x
Učitavanje

3.6 Racionalizacija nazivnika

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je prikazan jednostavni kalkulator (džepno računalo) s osnovnim računskim operacijama i tipkom za računanje drugog korijena.

Ema se znoji nad zadatkom iz domaće zadaće. Zadatak glasi:

S točnošću na tri decimale izračunaj 1 2 + 1 5 .

Nije joj se svidjela ideja dijeljenja broja 1 s 1.414 ... , odnosno s 2.236 ...

Njezina starija sestra Sonja pokušava joj pomoći, no ne želi joj riješiti zadatak.

Uputila ju je da razlomke proširi i napiše u ekvivalentnom obliku pa da pokuša ponovno.

Ema je ramišljala i razmišljala pa pokušala ovako: 1 2 = 2 4 pa je onda 1 2 = 2 4 , odnosno 1 2 = 2 4 = 2 2 .

Slično vrijedi: 1 5 = 5 25 1 5 = 5 25 1 5 = 5 5 .

Sonja je potvrdno kimnula. Rekla je Emi: „Sad ćeš puno lakše riješiti zadatak!”

Ema je trebala izračunati 1 2 i 1 5 , tj. količnike 1 : 2 i 1 : 5   s točnošću od tri decimale. U nazivniku imamo iracionalne brojeve 2 i 5  čije približne vrijednosti zaokružene na tri decimale iznose 1.414 i 2.236 .

Dijeljenjem izračunamo da je 1 : 1.414 0.707 i 1 : 2.236 0.447 .

Bez upotrebe džepnog računala takav zadatak iziskuje spretno dijeljenje prirodnog s racionalnim brojem u decimalnom zapisu.

Nakon opisanih postupaka, Ema je podijelila 1.414 s 2 i 2.236 s 5 i izračunala

1.414 : 2 + 2.236 : 5 = 0.707 + 0.447 = 1.154 .

Umjesto traženja ekvivalentnih razlomaka, Ema je mogla zadane razlomke proširiti tako da „izgubi” drugi korijen iz nazivnika. Faktor proširivanja za razlomak​ 1 2 je 2 , a za razlomak 1 5 je 5 .

Dobivamo 1 2 = 1 2 · 2 2 = 2 4 = 2 2 i 1 5 = 1 5 · 5 5 = 5 25 = 5 5 .

Prisjetimo se: Proširiti razlomak znači pomnožiti brojnik i nazivnik tog razlomka istim brojem. Prošireni je razlomak ekvivalentan (jednakovrijedan) početnom razlomku.

Racionalizacija je nazivnika postupak proširivanja razlomka oblika a b (uz uvjet da je broj b pozitivan) tako da se dobije razlomak s racionalnim nazivnikom.

Primjer 1.

Racionalizirajmo nazivnike.

  1. 2 3 ​​
  2. 5 2
  1. 2 3 = 2 3 · 3 3 = 2 · 3 3 2 = 2 3 3
  2. 5 2 = 5 2 · 2 2 = 5 · 2 2 2 = 5 2 2

Primjer 2.

Racionalizirajmo nazivnike.

  1. 3 2 3
  2. 2 3 6
  1. 3 2 3 = 3 2 3 · 3 3 = 3 3 2 · 3 = 3 2

  2. 2 3 6 = 2 3 6 · 6 6 = 2 6 3 · 6 = 6 9


Racionalizirati nazivnik razlomka a b znači proširiti taj razlomak pogodno odabranim brojem ( b ) tako da se ukloni drugi korijen u nazivniku tog razlomka.

Pogledajmo videoisječak u kojem je objašnjen primjer kako racionalizirati nazivnik istog zadanog razlomka na tri različita načina.

Racionalizacija nazivnika razlomka

Primjer 3.

Racionalizirajmo nazivnike.

  1. 4 12   ​
  2. 3 45

Uputa:

Ovaj primjer možete riješiti na dva načina:

  • kao i prethodne primjere, množeći nazivnik do potpunog kvadrata
  • djelomičnim korjenovanjem nazivnika, a zatim racionalizacijom.

Rješenja dobivena djelomičnim korjenovanjem nazivnika, a zatim racionalizacijom.

  1. 4 12 = 4 4 · 3 = 4 2 3 = 2 3 = 2 3 · 3 3 = 2 3 3   ​
  2. 3 45 = 3 9 · 5 = 3 3 · 5 = 1 5

Zadatak 1.

Uvježbajte racionalizaciju nazivnika. Ako je rješenje razlomak, napišite ga u prvi pravokutnik u obliku a / b .

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 2.

Racionalizirajte nazivnike u razlomcima.

  1. 6 2
  2. 1 3 7
  1. 6 2 = 6 2 · 2 2 = 6 2 2 2 = 6 2 2 = 3 2
  2. 1 3 7 = 1 3 7 · 7 7 = 7 3 · 7 = 7 21  


Zadatak 3.

Racionalizirajte nazivnike u razlomcima.

