x
Učitavanje

2.1 Potencije s prirodnim eksponentom

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Marija je razgovarala sa svojom mamom o njezinim roditeljima, Marijinoj baki i djedu. Pitala je mamu sjeća li se svoje bake i djeda pa onda i prabake i pradjeda. Marija je odlučila istražiti svoje korijene: bake i djedove, prabake i pradjedove. Na papiru je počela slagati prikaz. Pazila je da su u jednom redu osobe iz iste generacije. Za ženske je osobe stavljala zeleni kružić, a za muške osobe plavi kružić. Pokraj crteža zapisivala je broj osoba u generaciji. Primijetila je da broj osoba jako brzo raste, toliko da više ne može nastaviti s prikazom. Isto tako, uočila je pravilnost u tome kako nastaju brojevi.

Slika prikazuje grananje stabla direktnih predaka

Zadatak 1.

Odredite pravilnost koja povezuje napisane brojeve?

Brojevi koje je dobila, 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 mogu biti napisani kao umnožak broja  2 sa samim sobom.

2

2 · 2 = 4

2 · 2 · 2 = 8

2 · 2 · 2 · 2 = 16

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32


Zadatak 2.

Odredite koji će biti sljedeći broj u prikazu.

Sljedeći je broj u prikazu 64 jer je

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64.


Potencija prirodne baze i prirodnog eksponenta

Primjer 1.

Brojeve 4 , 8 , 16 , 32 , 64 možemo skraćeno zapisati i čitati:

2 · 2 = 4 = 2 2 , čitajmo "dva na drugu"

2 · 2 · 2 = 8 = 2 3 , čitajmo "dva na treću"

2 · 2 · 2 · 2 = 16 = 2 4 , čitajmo "dva na četvrtu"

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 = 2 5 , čitajmo "dva na petu"

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64 = 2 6 , čitajmo "dva na šestu".

U izrazu​ m n , m , n N broj m množimo sa samim sobom n puta.

Zapis m n , m , n N nazivamo potencija s bazom m i eksponentom n . Baza je potencije broj koji množimo sa samim sobom. Eksponent je broj koji broji koliko je puta baza pomnožena sa samom sobom.

Zadatak 3.

Uparite potenciju s prirodnom bazom i prirodnim eksponentom s njezinim značenjem kao umnoškom jednakih faktora i iznosom.

4 3
3 · 3 · 3 · 3 = 81
3 4
4 · 4 · 4 = 64
2 7
3 · 3 · 3 = 27
3 3
4 · 4 = 16
4 2
7 · 7 = 49
7 2
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 128
null
null

Proučimo kako se mijenja vrijednost potencije kada je:

Povećaj ili smanji interakciju

Pri nepromijenjenom eksponentu, što je baza veća, veća je i vrijednost potencije.

Ako je m k , onda je m n k n , za m , n , k N .

Pri nepromijenjenoj bazi, što je eksponent veći, veća je i vrijednost potencije.

Ako je n l , onda je m n m l , za m , n , l N .  

Zadatak 4.

Usporedite potencije s jednakim eksponentima.

Poredajte, od najmanje do najveće, potencije bez izračunavanja njihove vrijednosti.

  • 3 12
  • 20 12
  • 30 12
  • 8 12
  • 5 12
  • 2 12
  • 6 12
  • 11 12
  • 10 12
  • 4 12

Pomoć:

Od dvije potencije istog prirodnog eksponenta manja je ona koja ima manju prirodnu bazu.

null

Zadatak 5.

Usporedite potencije s jednakim bazama.

Poredajte od najmanje do najveće potencije bez izračunavanja njihove vrijednosti.

  • 10 6   ​
  • 10 3   ​
  • 10 9   ​
  • 10 1   ​
  • 10 12   ​

Pomoć:

Od dvije potencije jednakih prirodnih baza manja je ona koja ima manji prirodni eksponent.

null

Zapis, značenje i vrijednost potencije prirodne baze i eksponenta - vježba

Zadatak 6.

U sljedećoj aktivnosti uvježbajte značenje zapisa potencijom s prirodnim eksponentom.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 7.

U sljedećoj aktivnosti ispravno uparite potenciju i njezinu vrijednost.

Zadatak 8.

Izračunajte naizmjenično eksponent, bazu i vrijednost potencije tako da jednakost bude valjana.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 2.

Prikažimo broj 2   kao potenciju. ​

Potencija mora imati bazu i eksponent.

2 = 2 1  

Potencija s eksponentom jedan ima vrijednost jednaku bazi te potencije.

m 1 = m

Potencija broja 1 uvijek je jednaka 1 .

1 k = 1  

Primjena potencije za rješavanje problema

Zadatak 9.

Na stolu je deset kutija. U svakoj je kutiji deset manjih kutijica. U svakoj se manjoj kutijici nalazi 10 lipa. Koliko je kuna u tih 10 kutija?

