x
Učitavanje

2.4 Potencije s bazom 10 i cjelobrojnim eksponentom

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na zagrebačkom je području u kolovozu 2015. izmjerena koncentracija peludnih zrnaca ambrozije 10 7 po km 3 . Na istom je području mjesec dana ranije izmjeren 1 000 puta manja koncentracija peludnih zrnaca ambrozije po km 3 .

Kolika je, izraženo potencijom, koncentracija peludnih zrnaca ambrozije izmjerena u srpnju?

Rješavanje ovog zadatka i odgovor na postavljeno pitanje ne predstavljaju vam problem!

Koncentracija je peludnih zrnaca ambrozije u srpnju 2015. godine bila 10 7 : 10 3 = 10 7 - 3 = 10 4 po km 3 .

Potencije s bazom 10 dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo. Tu razliku eksponenata zapišemo u eksponent potencije s bazom 10 .

10 m : 10 n = 10 m - n , m , n N , m > n  

U svim zadatcima koje ste dosad rješavali razlika je eksponenata bila pozitivna, tj. eksponent je djeljenika bio veći od eksponenta djelitelja.

No, što se događa ako djeljenik i djelitelj imaju jednake eksponente?

A što ako je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja?

Primjer 1.

Izračunajmo:

  1. 10 3 : 10 3
  2. 10 6 : 10 6

Podijelimo potencije s bazom 10 i jednakim eksponentima:

  1. 10 3 : 10 3 = 1 000 : 1 000 = 1

    Primijenimo li pravilo za dijeljenje potencija broja 10 , dobit ćemo 10 3 : 10 3 = 10 3 - 3 = 10 0 .

  2. 10 6 : 10 6 = 1 000 000 : 1 000 000 = 1

    Primijenimo li pravilo za dijeljenje potencija broja 10 , dobit ćemo 10 6 : 10 6 = 10 6 - 6 = 10 0 .

    Budući da znate da dijeljenjem broja sa samim sobom uvijek dobivamo količnik 1 , iz ovih primjera zaključujemo da zbog 10 3 : 10 3 = 1 000 : 1 000 = 1 i 10 3 : 10 3 = 10 3 - 3 = 10 0 , odnosno zbog 10 6 : 10 6 = 1 000 000 : 1 000 000 = 1 i 10 6 : 10 6 = 10 6 - 6 = 10 0 vrijedi 10 0 = 1 .


10 0 = 1

Primjer 2.

Izračunajmo:

  1. 10 3 : 10 4
  2. 10 3 : 10 5
  3. 10 4 : 10 7

Podijelimo sada potencije s bazom 10 , pri čemu je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja. Učinit ćemo to na dva načina - dijeljenjem prirodnih brojeva i primjenom pravila za dijeljenje potencija s bazom 10 .

  1. 10 3   : 10 4 = 1 000 : 10 000 = 1 000 10 000 = 1 10 = 0.1

    10 3 : 10 4 = 10 3 - 4 = 10 - 1

  2. 10 3 : 10 5 = 1 000 : 100 000 = 1 000 100 000 = 1 100 = 0.01

    10 3 : 10 5 = 10 3 - 5 = 10 - 2

  3. 10 4 : 10 7 = 10 000 : 10 000 000 = 10 000 10 000 000 = 1 1 000 = 0.001

    10 4 : 10 7 = 10 4 - 7 = 10 - 3


Promotrimo li dobivene rezultate, zaključujemo da vrijedi:

10 - 1 = 1 10 = 0.1  

10 - 2 = 1 100 = 0.01  

10 - 3 = 1 1 000 = 0.001  

Zadatak 1.

Koristeći formulu 10 m : 10 n = 10 m - n , m , n N , izračunajte:

  1. 10 3 : 10 5
  2. 10 6 : 10 9
  3. 10 7 : 10 7

Rezultate izrazite u obliku potencije broja 10 , razlomka i decimalnog broja.

  1. 10 3 : 10 5 = 10 3 - 5 = 10 - 2 = 1 10 2 = 1 100 = 0.01
  2. 10 6 : 10 9 = 10 6 - 9 = 10 - 3 = 1 10 3 = 1 1 000 = 0.001
  3. 10 7 : 10 7 = 10 7 - 7 = 10 0 = 1

U sljedećoj interakciji proučite način zapisivanja potencija broja 10 s cjelobrojnim eksponentima između - 10 i 10 .