  1. 3 - 5 5  ​
  2. 12 - 4 3  
  1. 3 - 5 5 = 3 - 5 5 · 5 5 = 3 5 - 5 5
  2. 12 - 4 3 = 12 - 4 3 · 3 3 = 36 - 4 3 3 = 6 - 4 3 3 = 2 ( 3 - 2 3 ) 3

Zadatak 4.

Provjerite svoje znanje racionalizacije nazivnika.

  1. 1 7 racionalizacijom razlomka jednak je:​

    null
    null
  2. 6 2 racionalizacijom nazivnika jednak je: ​

    null
    null
  3. 1 3 5 racionalizacijom nazivnika​ jednak je:

    null
    null
  4. 9 3 racionalizacijom nazivnika jednak je:

    null
    null
  5. 25 6 5 racionalizacijom nazivnika jednak je: ​

    null
    null

Ako su a i b racionalni brojevi takvi da je​ b 0 , onda vrijedi

a b = a b · b b = a b b 2 = a b b .

Zadatak 5.

Racionalizacijom nazivnika razlomka ​ 2 5 dobivamo 2 5 .

Pomoć:

Zadani razlomak proširi brojem 5  

Postupak:

2 5 = 2 5 · 5 5 = 2 5 5   ​

Zadatak 6.

Zadanim razlomcima pridruži njima ekvivalentne razlomke s cjelobrojnim nazivnicima.

3 2  
3   ​
6 12   ​
3 2 2   ​
4 3   ​
4 3 3   ​
21 3   ​
7 3   ​
1 8  
2 4   ​

Pomoć:

Zadane razlomke proširi njihovim nazivnikom, a dobivene razlomke potpuno skrati.

null

Zadatak 7.

Racionaliziraj nazivnike razlomaka.

  1. 3 5
  2. 6 3
  3. 3 6
  4. - 2 10  
  1. 3 5 = 3 5 · 5 5 = 3 5 5
  2. 6 3 = 6 3 · 3 3 = 6 3 3 = 2 3
  3. 3 6 = 3 6 · 6 6 = 3 6 6 = 6 2
  4. - 2 10 = - 2 10 · 10 10 = - 2 10 10 = - 10 5

Zadatak 8.

Racionalizirajte nazivnike razlomaka.

  1. 9 18  
  2. 2 20  
  3. 16 3 8  
  4. 4 3 50
  1. 9 18 = 9 18 · 2 2 = 9 2 36 = 9 2 6 = 3 2 2  
  2. 2 20 = 2 20 · 5 5 = 2 5 100 = 2 5 10 = 5 5  
  3. 16 3 8 = 16 3 8 · 2 2 = 16 2 3 16 = 16 2 3 · 4 = 4 2 3  
  4. 4 3 50 = 4 3 50 · 2 2 = 4 6 100 = 4 6 10 = 2 6 5

Zadatak 9.

Racionalizirajte nazivnike pa izračunajte.

  1. 2 - 8 2
  2. 2 3 + 3 2
  3. 2 2 - 3 3

Rezultate napišite na papir u najjednostavnijem obliku.

  1. 2 - 8 2 = 2 - 8 2 · 2 2 = 2 - 8 · 2 4 = 2 2 - 16 2 = 2 2 - 4 2 = 2 - 2  
  2. 2 3 + 3 2 = 2 3 · 3 3 + 3 2 · 2 2 = 2 3 3 + 3 2 2 = 4 3 6 + 9 2 6 = 4 3 + 9 2 6  
  3. 2 2 - 3 3 = 2 2 · 2 2 - 3 3 · 3 3 = 2 2 2 - 3 3 3 = 6 2 6 - 6 3 6 = 2 - 3

Povezani sadržaji

Zadatak 10.

Slika prikazuje kvadrat ABCD nacrtan u mreži kvadratića i kvadrat BEFD čija je stranica dijagonala kvadrata ABCD. Određuje se omjer površina nacrtanih kvadrata i omjer duljina njihovih stranica.

Promotrite sliku i odgovorite.

  1. Koliki je omjer površina kvadrata A B C D i kvadrata B E F D ?
  2. Koliki je omjer duljina njihovih stranica A B ¯ i B D ¯ ?
  3. Koliki je omjer duljina njihovih dijagonala B D ¯ i B F ¯ ?
  1. Neka je ​ A B = a . Onda je površina kvadrata A B C D jednaka a 2 .

    Neka je B E = b . Onda je površina kvadrata B E F D jednaka b 2 .

    Uočite da je kvadrat B E F D sastavljen od 4 , a kvadrat A B C D od 2 međusobno sukladna jednakokračna pravokutna trokuta. Zato vrijedi:

    a 2 : b 2 = 2 : 4 = 1 : 2 .

  2. Uz oznake uvedene u rješenju a. vrijedi:

    A B : B D = A B : B E = a : b = a 2 : b 2 = 2 : 4 = 2 : 2 .