Na slici je 10 lipas lica i naličja
Na ilustraciji je prikazano deset kutija. U svakoj kutiji je deset manjih kutijica. U svakoj manjoj kutijici se nalazi kovanica od 10 lipa.

U deset je kutija na stolu 10 · 10 · 10 = 10 3 = 1 000   lipa, što iznosi  10 kuna.


Zadatak 10.

Marija je u školi učila o potencijama s prirodnom bazom i prirodnim eksponentom. Htjela se uvjeriti koliko brzo raste iznos novca koji će štedjeti prema potenciji s bazom 3 . Na ormarić je stavila šest kutijica.

Prvog je dana u prvu kutiju stavila 1 kn .

Drugog je dana u drugu kutiju stavila trostruko više novca.

Zatim je svaki dan, sljedeća četiri dana, u jednu od kutija stavila trostruko više novca nego prethodnog dana.

Koliko je novca Marija stavila šesti dan u šestu kutiju?

Šesti dan u šestoj kutiji bilo je 3 5 = 243 kune.


Koliko bi kuna bilo deseti dan u desetoj kutijici?

Uočili smo pravilnost u kojoj je iznos kuna jednak vrijednosti potencije s bazom 3 , a u eksponentu je broj za jedan manji od broja dana pa je tako šesti dan iznos bio ​ 3 5 = 243 kune.

Deseti bi dan štednje u desetoj kutijici bilo 3 9 = 19 683  kuna.


Zadatak 11.

Zamislite štedjeti na sljedeći način:

Prvi dan odvojite pet kuna, drugi dan 5 puta više i svaki sljedeći dan pet puta više nego prethodni.

Koliko biste novca uštedjeli samo peti dan?

Samo biste peti dan uštedjeli

5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3 125 kuna.


U sljedećem će videu biti pokazano kako koristiti džepno računalo za izračunavanje potencije s prirodnom bazom i eksponentom.

Bit će pokazana tri načina:

Koristeći džepno računalo, potenciju možemo računati na tri različita načina.  

Zadatak 12.

Koristeći džepno računalo, provjerite vrijednost potencije.

  1. 7 8 =

    null
    null
  2. 5 7 =  

    null
    null
  3. 4 8 =  

    null
    null
  4. 1 20 =  

    null
    null

U sljedećem će videu biti pokazano kako prirodni broj prikazati potencijom.

Primjer 3.


Potenciranje je računska operacija trećeg stupnja i ima prednost nad množenjem i dijeljenjem te zbrajanjem i oduzimanjem.

Zadatak 13.

Dovucite zadani rastav na proste faktore pripadnom prirodnom broju.

Uparivanje odgovora.

7 2 · 2 7
72  
3 3 · 2 4
432  
5 3 · 2 3
6 272  
2 3 · 3 2
1 000  
null
null

Potenciranje cjelobrojne negativne baze

Primjer 4.

Proučimo najprije potencije s negativnom bazom i neparnim eksponentom.

( - 2 ) 3 = ( - 2 ) · ( - 2 ) · ( - 2 ) = - 8 = - 2 3  

( - 2 ) 3 = - 2 3

- 5 5 = - 5 · - 5 · - 5 · - 5 · - 5 = - 3 125 = - 5 5  

( - 5 ) 5 = - 5 5

Potencija s negativnom bazom i neparnim eksponentom ima negativnu vrijednost.

Ako je k neparan: ( - n ) k = - n k n , k N .

Primjer 5.

Proučimo sada potencije s negativnom bazom i parnim eksponentom.

- 2 4 = - 2 · - 2 · - 2 · - 2 = 16 = 2 4

( - 2 ) 4 = 2 4

- 5 4 = - 5 · - 5 · - 5 · - 5 = 625 = 5 4

( - 5 ) 4 = 5 4  

Potencija s negativnom bazom i parnim eksponentom ima pozitivnu vrijednost.

Ako je k   paran: ( - n ) k = n k , n , k N .

Zadatak 14.

U sljedećem nizu zadataka izračunajte potenciju s negativnom bazom.

  1. - 5 4 =  

    null
    null
  2. - 5 4 =  

    null
    null
  3. - 4 5 =  

    null
    null
  4. - 4 5 =  

    null
    null
  5. - 4 4 =  

    null
    null
  6. - 4 4 =  

    null
    null

Potenciranje racionalnog broja zapisanog razlomkom

Izračunajmo obujam kocke kojoj je duljina brida 3 4 m .

Obujam kocke računamo tako da pomnožimo duljinu, širinu i visinu kocke. 

Kocka duljine brida tri četvrtine metra.

Pomnožimo dimenzije zapisane u obliku razlomka. Umnožak je razlomaka razlomak koji u brojniku ima umnožak brojnika, a u nazivniku umnožak nazivnika.