Povećaj ili smanji interakciju

Iz riješenih primjera zaključujemo da pravilo za dijeljenje potencija broja 10 vrijedi i kada je eksponent djeljenika manji od eksponenta djelitelja.

Tada je količnik potencija s bazom 10 i s negativnim cjelobrojnim eksponentom.

Potencija broja 10 s negativnim cjelobrojnim eksponentomZa svaki prirodni broj n vrijedi:

10 - n = 1 10 n , odnosno 10 - n = 0 . 000 001 n znamenaka , n N

Negativni cjelobrojni eksponenti

Potenciju broja 10 s negativnim eksponentom možemo izravno zapisati u obliku decimalnog broja. Pritom je broj decimala jednak apsolutnoj vrijednosti eksponenta potencije.

Na primjer:

10 - 4 = 0 . 0001 4   z n a m e n k e

10 - 7 = 0 . 0000001 7   znamenaka

Primjer 3.

Napišimo na papir u obliku razlomka i potencije s bazom 10 .

  1. 0.001
  2. 0.00000001
  3. 0.00000000001
  1. 0.001 = 1 1 000 = 10 - 3
  2. 0.00000001 = 1 100 000 000 = 10 - 8
  3. 0.00000000001 = 1 100 000 000 000   = 10 - 11

Povezani sadržaji

Međunarodni dogovoreni izrazi za potencije broja 10.

SI prefiksi
vrijednost predmet znak vrijednost predmet znak
10 24 jota Y 10 - 1 deci d
10 21 zeta Z 10 - 2 centi c
10 18 eksa E 10 - 3 mili m
10 15 peta P 10 - 6 mikro μ
10 12 tera T 10 - 9 nano n
10 9 giga G 10 - 12 piko p
10 6 mega M 10 - 15 femto f
10 3 kilo k 10 - 18 ato a
10 2 hekto h 10 - 21 zepto z
10 1 deka da 10 - 24 jokto y

Pogledajte video koji pokazuje postupak računanja s potencijama broja 10 .

Zadatak 2.

Primijenite naučeno pri rješavanju sljedećih zadataka povezujući parove različitih zapisa istih brojeva.

  1. Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

    0.000000001
    1 100 000   ​
    0.0001
    1 10 000 000   ​
    0.000001
    1 10 000   ​
    null
    null
  2. Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

    0.0001
    10 - 6
    0.000000001
    10 - 4
    0.000001
    10 - 9
    null
    null
  3. Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

    10 - 8
    1 10 000 000
    10 - 7
      1 10 000 000 000
    10 - 10
    1 100 000 000
    null
    null
  4. Dovucite vrijednosti na njihove jednakosti.

    10 - 10
    0.0000001
    10 - 8  
    0.0000000001
    10 - 7
    0.00000001
    null
    null

Mjerne jedinice

Prije rješavanja sljedećih zadataka možete pogledati video Antonije Horvatek o pretvaranju mjernih jedinica.

Zadatak 3.

Primijenite naučeno o potencijama na mjerne jedinice.

Povećaj ili smanji interakciju

  1. 1 cm =

    null
    null
  2. 1 mm =

    null
    null
  3. 1 dm =

    null
    null
  4. 1 cm =

    null
    null
  5. 1 g =

    null
    null
  6. 1 dag =  

    null
    null
  7. 1 kg =

    null
    null

Zanimljivost

O vezi između kubičnih i litrenih mjernih jedinica pogledajte video Antonije Horvatek.

U sljedećoj interakciji uvježbajte množenje i dijeljenje potencija broja 10 , odnosno računanje s potencijama baze 10 .
Povećaj ili smanji interakciju
Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 4.

Ako želite utvrditi i provjeriti svoje znanje, riješite još nekoliko zadataka.

  1. Broj 10 000 000 000 zapisan u obliku potencije broja 10 je:

    Pomoć:

    Eksponent potencije jednak je broju nula u zapisu dekadske jedinice.

    null
  2. Dovucite zapise brojeva na njihove jednakosti.

    0.00001
    10 - 5
    1 100
    10 - 2
    1 1000
    10 - 3
    0.00001
    10 - 6
    null
  3. Potenciji broja 10 pridružite odgovarajući decimalni ili razlomački zapis.