  3. Uz oznake uvedene u rješenju a. vrijedi:

    B D : B F = B E : B F = b : 2 a = b 2 : 2 a 2 = 4 : 2 2 = 2 : 2 2 = 1 : 2 .


Napomena: Na temelju riješenog zadatka, budući da su trokuti A B D i E F B međusobno slični, duljine su njihovih stranica proporcionalne, tj. vrijedi B D : F B = A B : E F .

Uz oznake, kao u rješenju zadatka a), pišemo b : 2 a = a : b , odakle zaključujemo da je 1 : 2 = 2 : 2 , tj. 1 2 = 2 2 .

Tako smo na geometrijskom primjeru dobili potvrdu postupka racionalizacije nazivnika.

Kutak za znatiželjne

Slijedi blok zadataka koji proširuje gradivo propisano planom i programom osnovne škole. Zadatci su namijenjeni učenicima koji žele produbiti i proširiti znanje.

Zadatak 11.

Podsjetite se!

Obavite naznačena množenja pa zadatku pridružite rješenje.

2 - 3 2
5 - 2 6
2 + 5 2
  5
1 + 3 1 - 3
9 + 4 5
2 2 + 3 2 2 - 3
  2
5 - 3 5 + 3
  - 2

Pomoć:

Primijeni naučeno o računanju s korijenima i pravila kvadriranja zbroja i razlike te razlike kvadrata.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

a 2 - b 2 = a - b a + b  

null

Znanje stečeno rješavanjem ovakvih zadataka možete primijeniti u rješavanju sljedećih, nešto složenijih primjera.

Primjer 4.

Racionalizirajmo nazivnike razlomaka.

  1. 1 5 + 2
  2. 5 2 3 - 2

Uputa: Prisjetimo se razlike kvadrata, tj. činjenice da je a + b a - b = a 2 - b 2 .

  1. Proširimo li zadani razlomak brojem ​ 5 - 2 , redom dobivamo:

    1 5 + 2 = 1 5 + 2 · 5 - 2 5 - 2 = 5 - 2 5 + 2 · 5 - 2 = 5 - 2 5 - 2 = 5 - 2 3 .

  2. Proširimo li zadani razlomak brojem 2 3 + 2 , redom dobivamo:

    5 2 3 - 2 = 5 2 3 - 2 · 2 3 + 2 2 3 + 2 = 5 2 3 + 2 2 3 - 2 · 2 3 + 2 = 5 2 3 + 2 12 - 2 = 5 2 3 + 2 10 = 2 3 + 2 2 .


Zadatak 12.

Racionalizirajte nazivnike.

  1. 2 1 + 3
  2. 3 5 - 2

Uputa: Prisjetite se razlike kvadrata! Dodatna objašnjenja potražite u primjeru 2. i zadatku 3. u jedinici 3.5.

  1. 2 1 + 3 = 2 1 + 3 · 1 - 3 1 - 3 = 2 · ( 1 - 3 ) 1 2 - 3 2 = 2 ( 1 - 3 ) 1 - 3 = 2 ( 1 - 3 ) - 2 = - ( 1 - 3 ) = 3 - 1
  2. 3 5 - 2 = 3 5 - 2 · 5 + 2 5 + 2 = 3 · ( 5 + 2 ) 5 2 - 2 2 = 3 ( 5 + 2 ) 5 - 2 = 3 ( 5 + 2 ) 3 = 5 + 2

Zadatak 13.

primjer unosa rješenja

Uvježbajte racionalizaciju nazivnika. Ako je rješenje razlomak, napišite ga u obliku a / b . Primjer zapisa rješenja zadatka prikazan je na slici.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 14.

Kojim brojem pri racionalizaciji nazivnika treba proširiti razlomak 2 7 - 2 ?

null

Postupak:

2 7 - 2 = 2 7 - 2 · 7 + 2 7 + 2 = 2 7 + 2 7 - 2 = 2 7 + 2 5  

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili:

Zadatak 15.

Primijenite naučeno i izraze napišite na papir u najjednostavnijem obliku.

  1. 1 + 2 2 + 1 - 3 3
  2. 5 + 3 5     +   5 - 3 3
  3. 1 2 + 8
  1. 1 + 2 2 + 1 - 3 3 = 2 1 + 2 2 2 + 3 1 - 3 3 2 = 2 + 2 2 + 3 - 3 3 = 3 2 + 2 6 + 2 3 - 3 6 = 3 2 + 6 + 2 3 - 6 6 = 3 2 + 2 3 6

  2. 5 + 3 5     +   5 - 3 3 = 5 + 3 · 5 5   · 5   +   5 - 3 · 3 3 · 3 = 5 + 15 5 + 15 - 3 3 = 5 + 15 · 3 15 + 15 - 3 · 5 15 = 15 + 3 15 - 5 15 - 15 15 = - 2 15 15

  3. 1 2 + 8 = 1 2 · 2 2 + 4 · 2 = 2 2 + 2 2 = 2 · 1 2 + 2 = 5 2 2

Idemo na sljedeću jedinicu

3.7 Kvadratna jednadžba