U brojniku se pojavila potencija broja 3 , a u nazivniku broja 4 .

V = 3 4 · 3 4 · 3 4 = 3 · 3 · 3 4 · 4 · 4 = 3 3 4 3 = 27 64    

Umnožak broja sa samim sobom n puta n-ta je potencija tog broja.

3 4 · 3 4 · 3 4 = ( 3 4 ) 3 = 27 64 Obujam kocke brida duljine 3 4 m iznosi 27 64 m 3 .


Potencija razlomka prirodnim brojem n jednaka je razlomku koji u brojniku ima brojnik potenciran prirodnim brojem n , a u nazivniku nazivnik potenciran prirodnim brojem n . ​

a b 3 = a n b n uz uvjete a Z , b , n N .

Zadatak 15.

U sljedećim zadatcima izračunajte i odaberite točnu vrijednost zadane potencije.

  1. 1 4 3 =

    null
    null
  2. - 1 4 3 =  

    null
    null
  3. - 3 5 4 =  

    null
    null
  4. 2 4 3 =

    null
    null
  5. - 3 4 4 =

    null
    null
  6. - 3 4 4 =

    null
    null
  7. - - 4 5 3 =  

    null
    null

Zadatak 16.

Odredite točnost zadanih jednakosti.

  1. - 2 3 4 = 16 81

    null
    null
  2. ( - 2 3 ) 4 = 16 81

    null
    null
  3. 1 10 5 = 1 10 000  

    null
    null
  4. - 1 10 5 = 1 100 000

    null
    null
  5. - 3 10 4 = - 81 10 000

     

    null

Uspoređivanje potencija pozitivnih baza manjih od jedan

Primjer 6.

Poredajmo, od najveće prema najmanjoj, vrijednosti zadanih potencija. Uočimo da imaju jednake pozitivne baze manje od jednog cijelog:

0.1 2 = 0.01

0.1 3 = 0.001

0.1 4 = 0.0001

0.1 5 = 0.00001

Primijetimo, što je eksponent veći, to je manja vrijednost potencije.

Ako je baza potencije veća od 0 , a manja od 1 , vrijednost se potencije smanjuje što je eksponent veći.

Zadatak 17.

Bez izračunavanja vrijednosti potencija, poredajte ih od najveće do najmanje.

Poredajte:

  • 0.5 10   ​
  • 0.5 2
  • 0.5 15   ​
  • 0.5 5   ​
  • 0.5 3  

Pomoć:

Za potencije baze između 0 i 1 vrijedi da je to manja što je eksponent veći.

 

Razlomci između nula i jedan imaju brojnik manji od nazivnika.

Zadatak 18.

Bez izračunavanja vrijednosti potencija, poredajte ih od najveće do najmanje.

Poredajte:

  • ( 2 3 ) 2
  • ( 2 3 ) 3   ​
  • ( 2 3 ) 5
  • ( 2 3 ) 4

Pomoć:

Za potencije baze između 0 i 1 vrijedi da je to manja što je eksponent veći.

 

Zadatak 19.

Zadana je kocka duljine brida 0.56 m .

Koliki je obujam te kocke u metrima kubičnim?

0.56 · 0.56 · 0.56 = 0.56 3 = 0.175616 m 3  

Obujam kocke brida duljine 0.56   metara iznosi 0.175616 m 3 ​.


Zadatak 20.

U zadatku koji slijedi, okušajte se u računanju s potencijama.

Poštujte redoslijed računskih radnji: prvo potenciranje, a onda množenje ili dijeljenje.

Možete se poslužiti i džepnim računalom.

Ako točno riješite zadatak, čeka vas iznenađenje!

Povećaj ili smanji interakciju

U animaciji ćete naučiti kako utvrditi je li neki prirodni broj potencija prirodnog broja korištenjem rastava broja na faktore.

Primjer 7.

Zadatak 21.

Koristeći rastav na proste faktore, odgovorite na pitanja u zadatku.

  1. Je li 625 potencija broja 5 ?

    null
    null
  2. Je li 486 potencija broja 3 ?

    null
    null
  3. Je li 200 potencija broja 2 ?

    null
    null
  4. Je li 900 potencija broja 3 ?

    null
    null

Zadatak 22.

Dva su brata sakupljala kovanice.

Jedan je imao pet kutija. U svakoj je kutiji bilo pet manjih kutijica, a u svakoj toj kutijici kovanica od 5 kuna.

Drugi je imao tri kutije, u svakoj tri manje kutije, u svakoj još tri manje kutije, u svakoj još tri još manje kutije s po tri kune.

Koji je brat sakupio više novca?

Na slici je prikazamo pet većih kutija u kojima se nalazi 5 manjih kutija  s po pet kuna

Prvi je brat sakupio 5 3 = 125 kune.