    10 - 10
    0.0000000001
    10 - 7
      1 10
    10 - 1
    1 10 000 000
    10 - 4
    0.0001
    null
  4. 10 - 8 =

    null
  5. Poredajte po veličini, počevši od najmanjeg prema najvećem, brojeve:

    • 10 - 5
    • 10 0
    • 1 10 7
    • 0.001
    • 1 10

    Pomoć:

    Brojeve zapiši u istom obliku!

     

  6. Ogrlica izrađena od srebra ima masu 4.5 · 10 - 4 kg . Zadana masa u decimalnom zapisu iznosi:

    null
  7. Valna duljina zelene svjetlosti iznosi 5.5 · 10 - 7 m . Valna je duljina zelene svjetlosti u decimalnom zapisu:

    null
  8. Masa je virusa gripe 0.000000000000707 g . Masa virusa gripe zapisana u obliku umnoška decimalnog broja većeg od 1 , a manjeg od​ 10 i potencije broja 10 je 7.07 · 10 15 g .

    Pomoć:

    Masa je 7.07 · 10 - 15 g .

    null
  9. Gljiva poslije kiše raste brzinom 0.0000799 m/s .
    Brzina rasta gljive poslije kiše u obliku umnoška decimalnog broja većeg od nule i manjeg od 10 i potencije broja 10 je 7.99 · 10 - 5 m/s.

    null

Kutak za znatiželjne

Potencirati možemo i brojeve s bazom a   različitom od broja 10 . Pritom je n -ta potencija racionalnog broja a definirana kao umnožak n faktora od kojih su svi jednaki broju a .​

a n = a · a · a · . . . · a n faktora  

Potencije s bazom različitom od 10

Zanimljivost

Ako je a Q , a 0 , onda je:

a 0 = 1  

a - 1 = 1 a i

a - n = 1 a n

Na primjer:

3 5 - 1 = 5 3  

2 3 - 2 = 3 2 2 = 9 4  

0.04 - 3 = 4 100 - 3 = 100 4 3 = 25 3 = 15 625 .

Zadatak 5.

Primijenite to na sljedećim zadatcima:

  1. 4 0 + 6 0 =   

    Postupak:

    4 0 + 6 0 = 1 + 1 = 2  

  2. 4 + 6 0 =  

     

    Postupak:

    4 + 6 0 = 10 0 = 1

  3. 2 3 0 =

  4. 2 0 3 =

     

  5. 2 5 - 2 = 4 25 ?

    Postupak:

    2 5 - 2 = 5 2 2 = 25 4

  6. 3 5 3 =  

    null
  7. - 5 2 - 2 =  

    null
    null
  8. Izraz - 0.1 - 4 jednak je:​

    null
  9. Izraz 1 - 5 4 2 jednak je:​

    null
    null

...i na kraju

Naučili ste o potencijama broja 10 s eksponentom 0 i negativnim cjelobrojnim eksponentima. Primijenite to kako biste doznali ukupnu masu sastojaka potrebnih za pripremu finog bakinog kruha.

Recept za bakin kruh:

Pomiješajte 45 dag raženog i 0.35 kg pšeničnog brašna sa 7 g suhog kvasca i 1.5 dag praška za pecivo. Svemu dodajte 5 g soli, 2 dag šećera, 3 dl mlijeka, 0.2 l vode i 0.1 kg   masti. Zamijesite i ostavite na toplom da se diže.

A za to vrijeme izračunajte ukupnu masu upotrijebljenih namirnica. Rezultat izrazite u kilogramima kao višekratnik potencije broja 10 !

(Masa 1 litre mlijeka jednaka je 1.03 kg , a masa je 1 litre vode 1 kg . )

U slast!

45 dag = 0.45 kg = 450 · 10 - 3 kg

0.35 kg = 350 · 10 - 3 kg

7 g = 0.007 kg = 7 · 10 - 3 kg

1.5 dag = 0.015 kg = 15 · 10 - 3 kg

5 g = 0.005 kg = 5 · 10 - 3 kg

2 dag = 0.02 kg = 20 · 10 - 3 kg

3 dl = 0.3 l = 0.3 · 1.03 kg = 0.309 kg = 309 · 10 - 3 kg

0.2 l = 0.2 · 1 kg = 0.2 kg = 200 · 10 - 3 kg

0.1 kg = 100 · 10 - 3 kg

Ukupna je masa svih namirnica 1 456 · 10 - 3 kg .

Idemo na sljedeću jedinicu

2.5 Zbrajanje i oduzimanje potencija s bazom 10