznosi​ r = 3 2 2 metara.

o = 2 r π

o 3 2 · 3.14

o 6.28 2

o 13.28 m

Opseg tog kruga iznosi približno 13.28 metara.

p = r 2 · π
p = ( 3 2 2 ) 2 · π
p = 9 · 2 4 · π
p 4.5 · 3.14
p 14.13 m 2  

Površina tog kruga iznosi približno 14.13 kvadratnih metara.


Zadatak 6.

Na slici je prikaz kvadratnog travnjaka površine 1000 četvornih metara. Unutar njega je kružna staza širine 2 metra. Kružna staza je omeđena s dva koncentrična kruga. Vanjski krug je upisan kvadratu.

Na slici je prikaz kvadratne zelene površine od 1 000 kvadratnih metara.

Unutar nje je betonska kružna staza širine 2 metra omeđena dvama koncentričnim krugovima.

Vanjski je krug upisan kvadratu.

Kolika je površina travnatog dijela?

Na slici je prikaz kvadratnog travnjaka površine 1000 četvornih metara. Unutar njega je kružna staza širine 2 metra. Kružna staza je omeđena s dva koncentrična kruga. Vanjski krug je upisan kvadratu. Istaknuti su polumjeri kružnica i duljina stranice kvadrata.

Od površine kvadrata treba oduzeti površinu vanjskog kruga te mu dodati površinu unutarnjeg kruga. U animaciji je prikazana ideja rješavanja zadatka.

Površina travnatog dijela iznosi približno

913.26

kvadratnih metara.

Izračun rješenja:

Duljina polumjera vanjskog kruga r v jednaka je polovini duljine stranice kvadrata

5 10 metara.

Račun:​ r v = 1 000 2 = 100 · 10 2 = 10 10 2 = 5 10 m

Duljina polumjera unutarnjeg, manjeg kruga r m , manja je za širinu staze, 2 m , od polumjera većeg kruga i iznosi r m = 5 10 - 2 m .

Izraz za površinu travnjaka:

p = 1 000 - ( 5 10 ) 2 · π + ( 5 10 - 2 ) 2 · π p = 1000 ( 5 10 ) 2 · π + ( ( 5 10 ) 2 2 · 5 10 · 2 + 2 2 ) · π p = 1 000 ( 5 10 ) 2 · π + ( 5 10 ) 2 · π 10 10 · π + 4 π p = 1 000 10 10 · π + 4 π p 913.26 m 2 .

Površina travnatog dijela iznosi približno 913.26 kvadratnih metara.


Zadatak 7.

Na slici je prikaz parcela iz zadatka. Manji kvadrat unutar većeg kvadrata.

Na parceli u obliku kvadrata površine 50 kvadratnih metara bit će ograđen kvadratni dio u kojem će boraviti ozlijeđene životinje koje se liječe.

Kolika će biti površina ograđenog dijela?

Kolika je duljina ograde kojom je dio ograđen?

Na slici je prikaz parcela iz zadatka. Manji kvadrat unutar većeg kvadrata. Dopisane su duljine stranica kvadrata.

Duljinu stranice velikog kvadrata a izračunat ćemo iz površine.

p = a 2 a = 50 a = 25 · 2 a = 5 2 km

Duljina stranice malog kvadrata iznosi 5 2 - 4 kilometara.

Površina ograđenog dijela jednaka je površini kvadrata sa stranicom duljine 5 2 - 4 km .

p = 5 2 - 4 2 p = 5 2 2 - 2 · 5 2 · 4 + 4 2 p = 25 · 2 - 40 2 + 16 p = 66 - 40 2 km 2

Površina ograđenog dijela iznosi 66 - 40 2 kvadratnih kilometara. ​

Duljina ograde kojom je ograđen dio jednaka je opsegu kvadrata sa stranicom duljine 5 2 - 4 km .

o = 4 · 5 2 - 4 o = 20 2 - 16 km

Duljina ograde iznosi 20 2 - 16 kilometara.


O množenju binoma koji sadržavaju izraze s korijenima.

Zadatak 8.

Slika prikazuje pravokutnik sa duljinama stranica izraženih korjenom

 Izračunajte površinu pravokutnika na slici.

Površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina susjednih stranica, a = 2 13 + 3 i b = 2 5 + 1

p = a · b

p = 2 13 + 3 · 2 5 + 1

p = 2 13 · 2 5 + 2 13 · 1 + 3 · 2 5 + 3 · 1

p = 4 65 + 2 13 + 6 5 + 3 .


Izračunavanje i pojednostavnjivanje izraza s korijenima

Prvo se izračunavaju izrazi u zagradama (ako zagrade postoje), nakon toga se kvadrira ili korjenuje, zatim množi i dijeli, a tek na kraju zbraja i oduzima.

Zadatak 9.

Spojite izraz s korijenima s njegovim pojednostavnjenim oblikom.