Na slici je prikazana  potencija 3^5. Tri kutije s tri manje kutuje s tri još manje kutije s tri još manje kutijeu svakoj 3 kune.

Drugi je brat sakupio 3 5 = 243 kune.

Više je sakupio drugi brat koji je sakupljao po tri kune.

Zadatak 23.

Na prvoj je slici Sierpinskijev sag.

Proces njegova nastajanja prikazan je na drugoj slici.

  • U prvom je koraku 1 zeleni kvadrat.
  • U drugom je koraku 8 zelenih kvadrata.​
  • U trećem su koraku 64 zelena kvadrata.
  • U četvrtom je koraku 512 zelenih kvadrata.

Koliko je zelenih kvadrata u petom koraku?

Primjećujemo da je ukupan broj kvadrata u svakom sljedećem koraku 8 puta veći od njihova broja u prethodnom koraku.​

  • U drugom je koraku  2 8 zelenih kvadrata, 8 = 8 1 .
  • U trećem su koraku  3 64 zelena kvadrata, 64 = 8 2 .
  • U četvrtom je koraku  4 512 zelenih kvadrata, 512 = 8 3 .

Koliko je zelenih kvadrata u petom koraku?

  • U petom je koraku  5 8 4 = 4 096 zelenih kvadrata. ​

Primjena potencije u preračunavanju mjernih jedinica

Primjer 8.

Preračunajmo mjerne jedinice za duljinu. Rezultat prikažimo u obliku potencija.

1 km = 1 000 m = 10 · 10 · 10 m = 10 3 m

1 km = 100 000 cm = 10 5 cm

Primjer 9.

Preračunajmo mjerne jedinice za površinu. Rezultat prikažimo u obliku potencija.

1 m 2 = ( 100 · 100 ) cm 2 = 10 000 cm 2 = 10 4 cm 2

1 km 2 = 1 000 000 m 2 = 10 6 m 2

Primjer 10.

Preračunajmo mjerne jedinice za obujam. Rezultat prikažimo u obliku potencija.

1 m 3 = ( 10 · 10 · 10 ) dm 3 = 1 000 dm 3 = 10 3 dm 3

1 m 3 = ( 1 000 · 1 000 · 1 000 ) mm 3 = 10 9 mm 3

Zadatak 24.

Preračunajte i zapišite koristeći potenciju s bazom 10 .

Dovucite odgovarajuće izraze na njihove jednakosti.

 Uparite:

1 m
10 3 m  
1 dm  
10 1 mm  
1 cm
10 2 mm
1 km
10 3 mm  
null
null

Zadatak 25.

Odredite je li zadana jednakost točna.

  1. 1 km 2 = 10 5 m 2  

    null
    null
  2. 1 m 2 = 10 2 dm 2  

    null
    null
  3. 1 dm 2 = 10 6 mm 2  

    null
    null
  4. 1 cm 2 = 10 2 mm 2

    null
    null
  5. 10 9 m 3 =  

    null
    null
  6. 10 6 cm 3 =    

    null
    null
  7. 10 3 dm 3 =  

    null
    null
  8. 1 dm 3 =    

    null
    null

Zadatak 26.

Koliko litara vode stane u plastičnu posudu oblika kocke čija je duljina brida 0.75 m ?

  1. Prvi način:

    Izračunajmo obujam te kocke u kubičnim metrima.
    Obujam kocke jednak je umnošku duljina njezinih bridova.

    Kako su svi bridovi kocke duljine a , obujam kocke računamo

    V = a · a · a = a 3 .

    V = 0.75 3 = 0.421875 m 3

    Preračunajmo kubične metre u kubične decimetre.

    1 dm 3 = 1 l

    0.421875 m 3 = 421.875 dm 3 = 421.875 l  

    U tu posudu stane 421.875 litara vode.​

  2. Drugi način:

    Preračunajmo duljinu stranice u decimetre jer je 1 dm 3 = 1 l .

    0.75 m = 7.5 dm

    Izračunajmo obujam u kubičnim decimetrima.

    V = 7.5 3 = 421.875 dm 3

    U tu posudu stane 421.875 litara vode. ​


...i na kraju

Istražite povijest svoje obitelji i napravite stablo nasljeđivanja kako je to učinila Marija.

Pokušajte u razgovoru sa svojim roditeljima, bakama i djedovima saznati što više imena svojih direktnih predaka i upišite ih.
Prebrojite koliko se svojih predaka sjećate u pojedinoj generaciji.
U kojoj se generaciji gubi svaki trag imenima?
Koliko je tvojih direktnih predaka u petoj, šestoj... generaciji?  

Prikaz direktnih predaka kroz generacije

Idemo na sljedeću jedinicu

2.2 Množenje i dijeljenje potencija s bazom 10