 Spojite parove.

5 - 3 2 - 5 - 3 · 5 + 3
- 104 - 2 33
7 - 8 · 7 - 8 - 7 + 8 2
- 10 - 2 11
3 - 11 · 3 + 11 + 3 - 11 2
70
11 - 3 · 11 + 3 - 11 + 1 2
12 - 2 15
2 2 + 3 3 · 2 2 + 3 3 + 2 2 - 3 3 2
- 8 14

 

null

Zadatak 10.

Na slici je prikazan manji kvadrat unutar većeg kvadrata. Istaknute su i duljine stranica.

Odredite razliku površina većeg i manjeg kvadrata na slici.

Na slici je prikazan manji kvadrat unutar većeg kvadrata. Istaknute su i duljine stranica i iznosi površina.

Razliku površina većeg i manjeg kvadrata označimo s p . Duljina stranice većeg kvadrata iznosi​ a v = 18 + 2 jedinične duljine.

Površina većeg kvadrata je p v = a 2 v = 18 + 2 2 jediničnih kvadrata.

Duljina stranice manjeg kvadrata iznosi a m = 18 jediničnih duljina.

Površina manjeg kvadrata je p m = a m 2 = 18 2 jediničnih kvadrata.

Izraz za razliku površina jednak je razlici kvadrata. Prisjetimo se formule za razliku kvadrata a 2 - b 2 = a - b · a + b :

p = p v - p m = = 18 + 2 2 - 18 2 = 18 + 2 - 18 · 18 + 2 + 18 = 2 · ( 2 18 + 2 ) = 2 · 2 ( 18 + 1 ) = 4 ( 18 + 1 ) .

Razlika površina kvadrata iznosi 4 · 1 + 18 jediničnih kvadrata.


Povezani sadržaji

Na slici su prikazana vrata s istaknutom širinom.

Vrata su u obliku pravokutnika.

Širina je vrata 130 cm .

Visina i širina vrata su u omjeru​ 1 + 5 2 .

Kolika je visina tih vrata?

Označimo visinu vrata s​ x .

Iz uvjeta zadatka slijedi:

x : 130 = 1 + 5 2

x = 130 65 · 1 + 5 2

x = 65 · 1 + 5

x 65 · 3.236

x 210.344 cm .

Visina vrata približno iznosi 210.34 cm .


Zadatak 11.

Na slici je pravokutnik s istaknutim duljinama stranica.

Izračunajte površinu pravokutnika na slici.

Površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina susjednih stranica.

Neka su duljine stranica​ x = 3 5 18 + 4 i y = 3 5 18 jediničnih duljina. Tada je površina p jednaka:

p = x · y  

p = 3 5 18 + 4 · 3 5 18

p = 3 5 18 2 + 4 · 3 5 18

p = 9 25 · 18 + 12 5 18

p = 162 25 + 12 5 · 3 2

p = 162 25 + 36 5 2 .

Površina pravokutnika iznosi 162 25 + 12 5 18 jediničnih kvadrata, što približno iznosi 16.66  jediničnih kvadrata.


Zadatak 12.

Pojednostavnite izraz.

2 3 5 - 1 · 3 5

2 3 5 - 1 · 3 5 =

= 2 3 5 · 3 5 - 1 · 3 5

= 2 5 2 - 3 5

= 2 · 5 - 3 5

= 10 - 3 5


Zadatak 13.

Pojednostavnite izraz.

4 10 - 5 · 1 4 5 + 10  

4 10 - 5 1 4 5 + 10 =

= 4 10 · 1 4 5 + 4 10 · 10 - 5 · 1 4 5 - 5 · 10

= 50 + 4 10 2 - 1 4 5 2 - 50

= 4 · 10 - 1 4 · 5

= 40 - 5 4

= 155 4 = 38.75


Zadatak 14.

Pojednostavnite izraz.

5 3 2 - 1 · 5 3 2 + 2

5 3 2 - 1 · 5 3 2 + 2 =

= 5 3 2 · 5 3 2 + 2 · 5 3 2 - 1 · 5 3 2 - 1 · 2

= 5 3 2 2 + 5 3 2 - 2

= 5 2 3 2 2 2 + 5 3 2 - 2

= 25 · 3 4 + 5 3 2 - 2

= 75 4 + 5 3 2 - 2

= 75 4 + 5 3 2 - 8 4

= 67 4 + 5 3 2

= 67 4 + 10 3 4

= 67 + 10 3 4


Zadatak 15.

U nizu zadataka samo je jedan odgovor točan.

  1. 2 ( 3 - 2 ) + 3 + 2 2 =

    null

    Postupak:

    2 · 3 - 2 + 3 + 2 2 =

    2 3 - 2 2 + 3 2 + 2 2 3 + 2 2 =

    6 - 2 + 3 + 2 + 2 6 =

    3 + 3 6 = 3 1 + 6  

  2. 6 3 + 6 - 6 - 3 · 6 + 3 =

    null

    Postupak:

    6 3 + 6 - 6 - 3 · 6 + 3 =

    18 + 6 2 - 6 2 - 3 2 =

    9 · 2 + 6 - 6 + 3 =

    3 2 + 3

  3. 3 4 48 - 1 2 12 + 3 - 1 2 =  

    null

    Postupak:

    3 4 48 - 1 2 12 + 3 - 1 2 =

    3 4 16 · 3 - 1 2 4 · 3 + 3 2 - 2 3 + 1 =

    3 4 16 3 - 1 2 4 3 + 3 - 2 3 + 1 =

    3 4 · 4 3 - 1 2 · 2 3 + 3 - 2 3 + 1 =

    3 3 - 3 - 2 3 + 4 =

  4. 8 - 2 2 - 8 + 2 2 =

    null

    Postupak:

    8 - 2 2 - 8 + 2 2 =

    8 - 2 - 8 - 2 · 8 - 2 + 8 + 2 =

    - 2 2 · 2 8 =

    - 4 16 =

    - 4 · 4 = - 16

Kutak za znatiželjne

Na slici su prikazane kružnice koje se dodiruju iznutra. Istaknuta su središta i polumjeri tih kružnica.

Na slici su dvije kružnice koje se dodiruju iznutra.

Omjer je njihovih polumjera​ 1 + 5 2 .

Koliki je omjer površina krugova određenih tim kružnicama?

Omjer duljina polumjera iznosi 1 + 5 2 , što možemo zapisati

r v = 1 + 5 2 · r m ,

gdje su r v i r m  polumjeri velikog i malog kruga.

Oznaka p v je oznaka za iznos površine velikog kruga, a p m za iznos površine malog kruga.

Za površine vrijedi p v = r v 2 π.

p v = 1 + 5 2 · r m 2 · π

p v = 1 + 5 2 4 · r m 2 · π

p v = 1 + 2 5 + 5 2 4 · p m

p v = 6 + 2 5 4 · p m

p v = 2 · ( 3 + 5 ) 4 · p m

p v = 3 + 5 2 · p m .

Omjer je površina tih krugova​ 3 + 5 2 .


Povezani sadržaji

Na slici je prikazan pravilni  šesterokut s istaknutom duljinom stranice i duljinom visine karakterističnog trokuta.
Izračunajte površinu pravilnog šesterokuta na slici. Mjere su dane u decimetrima.

Površina pravilnog šesterokuta na slici jednaka je zbroju površina šest sukladnih jednakostraničnih trokuta a · v 2 s osnovicom duljine a i visinom na tu osnovicu duljine v . Površina pravilnog šesterokuta jednaka je

P = 6 · a · v 2

p = 6 3 · 8 · 4 3 2 1

p = 96 3 .

Površina pravilnog šesterokuta na slici iznosi 96 3 dm 2 .


Projekt

Na slici je prikazan pravokutnik rastavljen na kvadrate i pravokutnike sa istaknutim duljinama stranica izraženim korijenom.
Na slici je kvadrat. Izrazite u bilježnicu njegovu površinu i pojednostavnite je.

...i na kraju

Naučili smo:

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

25 =

 
.
121 =
 
.
169 =
 
.
196 =
 
.
256 =
 
.
49 =
 
.
225 =
 
.
400 =
 

13
5
20
15
16
7
14
11

null
null
2

Koristeći se džepnim računalom, utvrdite točnost tvrdnje.

345 18.57  

null
3

Koristeći se džepnim računalom, utvrdite točnost tvrdnje.

7 + 8 7 + 8  

null
4

Koristeći se džepnim računalom, utvrdite točnost tvrdnje.

500 - 300 200

 

null
5

Spojite parove.

3 · 5  
10   ​
1.69 : 0.01   ​
15   ​
55 : 11  
13   ​
14.4 · 10  
12  
20 · 5   ​
5   ​
null
6

5 + 4 5 =

null
null
7

10 10 - 5 10 - 2 10 =   ​

null
null
8

1 2 3 + 2 3 3 =   ​

null
null
9

5 3 3 + 5   ​

null
null
10

Razvrstajte brojeve u skupine.

2 7 9   ​

  Brojevi koje možemo potpuno korjenovati

Brojevi koje možemo djelomično korjenovati

 Brojevi koje ne možemo korjenovati ni potpuno ni djelomično

null
null
11

5 - 7 2   ​

null
null
12

2 3 + 5 2 2   ​

null
null
13
55 - 30 · 55 + 30   ​
null
null
14
5 6 + 6 5 · 5 6 - 6 5   ​
null
null
15

Izračunajte površinu i opseg pravokutnika s duljinama stranica:

a = 7 + 3 cm

b = 7 - 3 cm .

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

3.6 Racionalizacija nazivnika